中考數(shù)學(xué) 第二輪 專題突破 能力提升 專題集訓(xùn)12 相似三角形探究試題

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專題集訓(xùn)12　相似三角形探究 一、選擇題 1．如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是6和8，另一個(gè)與它相似的直角三角形邊長(zhǎng)分別是3和4及x，那么x的值( B ) A．只有1個(gè)　　　　　　　　B．可以有2個(gè) C．有2個(gè)以上但有限 D．有無數(shù) 【解析】由題意：直角三角形兩條邊邊長(zhǎng)為6和8，則邊長(zhǎng)為6的只可能為直角邊，當(dāng)邊長(zhǎng)為8的是直角時(shí)，斜邊為10，如圖①.當(dāng)8為斜邊時(shí)，另一條邊長(zhǎng)為2，如圖②.邊長(zhǎng)為3，4及x的直角三角形與之相似，也只可能出現(xiàn)兩種情況． 二、填空題 2．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為10，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，EB＝10，點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動(dòng)(C，D兩點(diǎn)除外)，EP與AB相交于點(diǎn)F，若CP＝x，四邊形FBCP的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是__y＝x(0＜x＜10)__． 【解析】 由題條件易知△EBF∽△ECP，且FB＝CP.∴＝()2＝()2＝，∴＝，而S△EBF＝x10＝x，∴SBCPE＝3S△EBF＝x，即y＝x(0＜x＜10)． 三、解答題 3．如圖，已知拋物線y＝(x＋2)(x－4)與x軸交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，M為拋物線的頂點(diǎn)． (1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)； (2)P是拋物線上一點(diǎn)，請(qǐng)你探究：是否存在點(diǎn)P，使以P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似(△PAB與△ABD不重合)？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 解：(1)令y＝0得x1＝－2，x2＝4，∴點(diǎn)A(－2，0)，B(4，0)，令x＝0得y＝－，∴點(diǎn)C(0，－)　(2)過點(diǎn)D作DE⊥BA，垂足為E.由CD∥x軸，C(0，－)，可得D(2，－)．由勾股定理得AD＝＝＝3，BD＝＝＝，①當(dāng)P1AB∽△ADB時(shí)，＝，即＝，∴P1B＝6.過點(diǎn)P1作P1M1⊥AB，垂足為M1.∴＝，即＝，解得P1M1＝6，∵＝，即＝，解得BM1＝12，∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(－8，6)．∵點(diǎn)P1不在拋物線上，所以此種情況不存在； ②當(dāng)△P2AB∽△BDA時(shí)，＝，即＝，∴P2B＝6.過點(diǎn)P2作P2M2⊥AB，垂足為M2.∴＝，即：＝，∴P2M2＝2，∵＝，即：＝，∴M2B＝8，∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(－4，2)；將x＝－4代入拋物線的解析式得：y＝2，∴點(diǎn)P2在拋物線上．由拋物線的對(duì)稱性可知：點(diǎn)P2與點(diǎn)P4關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∴P4的坐標(biāo)為(6，2)，當(dāng)點(diǎn)P3位于點(diǎn)C處時(shí)，兩三角形全等，所以點(diǎn)P3的坐標(biāo)為(0，－)，綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(－4，2)或(6，2)或(0，－)時(shí)，以P，A，B為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似 4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，OA＝10厘米，OC＝6厘米，現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從O，A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P在線段OA上沿OA方向作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段AB上沿AB方向作勻速運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1厘米． (1)設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒厘米，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)△COP和△PAQ相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)． (2)設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒a厘米，問是否存在a的值，使得△OCP與△PAQ和△CBQ這兩個(gè)三角形都相似？若存在，請(qǐng)求出a的值，并寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解：(1)如圖，當(dāng)∠1＝∠2時(shí)，＝，∴＝，∴t2＋6t－60＝0，解得t1＝－6＋2，t2＝－6－2(舍去)， 當(dāng)∠1＝∠3時(shí)，＝，解得t＝7，因此，當(dāng)t＝－6＋2或7時(shí)，即當(dāng)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(10，－3＋)或(10，)時(shí)，△COP與PAQ相似 (2)設(shè)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則OP＝t，AQ＝at.①當(dāng)∠1＝∠3＝∠4時(shí)，＝＝，＝＝，解得t1＝2，t2＝18(舍去)，此時(shí)a＝，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(10，)；②當(dāng)∠1＝∠3＝∠5時(shí)，∠CPQ＝∠CQP＝90不成立；③當(dāng)∠1＝∠2＝∠4時(shí)，＝＝，＝＝，得5t2－36t＋180＝0，Δ＜0，方程無實(shí)數(shù)解；④當(dāng)∠1＝∠2＝∠5時(shí)，由圖可知∠1＝∠PCB＞∠5，故不存在這樣的a值；綜上所述，存在a的值，使得△OCP與△PAQ和△CBQ這兩個(gè)三角形都相似，此時(shí)a＝，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(10，)