高中物理（新人教必修二）：7.7《動能和動能定理》

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歡迎進入物理課堂 高中物理新人教版必修 系列課件 7 7 動能和動能定理 教學目標 掌握用動能定理還能解決一些用牛頓第二定律和運動學公式難以求解的問題 如變力作用過程 曲線運動等問題 掌握用動能定理處理含有涉及的物理量中的F l m v W Ek等物理量的力學問題 第一課時 一 動能 1 物體由于運動而具有的能叫動能 2 動能的大小 3 動能是標量 4 動能是狀態(tài)量 也是相對量 因為 為瞬時速度 且與參考系的選擇有關 公式中的速度一般指相對于地面的速度 5 動能的單位與功的單位相同 焦耳 6 動能與動量大小的關系 一個物體的動量發(fā)生變化 它的動能不一定變化一個物體的動能發(fā)生變化 它的動量一定變化 二 動能定理 1 合外力所做的功等于物體動能的變化 這個結論叫做動能定理 2 動能定理的理解及應用要點 1 等式的左邊為各個力做功的代數(shù)和 正值代表正功 負值代表負功 等式右邊動能的變化 指末動能EK2 1 2mv22與初能EK1 1 2mv12之差 2 增量 是末動能減初動能 EK 0表示動能增加 EK 0表示動能減小 3 在動能定理中 總功指各外力對物體做功的代數(shù)和 這里我們所說的外力包括重力 彈力 摩擦力 電場力或其他的力等 4 動能定理適用單個物體 對于物體系統(tǒng)尤其是具有相對運動的物體系統(tǒng)不能盲目的應用動能定理 由于此時內力的功也可引起物體動能向其他形式能 比如內能 的轉化 5 各力位移相同時 可求合外力做的功 各力位移不同時 分別求力做功 然后求代數(shù)和 6 有些力在物體運動全過程中不是始終存在的 若物體運動過程中包含幾個物理過程 物體運動狀態(tài) 受力等情況均發(fā)生變化 因而在考慮外力做功時 必須根據不同情況分別對待 7 動能定理中的位移和速度必須是相對于同一個參考系 一般以地面為參考系 8 若物體運動過程中包含幾個不同的物理過程 解題時可以分段考慮 若有能力 可視全過程為一整體 用動能定理解題 9 動能定理中涉及的物理量有 等 在處理含有上述物理量的力學問題時 可以考慮使用動能定理 由于只需從力在整個位移內的功和這段位移始末兩狀態(tài)動能變化去考察 無需注意其中運動狀態(tài)變化的細節(jié) 又由于動能和功都是標量 無方向性 無論是直線運動或曲線運動 計算都有會特別方便 總之 無論做何種運動 只要不涉及加速度和時間 就可考慮應用動能定理解決動力學問題 例1 鋼球從高處向下落 最后陷入泥中 如果空氣阻力可忽略不計 陷入泥中的阻力為重力的n倍 求 鋼珠在空中下落的高度H與陷入泥中的深度h的比值H h 解 畫出示意圖并分析受力如圖示 由動能定理 選全過程 mg H h nmgh 0 H h nh H h n 1 練習1 放在光滑水平面上的某物體 在水平恒力F的作用下 由靜止開始運動 在其速度由0增加到v和由v增加到2v的兩個階段中 F對物體所做的功之比為 A 1 1B 1 2C 1 3D 1 4 C 例2 如右圖所示 水平傳送帶保持1m s的速度運動 一質量為1kg的物體與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為0 2 現(xiàn)將該物體無初速地放到傳送帶上的A點 然后運動到了距A點1m的B點 則皮帶對該物體做的功為 A 0 5JB 2JC 2 5JD 5J 解 設工件向右運動距離S時 速度達到傳送帶的速度v 由動能定理可知 mgS 1 2mv2 解得S 0 25m 說明工件未到達B點時 速度已達到v 所以工件動能的增量為 EK 1 2mv2 0 5 1 1 0 5J A 練習2 兩輛汽車在同一平直路面上行駛 它們的質量之比m1 m2 1 2 速度之比v1 v2 2 1 兩車急剎車后甲車滑行的最大距離為s1 乙車滑行的最大距離為s2 設兩車與路面間的動摩擦因數(shù)相等 不計空氣阻力 則 A s1 s2 1 2B s1 s2 1 1C s1 s2 2 1D s1 s2 4 1 D 如下圖所示 一個質量為m的小球從A點由靜止開始滑到B點 并從B點拋出 若在從A到B的過程中 機械能損失為E 小球自B點拋出的水平分速度為v 則小球拋出后到達最高點時與A點的豎直距離是 例3 解 小球自B點拋出后做斜上拋運動 水平方向做勻速直線運動 到最高點C的速度仍為v 設AC的高度差為h 由動能定理 A B C mgh E 1 2 mv2 h v2 2g E mg v2 2g E mg 練習3 下列關于運動物體所受的合外力 合外力做功和動能變化的關系 正確的是 A 如果物體所受的合外力為零 那么 合外力對物體做的功一定為零B 如果合外力對物體所做的功為零 則合外力一定為零C 物體在合外力作用下作變速運動 動能一定變化D 物體的動能不變 所受的合外力必定為零 A 質量為m的跳水運動員從高為H的跳臺上以速率v1起跳 落水時的速率為v2 運動中遇有空氣阻力 那么運動員起跳后在空中運動克服空氣阻力所做的功是多少 解 對象 運動員 過程 從起跳到落水 受力分析 如圖示 由動能定理 合 例4 練習4 一質量為1kg的物體被人用手由靜止向上提升1m 這時物體的速度2m s 則下列說法正確的是 A 手對物體做功12JB 合外力對物體做功12JC 合外力對物體做功2JD 物體克服重力做功10J ACD 例5 如圖所示 質量為m的物塊從高h的斜面頂端O由靜止開始滑下 最后停止在水平面上B點 若物塊從斜面頂端以初速度v0沿斜面滑下 則停止在水平面的上C點 已知 AB BC 則物塊在斜面上克服阻力做的功為 設物塊經過斜面與水平面交接點處無能量損失 解 設物塊在斜面上克服阻力做的功為W1 在AB或BC段克服阻力做的功W2 由動能定理O B mgh W1 W2 0 O C mgh W1 2W2 0 1 2mv02 W1 mgh 1 2mv02 mgh 1 2mv02 練習5 某人在高h處拋出一個質量為m的物體 不計空氣阻力 物體落地時的速度為v 這人對物體所做的功為 A mghB mv2 2C mgh mv2 2D mv2 2 mgh D 例6 斜面傾角為 長為L AB段光滑 BC段粗糙 AB L 3 質量為m的木塊從斜面頂端無初速下滑 到達C端時速度剛好為零 求物體和BC段間的動摩擦因數(shù) 分析 以木塊為對象 下滑全過程用動能定理 重力做的功為 摩擦力做功為 支持力不做功 初 末動能均為零 由動能定理mgLsin 2 3 mgLcos 0 可解得 點評 用動能定理比用牛頓定律和運動學方程解題方便得多 練習6 豎直上拋一球 球又落回原處 已知空氣阻力的大小正比于球的速度 A 上升過程中克服重力做的功大于下降過程中重力做的功 B 上升過程中克服重力做的功等于下降過程中重力做的功 C 上升過程中克服重力做功的平均功率大于下降過程中重力做功的平均功率 D 上升過程中克服重力做功的平均功率等于下降過程中重力做功的平均功率 B C 例7 將小球以初速度v0豎直上拋 在不計空氣阻力的理想狀況下 小球將上升到某一最大高度 由于有空氣阻力 小球實際上升的最大高度只有該理想高度的80 設空氣阻力大小恒定 求小球落回拋出點時的速度大小v 解 有空氣阻力和無空氣阻力兩種情況下分別在上升過程對小球用動能定理 和 可得H v02 2g 再以小球為對象 在有空氣阻力的情況下對上升和下落的全過程用動能定理 全過程重力做的功為零 所以有 解得 例8 地面上有一鋼板水平放置 它上方3m處有一鋼球質量m 1kg 以向下的初速度v0 2m s豎直向下運動 假定小球運動時受到一個大小不變的空氣阻力f 2N 小球與鋼板相撞時無機械能損失 小球最終停止運動時 它所經歷的路程S等于多少 g 10m s2 解 對象 小球 過程 從開始到結束 受力分析 如圖示 由動能定理 例9 在光滑水平面上有一靜止的物體 現(xiàn)以水平恒力甲推這一物體 作用一段時間后 換成相反方向的恒力乙推這一物體 當恒力乙作用時間與恒力甲作用時間相同時 物體恰好回到原處 此時物體的動能為32J 則在整個過程中 恒力甲做的功等于焦耳 恒力乙做的功等于焦耳 解 畫出運動示意圖如圖示 由牛頓定律和運動學公式 A B S 1 2a1t2 F1t2 2m v at F1t m B C A S vt 1 2a2t2 F1t2 m F2t2 2m F2 3F1 A B C A由動能定理F1S F2S 32 W1 F1S 8JW2 F2S 24J 8J 24J 例10 總質量為M的列車 沿水平直線軌道勻速前進 其末節(jié)車廂質量為m 中途脫節(jié) 司機發(fā)覺時 機車已行駛L的距離 于是立即關閉發(fā)動機滑行 設運動的阻力與質量成正比 機車的牽引力恒定 當列車的兩部分都停止時 它們的距離是多少 對末節(jié)車廂應用動能定理 有 說明本題所求距離為兩個物體的位移之差 需分別對各個物體應用動能定理 求解時也可假設中途脫節(jié)時 司機若立即關閉發(fā)動機 則列車兩部分將停在同一地點 現(xiàn)實際上是行駛了距離L后才關閉發(fā)動機 此過程中牽引力做的功 可看作用來補續(xù)前部分列車多行駛一段距離而 才停止 則兩者距離 s s1 s2 對前面部分的列車應用動能定理 有 練習8 質量為m的飛機以水平v0飛離跑道后逐漸上升 若飛機在此過程中水平速度保持不變 同時受到重力和豎直向上的恒定升力 該升力由其他力的合力提供 不含重力 今測得當飛機在水平方向的位移為L時 它的上升高度為h 求 1 飛機受到的升力大小 2 從起飛到上升至h高度的過程中升力所做的功及在高度h處飛機的動能 解析 1 飛機水平速度不變 L v0t 豎直方向的加速度恒定 h at2 消去t即得 由牛頓第二定律得 F mg ma 2 升力做功W Fh 在h處 vt at 例11 如圖示 光滑水平桌面上開一個小孔 穿一根細繩 繩一端系一個小球 另一端用力F向下拉 維持小球在水平面上做半徑為r的勻速圓周運動 現(xiàn)緩緩地增大拉力 使圓周半徑逐漸減小 當拉力變?yōu)?F時 小球運動半徑變?yōu)閞 2 則在此過程中拉力對小球所做的功是 A 0B 7Fr 2C 4FrD 3Fr 2 解 D 練習9 某人造地球衛(wèi)星因受高空稀薄空氣的阻氣作用 繞地球運轉的軌道會慢慢改變 每次測量中衛(wèi)星的運動可近似看作圓周運動 某次測量衛(wèi)星的軌道半徑為r1 后來變?yōu)閞2 以Ek1 Ek2表示衛(wèi)星在這兩個軌道上的動能 T1 T2表示衛(wèi)星在這兩上軌道上繞地運動的周期 則 A Ek2 Ek1T2 T1 B Ek2 Ek1T2 T1 C Ek2 Ek1T2 T1 D Ek2 Ek1T2 T1 C 質量為m的物體放在小車一端受水平恒力F作用被拉到另一端 如圖所示 假如第一次將小車固定 第二次小車可以在光滑水平面上運動 比較這兩次過程中拉力F所作的功W1和W2 產生的熱量Q1和Q2 物體的末動能Ek1和Ek2 應有W1 W2 Q1 Q2 Ek1 Ek2 用 或 或 填 例12 解 畫出受力分析圖和運動示意圖如圖示 S1 S2 W1 W2 Q f S Q1 Q2 對物體 由動能定理EK F f S EK1 EK2 練習10 如圖所示 一木塊放在光滑水平面上 一子彈水平射入木塊中 射入深度為d 平均阻力為f 設木塊離原點S遠時開始勻速前進 下列判斷正確的是 BD S d 木塊在臺面上滑行階段對木塊用動能定理 設木塊離開臺面時的速度為v2 有 例13 質量為M的木塊放在水平臺面上 臺面比水平地面高出h 0 20m 木塊離臺的右端L 1 7m 質量為m 0 10M的子彈以v0 180m s的速度水平射向木塊 并以v 90m s的速度水平射出 木塊落到水平地面時的落地點到臺面右端的水平距離為s 1 6m 求木塊與臺面間的動摩擦因數(shù)為 解 本題的物理過程可以分為三個階段 在其中兩個階段中有機械能損失 子彈射穿木塊階段和木塊在臺面上滑行階段 所以本題必須分三個階段列方程 子彈射穿木塊階段 對系統(tǒng)用動量守恒 設木塊末速度為v1 mv0 mv Mv1 木塊離開臺面后的平拋階段 由 可得 0 50 從本題應引起注意的是 凡是有機械能損失的過程 都應該分段處理 從本題還應引起注意的是 不要對系統(tǒng)用動能定理 在子彈穿過木塊階段 子彈和木塊間的一對摩擦力做的總功為負功 如果對系統(tǒng)在全過程用動能定理 就會把這個負功漏掉 練習11 如圖所示長木板A放在光滑的水平地面上 物體B以水平速度沖上A后 由于摩擦力作用 最后停止在木板A上 則從B沖到木板A上到相對板A靜止的過程中 下述說法中正確是 A 物體B動能的減少量等于B克服摩擦力做的功 B 物體B克服摩擦力做的功等于系統(tǒng)內能的增加量 C 物體B損失的機械能等于木板A獲得的動能與系統(tǒng)損失的機械能之和 D 摩擦力對物體B做的功和對木板A做的功的總和等于系統(tǒng)內能的增加量 ACD 例14 兩個人要將質量M 1000kg的小車沿一小型鐵軌推上長L 5m 高h 1m的斜坡頂端 已知車在任何情況下所受的摩擦阻力恒為車重的0 12倍 兩人能發(fā)揮的最大推力各為800N 水平軌道足夠長 在不允許使用別的工具的情況下 兩人能否將車剛好推到坡頂 如果能應如何辦 要求寫出分析和計算過程 g取10m s2 解析 小車在軌道上運動時所受摩擦力f f Mg 0 12 1000 10N 1200N 兩人的最大推力F 2 800N 1600N F f 人可在水平軌道上推動小車加速運動 但小車在斜坡上時f Mgsin 1200N 10000 1 5N 3200N F 1600N 可見兩人不可能將小車直接由靜止沿坡底推至坡頂 若兩人先讓小車在水平軌道上加速運動 再沖上斜坡減速運動 小車在水平軌道上運動最小距離為s F一f s十FL一fL一Mgh 0 練習12 某地強風的風速約為v 20m s 設空氣密度 1 3kg m3 如果把通過橫截面積 20m2風的動能全部轉化為電能 則利用上述已知量計算電功率的公式應為P 大小約為 W 取一位有效數(shù)字 Ek P 例15 如圖所示質量為1kg的小物塊以5m s的初速度滑上一塊原來靜止在水平面上的木板 木板質量為4kg 木板與水平面間動摩擦因數(shù)是0 02 經過2S以后 木塊從木板另一端以1m s相對于地的速度滑出 g取10m s 求這一過程中木板的位移 解析 設木塊與木板間摩擦力大小為f1 木板與地面間摩擦力大小為f2 對木塊 一f1t mvt一mv0 得f1 2N 對木板 fl f2 t Mv f2 m M g 得v 0 5m s對木板 fl f2 s Mv2 得S 0 5m 練習13 動量大小相等的兩個物體 其質量之比為2 3 則其動能之比為 A 2 3 B 3 2 C 4 9 D 9 4 B 解析 由Ek 可知 動量大小相等的物體 其動能與它們的質量成反比 因此動能的比應為3 2 例16 質量為m的小球被系在輕繩一端 在豎直平面內做半徑為R的圓周運動 運動過程中小球受到空氣阻力的作用 設某一時刻小球通過軌道的最低點 此時繩子的張力為7mg 此后小球繼續(xù)做圓周運動 經過半個圓周恰能通過最高點 則在此過程中小球克服空氣阻力所做的功為 A mgR 4B mgR 3C mgR 2D mgR 解析 小球在圓周運動最低點時 設速度為v1 則7mg mg mv12 R 設小球恰能過最高點的速度為v2 則mg mv22 R 設設過半個圓周的過程中小球克服空氣阻力所做的功為W 由動能定理得 mg2R W mv22 mv12 C 由以上三式解得W mgR 2 說明 1 該題中空氣阻力一般是變化的 又不知其大小關系 故只能根據動能定理求功 而應用動能定理時初 末兩個狀態(tài)的動能又要根據圓周運動求得不能直接套用 這往往是該類題目的特點 2 用動能定理求變力做功 在某些問題中由于力F的大小的變化或方向變化 所以不能直接由W Fscos 求出變力做功的值 此時可由其做功的結果 動能的變化來求變?yōu)镕所做的功 例17 在水平面上沿一條直線放兩個完全相同的小物體A和B 它們相距s 在B右側距B2s處有一深坑 如圖所示 現(xiàn)對A施以瞬間沖量 使物體A沿A B連線以速度v0開始向B運動 為使A與B能發(fā)生碰撞 且碰撞之后又不會落入右側深坑中 物體A B與水平面間的動摩擦因數(shù)應滿足什么條件 設A B碰撞時間很短 A B碰撞后不再分離 解析 A與B相碰 則 A和B碰前速度v1 A與B碰后共同速度v2 mv1 2mv2 AB不落入坑中 解得 綜上 應滿足條件 練習14 如圖所示 在光滑的水平面內有兩個滑塊A和B 其質量mA 6kg mB 3kg 它們之間用一根輕細繩相連 開始時繩子完全松弛 兩滑塊靠在一起 現(xiàn)用了3N的水平恒力拉A 使A先起動 當繩被瞬間繃直后 再拖動B一起運動 在A塊前進了0 75m時 兩滑塊共同前進的速度v 2 3m s 求連接兩滑塊的繩長 解析 本題的關鍵在于 繩子瞬間繃直 時其張力可看成遠大于外力F 所以可認為A B組成的系統(tǒng)動量守恒 此過程相當于完全非彈性碰撞 系統(tǒng)的機械能有損失 根據題意 設繩長為L 以繩子繃直前的滑塊A為對象 由動能定理得FL mAv12 繩繃直的瞬間 可以認為T F 因此系統(tǒng)的動量守恒 mAv1 mA十mB v2 對于繩繃直后 A B組成的系統(tǒng) 看成一個整體 的共同運動過程 由動能定理 F 0 75 L mA十mB v12 mA十mB v22 由式 一 解得L 0 25m 例18 如圖所示 兩個完全相同的質量為m的木板A B置于水平地面上它們的間距s 2 88m 質量為2m 大小可忽略的物塊C置于A板的左端 C與A之間的動摩擦因數(shù)為 1 0 22 A B與水平地面的動摩擦因數(shù)為 2 0 10 最大靜摩擦力可認為等于滑動摩擦力 開始時 三個物體處于靜止狀態(tài) 現(xiàn)給C施加一個水平向右 大小為2mg 5的恒力F 假定木板A B碰撞時間極短且碰撞后粘連在一起 要使C最終不脫離木板 每塊木板的長度至少應為多少 分析 這題重點是分析運動過程 我們必須看到A B碰撞前A C是相對靜止的 A B碰撞后A B速度相同 且作加速運動 而C的速度比A B大 作減速運動 最終A B C達到相同的速度 此過程中當C恰好從A的左端運動到B的右端的時候 兩塊木板的總長度最短 解答 設l為A或B板的長度 A C之間的滑動摩擦力大小為f1 A與水平面的滑動摩擦力大小為f2 1 0 22 2 0 10 且 一開始A和C保持相對靜止 在F的作用下向右加速運動 有 A B兩木板的碰撞瞬間 內力的沖量遠大于外力的沖量 由動量守恒定律得mv1 m m v2 碰撞結束后到三個物體達到共同速度的相互作用過程中 設木板向前移動的位移為s1 選三個物體構成的整體為研究對象 外力之和為零 則 設A B系統(tǒng)與水乎地面之間的滑動摩擦力大小為f3 對A B系統(tǒng) 由動能定理 對C物體 由動能定理 由以上各式 再代人數(shù)據可得l 0 3 m 例19 質量為500t的列車 以恒定功率沿平直軌道行駛 在3min內行駛速度由45km h增加到最大速度54km h 求機車的功率 g 10m s2 解析 由整個過程中列車所受的牽引力不是恒力 因此加速度不是恒量 運動學中勻變速直線運動公式不能用 由動能定理得 W牽 W阻 1 2mv2m 1 2mv2 Pt fs 1 2mv2m 1 2mv2 又因達到最大速度時F f故vm P f 聯(lián)立解得 P 600kW 練習15 一列火車在機車牽引下沿水平軌道行駛 經過時間t 其速度由0增大到v 已知列車總質量為M 機車功率P保持不變 列車所受阻力f為恒力 求 這段時間內列車通過的路程 解 根據動能定理 P t f s 1 2 mv2 提示 由動能定理Pt fs 1 2m vm2 v02 f F P vm聯(lián)列解之 ACD 例20 一傳送帶裝置示意如圖 其中傳送帶經過AB區(qū)域時是水平的 經過BC區(qū)域時變?yōu)閳A弧形 圓弧由光滑模板形成 未畫出 經過CD區(qū)域時是傾斜的 AB和CD都與BC相切 現(xiàn)將大量的質量均為m的小箱一個一個在A處放到傳送帶上 放置時初速為零 經傳送帶運送到D處 D和A的高度差為h 穩(wěn)定工作時傳送帶速度不變 CD段上各箱等距排列 相鄰兩箱的距離為L 每個箱子在A處投上后 在到達B之前已經相對于傳送帶靜止 且以后也不再滑動 忽略經BC段時的微小滑動 己知在一段相當長的時間T內 共運送小貨箱的數(shù)目為N 這裝置由電動機帶動 傳送帶與輪子間無相對滑動 不計輪軸處的摩擦 求電動機的平均輸出功率P 解析 以地面為參考 下同 設傳送帶的運動速度為v0 在水平段運輸?shù)倪^程中 小貨箱先在滑動摩擦力作用下做勻加速運動 設這段路程為S 所用時間為t 加速度為a 則對小箱有 S at2 v0 at 在這段時間內 傳送帶運動的路程為 S0 v0t 由以上可得S0 2S 用f表示小箱與傳送帶之間的滑動摩擦力 則傳送帶對小箱做功為 W1 fS mv02 傳送帶克服小箱對它的摩擦力做功 W0 Fs0 2 mv02 兩者之差就是克服摩擦力做功發(fā)出的熱量 Q mv02 可見 在小箱加速運動過程中 小箱獲得的動能與發(fā)熱量相等 T時間內 電動機輸出的功為 W PT 此功用于增加小箱的動能 勢能以及克服摩擦力發(fā)熱 即W Nmv02十Nmgh NQ 已知相鄰兩小箱的距離為L 所以 v0T NL 聯(lián)立 得 第二課時 動能動能定理習題課 第二課時 2 物理意義 動能定理指出了外力對物體所做的總功與物體動能變化之間的關系 即外力對物體做的總功 對應著物體動能的變化 變化的大小由做功的多少來量度 3 動能定理的理解及應用要點 動能定理的計算式為標量式 v為相對同一參考系的速度 動能定理中 外力 指作用在物體上包含重力在內的所有外力 如彈力 摩擦力 電場力 磁場力 萬有引力 動能定理的對象是單一物體 或者可以看成單一物體的物體系 動能定理適用于物體的直線運動 也適用于曲線運動 適用于恒力做功 也適用于變力做功 力可以是各種性質的力 既可以同時作用 也可以分段作用 只要求出在作用過程中各力做功的多少和正負即可 這些正是動能定理解題的優(yōu)越性所在 若物體在運動過程中包含幾個不同過程 應用動能定理時 可以分段考慮 也可以把全過程作為一個整體來處理 課堂小結 應用動能定理解題的基本步驟 1 選取研究對象 明確它的運動過程 2 分析研究對象的受力情況和各個力的做功情況 受哪些力 每個力是否做功 做正功還是做負功 做多少功 然后求各個力做功的代數(shù)和 3 明確物體在過程的始未狀態(tài)的動能EK1和EK2 4 列出動能的方程W外 EK2 EK1 及其他必要輔助方程 進行求解 再見 同學們 來學校和回家的路上要注意安全 同學們 來學校和回家的路上要注意安全