【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 立體幾何與空間向量】專題6 第25練
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第25練 空間幾何體的三視圖及表面積與體積 [題型分析高考展望] 三視圖作為新課標(biāo)新增加的內(nèi)容,是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn):其考查形式多種多樣,選擇題、填空題和綜合解答題都有出現(xiàn),而這些題目以選擇題居多;立體幾何中的計(jì)算問(wèn)題考查的知識(shí),涉及到三視圖、空間幾何體的表面積和體積以及綜合解答和證明. 專題6 立體幾何與空間向量??碱}型精析 題型一 三視圖識(shí)圖 例1 (1)(2014湖北)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),給出編號(hào)為①、②、③、④的四個(gè)圖,則該四面體的正視圖和俯視圖分別為( ) A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和② (2)將正方體(如圖(1)所示)截去兩個(gè)三棱錐,得到如圖(2)所示的幾何體,則該幾何體的側(cè)(左)視圖為( ) 點(diǎn)評(píng) 畫法規(guī)則:(1)由幾何體的輪廓線定形狀,看到的畫成實(shí)線,看不到的畫成虛線. (2)正(主)俯一樣長(zhǎng),俯側(cè)(左)一樣寬,正(主)側(cè)(左)一樣高. 變式訓(xùn)練1 (2014江西)一幾何體的直觀圖如圖,下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是( ) 題型二 空間幾何體的表面積和體積 例2 (1)(2015安徽)一個(gè)四面體的三視圖如圖所示,則該四面體的表面積是( ) A.1+ B.2+ C.1+2 D.2 (2)(2015天津)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為_(kāi)_______m3. 點(diǎn)評(píng) 利用三視圖求幾何體的表面積、體積,需先由三視圖還原幾何體,三個(gè)圖形結(jié)合得出幾何體的大體形狀,由實(shí)虛線得出局部位置的形狀,再由幾何體的面積體積公式求解. 變式訓(xùn)練2 (2014陜西)四面體ABCD及其三視圖如圖所示,平行于棱AD,BC的平面分別交四面體的棱AB,BD,DC,CA于點(diǎn)E,F(xiàn),G,H. (1)求四面體ABCD的體積; (2)證明:四邊形EFGH是矩形. 高考題型精練 1.(2015課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則r等于( ) A.1 B.2 C.4 D.8 2.(2015重慶)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ) A.+π B.+π C.+2π D.+2π 3.(2014浙江)某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的表面積是( ) A.90 cm2 B.129 cm2 C.132 cm2 D.138 cm2 4.如圖是某簡(jiǎn)單組合體的三視圖,則該組合體的體積為( ) A.36(π+) B.36(π+2) C.108π D.108(π+2) 5.(2014重慶)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為( ) A.54 B.60 C.66 D.72 6.兩球O1和O2在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)部,且互相外切,若球O1與過(guò)點(diǎn)A的正方體的三個(gè)面相切,球O2與過(guò)點(diǎn)C1的正方體的三個(gè)面相切,則球O1和球O2的表面積之和的最小值為( ) A.(6-3)π B.(8-4)π C.(6+3)π D.(8+4)π 7.已知球的直徑SC=4,A,B是該球球面上的兩點(diǎn),AB=,∠ASC=∠BSC=30,則棱錐S—ABC的體積為( ) A.3 B.2 C. D.1 8.(2015山東)在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為( ) A. B. C. D.2π 9.(2014北京)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為_(kāi)_______. 10.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中正(主)視圖是等邊三角形,俯視圖是半圓.現(xiàn)有一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿該幾何體的側(cè)面環(huán)繞一周回到A點(diǎn),則螞蟻所經(jīng)過(guò)路程的最小值為_(kāi)_______. 11.(2015西安模擬)如圖所示是一幾何體的直觀圖及正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖. (1)若F為PD的中點(diǎn),證明:AF⊥平面PCD; (2)證明:BD∥平面PEC. 12.如圖1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,將△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到幾何體D—ABC,如圖2所示. (1)求證:BC⊥平面ACD; (2)求幾何體D—ABC的體積. 答案精析 專題6 立體幾何與空間向量 第25練 空間幾何體的三視圖及表面積與體積 ??碱}型精析 例1 (1)D (2)B 解析 (1)由三視圖可知,該幾何體的正視圖是一個(gè)直角三角形(三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,0,2),(0,2,0),(0,2,2))且內(nèi)有一虛線(一頂點(diǎn)與另一直角邊中點(diǎn)的連線),故正視圖是④;俯視圖即在底面的射影是一個(gè)斜三角形,三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,0,0),(2,2,0),(1,2,0),故俯視圖是②. (2)還原正方體后,將D1,D,A三點(diǎn)分別向正方體右側(cè)面作垂線.D1A的射影為C1B,且為實(shí)線,B1C被遮擋應(yīng)為虛線. 變式訓(xùn)練1 B [該幾何體是組合體,上面的幾何體是一個(gè)五面體,下面是一個(gè)長(zhǎng)方體,且五面體的一個(gè)面即為長(zhǎng)方體的一個(gè)面,五面體最上面的棱的兩端點(diǎn)在底面的射影距左右兩邊距離相等,因此選B.] 例2 (1)B (2)π 解析 (1)由空間幾何體的三視圖可得該空間幾何體的直觀圖,如圖,∴該四面體的表面積為S表=221+2()2=2+,故選B. (2)由三視圖可知,該幾何體由相同底面的兩圓錐和圓柱組成,底面半徑為1 m,圓錐的高為1 m,圓柱的高為2 m,所以該幾何體的體積V=2π121+π122=πm3. 變式訓(xùn)練2 解 由該四面體的三視圖可知,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,∴AD⊥平面BDC, ∴四面體ABCD的體積V=221=. (2)證明 ∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH, ∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH. 同理EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG, ∴四邊形EFGH是平行四邊形, 又∵AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG. ∴四邊形EFGH是矩形. 高考題型精練 1.B [由正(主)視圖與俯視圖想象出其直觀圖,然后進(jìn)行運(yùn)算求解.如圖,該幾何體是一個(gè)半球與一個(gè)半圓柱的組合體,球的半徑為r,圓柱的底面半徑為r,高為2r,則表面積S=4πr2+πr2+4r2+πr2r=(5π+4)r2.又S=16+20π,∴(5π+4)r2=16+20π, ∴r2=4,r=2,故選B.] 2.A [這是一個(gè)三棱錐與半個(gè)圓柱的組合體,V=π122+1=π+,選A.] 3.D [該幾何體如圖所示,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6 cm,4 cm,3 cm,直三棱柱的底面是直角三角形,邊長(zhǎng)分別為3 cm,4 cm,5 cm,所以表面積S=[2(46+43)+36+33]+=99+39=138(cm2).] 4.B [由俯視圖可知該幾何體的底面由三角形和半圓兩部分構(gòu)成,結(jié)合正(主)視圖和側(cè)(左)視圖可知該幾何體是由半個(gè)圓錐與一個(gè)三棱錐組合而成的,并且圓錐的軸截面與三棱錐的一個(gè)側(cè)面重合,兩個(gè)錐體的高相等. 由三視圖中的數(shù)據(jù),可得該圓錐的底面半徑r=6,三棱錐的底面是一個(gè)底邊長(zhǎng)為12,高為6的等腰三角形,兩個(gè)錐體的高h(yuǎn)==6, 故半圓錐的體積V1=π626=36π. 三棱錐的底面積S=126=36, 三棱錐的體積V2=Sh=366=72. 故該幾何體的體積V=V1+V2=36π+72 =36(π+2).故選B.] 5.B [由俯視圖可以判斷該幾何體的底面為直角三角形,由正(主)視圖和側(cè)(左)視圖可以判斷該幾何體是由直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱)截取得到的.在長(zhǎng)方體中分析還原,如圖(1)所示,故該幾何體的直觀圖如圖(2)所示.在圖(1)中,直角梯形ABPA1的面積為(2+5)4=14,計(jì)算可得A1P=5.直角梯形BCC1P的面積為(2+5)5=.因?yàn)锳1C1⊥平面A1ABP,A1P?平面A1ABP,所以A1C1⊥A1P,故Rt△A1PC1的面積為53=. 又Rt△ABC的面積為43=6,矩形ACC1A1的面積為53=15,故幾何體ABC-A1PC1的表面積為14+++6+15=60.] 6.A [設(shè)球O1,O2的半徑分別為r1,r2, 由題意知O1A+O1O2+O2C1=, 而O1A=r1,O1O2=r1+r2,O2C1=r2, ∵r1+r1+r2+r2=.∴r1+r2=, 從而S1+S2=4πr+4πr=4π(r+r) ≥4π=(6-3)π.] 7.C [如圖,過(guò)A作AD垂直SC于D,連接BD. 由于SC是球的直徑,所以∠SAC=∠SBC=90,又∠ASC=∠BSC=30,又SC為公共邊, 所以△SAC≌△SBC. 由于AD⊥SC,所以BD⊥SC. 由此得SC⊥平面ABD. 所以VS—ABC=VS—ABD+VC—ABD=S△ABDSC. 由于在Rt△SAC中,∠ASC=30,SC=4, 所以AC=2,SA=2,由于AD==. 同理在Rt△BSC中也有BD==. 又AB=,所以△ABD為正三角形, 所以VS—ABC=S△ABDSC=()2sin 604=,所以選C.] 8.C [過(guò)點(diǎn)C作CE垂直AD所在直線于點(diǎn)E,梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長(zhǎng)為底面圓半徑,線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長(zhǎng)為底面圓半徑,ED為高的圓錐,如圖所示,該幾何體的體積為V=V圓柱-V圓錐=πAB2BC-πCE2DE=π122-π121=,故選C.] 9.2 解析 根據(jù)三視圖還原幾何體,得如圖所示的三棱錐P-ABC. 由三視圖的形狀特征及數(shù)據(jù),可推知PA⊥平面ABC,且PA=2. 底面為等腰三角形,AB=BC, 設(shè)D為AC的中點(diǎn),AC=2,則AD=DC=1,且BD=1, 易得AB=BC=,所以最長(zhǎng)的棱為PC, PC==2. 10.+ 解析 如圖所示,側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)四分之一圓與一個(gè)等邊三角形,從點(diǎn)A出發(fā)沿該幾何體的側(cè)面環(huán)繞一周回到A點(diǎn),螞蟻所經(jīng)過(guò)路程的最小值為|AA1|===+. 11.證明 (1)由幾何體的三視圖,可知底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,PA⊥平面ABCD,PA∥EB,PA=2EB=4. 因?yàn)镻A=AD,F(xiàn)為PD的中點(diǎn), 所以PD⊥AF. 又CD⊥DA,CD⊥PA,PA∩DA=A, 所以CD⊥平面ADP.所以CD⊥AF. 又CD∩DP=D,所以AF⊥平面PCD. (2)取PC的中點(diǎn)M,連接AC,EM,AC與BD的交點(diǎn)為N,連接MN,所以MN=PA,MN∥PA. 所以MN=EB,MN∥EB. 故四邊形BEMN為平行四邊形. 所以EM∥BN. 又EM?平面PEC,BN?平面PEC, 所以BD∥平面PEC. 12.(1)證明 在圖中,可得AC=BC=2, 從而AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC. 又平面ADC⊥平面ABC, 平面ADC∩平面ABC=AC,BC?平面ABC, ∴BC⊥平面ACD. (2)解 由(1)可知BC為三棱錐B—ACD的高, BC=2,S△ACD=2, ∴VB—ACD=S△ACDBC =22=, 由等體積性可知,幾何體D—ABC的體積為.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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