九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷(含解析) 新人教版2
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2015-2016學(xué)年山東省菏澤市單縣九年級(上)期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題(本大題共8個(gè)小題,每小題3分,共24分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)A、B、C、D中,只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的,請把正確的選項(xiàng)選出來并填在該題相應(yīng)的括號內(nèi)) 1.如果兩個(gè)相似三角形的相似比是1:2,那么它們的面積比是( ?。? A.1:2 B.1:4 C.1: D.2:1 2.在△ABC中,∠C=90,sinA=,則sinB的值是( ) A. B. C. D. 3.如圖,AB是⊙O的直徑,∠ACD=15,則∠BAD的度數(shù)為( ) A.15 B.30 C.60 D.75 4.如圖所示,給出下列條件:①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB;③;④AC2=AD?AB.其中單獨(dú)能夠判定△ABC∽△ACD的個(gè)數(shù)為( ?。? A.1 B.2 C.3 D.4 5.在△ABC中,若cosA=,tanB=,則這個(gè)三角形一定是( ?。? A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形 6.如圖,每個(gè)小正方形邊長均為1,則下列圖中的三角形(陰影部分)與左圖中△ABC相似的是( ) A. B. C. D. 7.如圖,BC是⊙O的直徑,P是CB延長線上一點(diǎn),PA切⊙O于點(diǎn)A,如果PA=4,PB=2,那么線段BC的長等于( ?。? A.3 B.4 C.5 D.6 8.如圖,在半徑為6cm的⊙O中,點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn),點(diǎn)D是優(yōu)弧上一點(diǎn),且∠D=30,下列四個(gè)結(jié)論: ①OA⊥BC;②BC=6;③sin∠AOB=;④四邊形ABOC是菱形. 其中正確結(jié)論的序號是( ) A.①③ B.①②③④ C.②③④ D.①③④ 二、填空題(本大題共6個(gè)小題,每小題3分,共18分,只要求填寫最后結(jié)果,每小題填對得3分) 9.等腰三角形底邊長10cm,周長為36cm,則一底角的正切值為 ?。? 10.弧長為6π的弧所對的圓心角為60,則該弧所在圓的半徑是 ?。? 11.將一副三角尺如圖所示疊放在一起,則的值是 ?。? 12.如圖,平行四邊形ABCD中,E是邊BC上的點(diǎn),AE交BD于點(diǎn)F,如果,則= ?。? 13.如圖,AB、AC是⊙O的兩條切線,切點(diǎn)分別為B、C,D是優(yōu)弧BC上的一點(diǎn),已知∠BAC=80,那么∠BDC= 度. 14.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC是邊長為2的正方形,頂點(diǎn)A、C分別在x,y軸的正半軸上.點(diǎn)Q在對角線OB上,且QO=OC,連接CQ并延長CQ交邊AB于點(diǎn)P.則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ?。? 三、解答題(本大題共7個(gè)小題,共78分)解答應(yīng)寫出必要的證明過程或演算步驟 15.計(jì)算:tan30?sin60+cos230﹣sin245?tan45. 16.如圖,△ABC中,DE∥BC,DE=1,AD=2,DB=3,求BC的長. 17.如圖是以△ABC的邊AB為直徑的半圓O,點(diǎn)C恰好在半圓上,過C作CD⊥AB交AB于D.已知cos∠ACD=,BC=4,求AC的長. 18.如圖,△ABC的三頂點(diǎn)分別為A(4,4),B(﹣2,2),C(3,0).請畫出一個(gè)以原點(diǎn)O為位似中心,且與△ABC相似比為的位似圖形△A1B1C1,并寫出△A1B1C1各頂點(diǎn)的坐標(biāo).(只需畫出一種情況,A1B1:AB=) 19.如圖1表示一個(gè)時(shí)鐘的鐘面垂直固定與水平桌面上,其中分針上有一點(diǎn)A,且當(dāng)鐘面顯示3點(diǎn)30分時(shí),分針垂直與桌面,A點(diǎn)距桌面的高度為10公分.如圖2,若此鐘面顯示3點(diǎn)45分時(shí),A點(diǎn)距離桌面的高度為16公分,則鐘面顯示3點(diǎn)50分時(shí),A點(diǎn)距桌面的高度為多少公分? 20.如圖,小明為測量某鐵塔AB的高度,他在離塔底B的10米C處測得塔頂?shù)难鼋铅?43,已知小明的測角儀高CD=1.5米,求鐵塔AB的高.(精確到0.1米) (參考數(shù)據(jù):sin43=0.6820,cos43=0.7314,tan43=0.9325) 21.如圖,以線段AB為直徑的⊙O交線段AC于點(diǎn)E,點(diǎn)M是的中點(diǎn),OM交AC于點(diǎn)D,∠BOE=60,cosC=,BC=2. (1)求∠A的度數(shù); (2)求證:BC是⊙O的切線; (3)求MD的長度. 22.釣魚島自古以來就是我國的神圣領(lǐng)土,為維護(hù)國家主權(quán)和海洋權(quán)利,我國海監(jiān)和漁政部門對釣魚島 海域?qū)崿F(xiàn)了常態(tài)化巡航管理.如圖,某日在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B,B船在A船的正東方向,且兩船保持20海里的距離,某一時(shí)刻兩海監(jiān)船同時(shí)測得在A的東北方向,B的北偏東15方向有一我國漁政執(zhí)法船C,求此時(shí)船C與船B的距離是多少.(結(jié)果保留根號) 23.在矩形ABCD中,DC=2,CF⊥BD分別交BD、AD于點(diǎn)E、F,連接BF. (1)求證:△DEC∽△FDC; (2)當(dāng)F為AD的中點(diǎn)時(shí),求sin∠FBD的值及BC的長度. 24.(12分)如圖,在Rt△ABC中,斜邊BC=12,∠C=30,D為BC的中點(diǎn),△ABD的外接圓⊙O與AC交于F點(diǎn),過A作⊙O的切線AE交DF的延長線于E點(diǎn). (1)求證:AE⊥DE; (2)計(jì)算:AC?AF的值. 2015-2016學(xué)年山東省菏澤市單縣九年級(上)期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題(本大題共8個(gè)小題,每小題3分,共24分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)A、B、C、D中,只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的,請把正確的選項(xiàng)選出來并填在該題相應(yīng)的括號內(nèi)) 1.如果兩個(gè)相似三角形的相似比是1:2,那么它們的面積比是( ?。? A.1:2 B.1:4 C.1: D.2:1 【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì). 【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可得出. 【解答】解:∵兩個(gè)相似三角形的相似比是1:2, ∴(1:2)2=1:4.故選B. 【點(diǎn)評】本題是一道考查相似三角形性質(zhì)的基本題目,比較簡單. 2.在△ABC中,∠C=90,sinA=,則sinB的值是( ) A. B. C. D. 【考點(diǎn)】互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系. 【分析】根據(jù)互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系:sin2A+sin2B=1解答. 【解答】解:∵在Rt△ABC,∠C=90, ∴∠A+∠B=90, ∴sin2A+sin2B=1,sinB>0, ∵sinA=, ∴sinB==. 故選:C. 【點(diǎn)評】本題考查了互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系,掌握sin2A+sin2B=1是解題的關(guān)鍵. 3.如圖,AB是⊙O的直徑,∠ACD=15,則∠BAD的度數(shù)為( ?。? A.15 B.30 C.60 D.75 【考點(diǎn)】圓周角定理. 【專題】壓軸題. 【分析】由AB是圓的直徑,則∠ADB=90,由圓周角定理知,∠ABD=∠ACD=15,即可求∠BAD=90﹣∠B=75. 【解答】解:連接BD, ∵AB是圓的直徑, ∴∠ADB=90, ∴∠ABD=∠ACD=15, ∴∠BAD=90﹣∠ABD=75. 故選:D. 【點(diǎn)評】本題考查了直徑對的圓周角定理是直角和圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于這條弧所對的圓心角的一半. 4.如圖所示,給出下列條件:①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB;③;④AC2=AD?AB.其中單獨(dú)能夠判定△ABC∽△ACD的個(gè)數(shù)為( ?。? A.1 B.2 C.3 D.4 【考點(diǎn)】相似三角形的判定. 【分析】由圖可知△ABC與△ACD中∠A為公共角,所以只要再找一組角相等,或一組對應(yīng)邊成比例即可解答. 【解答】解:有三個(gè). ①∠B=∠ACD,再加上∠A為公共角,可以根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來判定; ②∠ADC=∠ACB,再加上∠A為公共角,可以根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來判定; ③中∠A不是已知的比例線段的夾角,不正確 ④可以根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個(gè)三角形相似來判定; 故選:C. 【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對相似三角形的判定方法的掌握情況. 5.在△ABC中,若cosA=,tanB=,則這個(gè)三角形一定是( ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形 【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值. 【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和三角形的內(nèi)角和定理求出角的度數(shù),再進(jìn)行判斷. 【解答】解:∵cosA=,tanB=, ∴∠A=45,∠B=60. ∴∠C=180﹣45﹣60=75. ∴△ABC為銳角三角形. 故選A. 【點(diǎn)評】本題考查特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算,特殊角三角函數(shù)值計(jì)算在中考中經(jīng)常出現(xiàn),題型以選擇題、填空題為主. 6.如圖,每個(gè)小正方形邊長均為1,則下列圖中的三角形(陰影部分)與左圖中△ABC相似的是( ?。? A. B. C. D. 【考點(diǎn)】相似三角形的判定. 【專題】網(wǎng)格型. 【分析】本題主要應(yīng)用兩三角形相似判定定理,三邊對應(yīng)成比例,分別對各選項(xiàng)進(jìn)行分析即可得出答案. 【解答】解:已知給出的三角形的各邊AB、CB、AC分別為、2、、 只有選項(xiàng)B的各邊為1、、與它的各邊對應(yīng)成比例. 故選:B. 【點(diǎn)評】此題考查三角形相似判定定理的應(yīng)用. 7.如圖,BC是⊙O的直徑,P是CB延長線上一點(diǎn),PA切⊙O于點(diǎn)A,如果PA=4,PB=2,那么線段BC的長等于( ?。? A.3 B.4 C.5 D.6 【考點(diǎn)】切線的性質(zhì). 【分析】如圖,連接OA.根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP=90,所以在直角△AOP中,利用勾股定理來求該圓的半徑,則易求直徑BC的長度. 【解答】解:設(shè)該圓的半徑為r(r>0), 如圖,連接OA, ∵PA切⊙O于點(diǎn)A, ∴OA⊥AP,即∠OAP=90, 又∵PA=4,PB=2, ∴在直角△AOP中,利用勾股定理得到:PA2+OA2=OP2,即42+r2=(r+2)2, 則r=3, ∴⊙O的直徑BC=2r=6, 故選D. 【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì).運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證,常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn),利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題是解答此題的關(guān)鍵. 8.如圖,在半徑為6cm的⊙O中,點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn),點(diǎn)D是優(yōu)弧上一點(diǎn),且∠D=30,下列四個(gè)結(jié)論: ①OA⊥BC;②BC=6;③sin∠AOB=;④四邊形ABOC是菱形. 其中正確結(jié)論的序號是( ?。? A.①③ B.①②③④ C.②③④ D.①③④ 【考點(diǎn)】垂徑定理;菱形的判定;圓周角定理;解直角三角形. 【專題】幾何圖形問題. 【分析】分別根據(jù)垂徑定理、菱形的判定定理、銳角三角函數(shù)的定義對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可. 【解答】解:∵點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn),OA過圓心, ∴OA⊥BC,故①正確; ∵∠D=30, ∴∠ABC=∠D=30, ∴∠AOB=60, ∵點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn), ∴BC=2CE, ∵OA=OB, ∴OA=OB=AB=6cm, ∴BE=AB?cos30=6=3cm, ∴BC=2BE=6cm,故②正確; ∵∠AOB=60, ∴sin∠AOB=sin60=, 故③正確; ∵∠AOB=60, ∴AB=OB, ∵點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn), ∴AC=AB, ∴AB=BO=OC=CA, ∴四邊形ABOC是菱形, 故④正確. 故選:B. 【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理、菱形的判定、圓周角定理、解直角三角形,綜合性較強(qiáng),是一道好題. 二、填空題(本大題共6個(gè)小題,每小題3分,共18分,只要求填寫最后結(jié)果,每小題填對得3分) 9.等腰三角形底邊長10cm,周長為36cm,則一底角的正切值為 ?。? 【考點(diǎn)】解直角三角形. 【分析】易求腰長.作底邊上的高,根據(jù)三角函數(shù)的定義求解. 【解答】解:如圖,AB=AC,BC=10,AD為底邊上的高,周長為36, 則AB=AC=(36﹣10)2=13. ∵BD=5, ∴由勾股定理得,AD=12. tan∠ABC=AD:BD=12:5. 【點(diǎn)評】本題利用了等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的概念. 10.弧長為6π的弧所對的圓心角為60,則該弧所在圓的半徑是 18 . 【考點(diǎn)】弧長的計(jì)算. 【分析】利用底面周長=展開圖的弧長可得. 【解答】解: =6π, 解得r=18. 【點(diǎn)評】解答本題的關(guān)鍵是有確定底面周長=展開圖的弧長這個(gè)等量關(guān)系,然后由扇形的弧長公式和圓的周長公式求值. 11.將一副三角尺如圖所示疊放在一起,則的值是 ?。? 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì). 【分析】由∠BAC=∠ACD=90,可得AB∥CD,即可證得△ABE∽△DCE,然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例,可得:,然后利用三角函數(shù),用AC表示出AB與CD,即可求得答案. 【解答】解:∵∠BAC=∠ACD=90, ∴AB∥CD, ∴△ABE∽△DCE, ∴, ∵在Rt△ACB中∠B=45, ∴AB=AC, ∵在Rt△ACD中,∠D=30, ∴CD==AC, ∴==. 故答案為:. 【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與三角函數(shù)的性質(zhì).此題難度不大,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 12.如圖,平行四邊形ABCD中,E是邊BC上的點(diǎn),AE交BD于點(diǎn)F,如果,則= . 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì). 【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形,易得△BEF∽△DAF,即可得=,然后由,求得答案. 【解答】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AD∥BC,AD=BC, ∴△BEF∽△DAF, ∴=, ∵, ∴=, ∴=. 故答案為:. 【點(diǎn)評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì).此題難度不大,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 13.如圖,AB、AC是⊙O的兩條切線,切點(diǎn)分別為B、C,D是優(yōu)弧BC上的一點(diǎn),已知∠BAC=80,那么∠BDC= 50 度. 【考點(diǎn)】切線的性質(zhì);圓周角定理. 【分析】先用切線的性質(zhì)得出∠BAD=∠ACD=90,再用四邊形內(nèi)角和定理得出∠BOC,∠BDC可求. 【解答】解:連接OB、OC,則∠ABO=∠ACO=90, ∠BAC+∠BOC=360﹣(∠ABO+∠ACO)=360﹣180=180, ∠BOC=180﹣∠BAC=180﹣80=100, 故∠BDC=∠BOC=100=50. 【點(diǎn)評】本題考查的是切線的性質(zhì)及圓周角定理,四邊形內(nèi)角和定理,比較簡單. 14.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC是邊長為2的正方形,頂點(diǎn)A、C分別在x,y軸的正半軸上.點(diǎn)Q在對角線OB上,且QO=OC,連接CQ并延長CQ交邊AB于點(diǎn)P.則點(diǎn)P的坐標(biāo)為?。?,4﹣2)?。? 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);坐標(biāo)與圖形性質(zhì);正方形的性質(zhì). 【分析】根據(jù)正方形的對角線等于邊長的倍求出OB,再求出BQ,然后求出△BPQ和△OCQ相似,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出BP的長,再求出AP,即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo). 【解答】解:∵四邊形OABC是邊長為2的正方形, ∴OA=OC=2,OB=2, ∵QO=OC, ∴BQ=OB﹣OQ=2﹣2, ∵正方形OABC的邊AB∥OC, ∴△BPQ∽△OCQ, ∴=, 即=, 解得BP=2﹣2, ∴AP=AB﹣BP=2﹣(2﹣2)=4﹣2, ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,4﹣2). 故答案為:(2,4﹣2). 【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的對角線等于邊長的倍的性質(zhì),以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì),比較簡單,利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出BP的長是解題的關(guān)鍵. 三、解答題(本大題共7個(gè)小題,共78分)解答應(yīng)寫出必要的證明過程或演算步驟 15.計(jì)算:tan30?sin60+cos230﹣sin245?tan45. 【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值. 【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入,然后化簡求值即可. 【解答】解:原式=+()2﹣()21 =+﹣=. 【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力,是各地中考題中常見的計(jì)算題型.解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值. 16.如圖,△ABC中,DE∥BC,DE=1,AD=2,DB=3,求BC的長. 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì). 【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得出△ADE∽△ABC,再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出BC的長. 【解答】解:∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴, ∵DE=1,AD=2,DB=3, ∴AB=AD+DB=5, ∴BC==. 【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì),熟知相似三角形對應(yīng)邊的比相等是解答此題的關(guān)鍵. 17.如圖是以△ABC的邊AB為直徑的半圓O,點(diǎn)C恰好在半圓上,過C作CD⊥AB交AB于D.已知cos∠ACD=,BC=4,求AC的長. 【考點(diǎn)】圓周角定理;解直角三角形. 【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角等于90,得∠ACB=90,再由CD⊥AB.易得∠ACD=∠B,又由cos∠ACD=,得出tanB,即可求得答案. 【解答】解:∵AB為直徑, ∴∠ACB=90, ∴∠ACD+∠BCD=90, ∵CD⊥AB, ∴∠BCD+∠B=90, ∴∠B=∠ACD, ∵cos∠ACD=, ∴cos∠B=, ∴tan∠B=, ∵BC=4, ∴tan∠B=, ∴= ∴AC=. 【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理以及三角函數(shù)的性質(zhì).此題難度適中,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 18.如圖,△ABC的三頂點(diǎn)分別為A(4,4),B(﹣2,2),C(3,0).請畫出一個(gè)以原點(diǎn)O為位似中心,且與△ABC相似比為的位似圖形△A1B1C1,并寫出△A1B1C1各頂點(diǎn)的坐標(biāo).(只需畫出一種情況,A1B1:AB=) 【考點(diǎn)】作圖-位似變換;坐標(biāo)確定位置. 【分析】先以原點(diǎn)O為位似中心,作△ABC的位似圖形,使相似比為,再根據(jù)所作三角形三點(diǎn)的位置寫出三點(diǎn)的坐標(biāo). 【解答】解:如圖 △A1B1C1就是所求的三角形,A1(﹣2,﹣2),B1(1,﹣1),C1(﹣1.5,0). 【點(diǎn)評】此題考查位似三角形的作法和點(diǎn)的坐標(biāo)的寫法,難度中等. 19.如圖1表示一個(gè)時(shí)鐘的鐘面垂直固定與水平桌面上,其中分針上有一點(diǎn)A,且當(dāng)鐘面顯示3點(diǎn)30分時(shí),分針垂直與桌面,A點(diǎn)距桌面的高度為10公分.如圖2,若此鐘面顯示3點(diǎn)45分時(shí),A點(diǎn)距離桌面的高度為16公分,則鐘面顯示3點(diǎn)50分時(shí),A點(diǎn)距桌面的高度為多少公分? 【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用. 【分析】根據(jù)當(dāng)鐘面顯示3點(diǎn)30分時(shí),分針垂直于桌面,A點(diǎn)距桌面的高度為10公分得出AD=10,進(jìn)而得出A′C=16,從而得出A′A″=3,得出答案即可. 【解答】解:連接A″A′, ∵當(dāng)鐘面顯示3點(diǎn)30分時(shí),分針垂直于桌面,A點(diǎn)距桌面的高度為10公分. ∴AD=10, ∵鐘面顯示3點(diǎn)45分時(shí),A點(diǎn)距桌面的高度為16公分, ∴A′C=16, ∴AO=A″O=6, 則鐘面顯示3點(diǎn)50分時(shí), ∠A″OA′=30, ∴A′A″=3, ∴A點(diǎn)距桌面的高度為:16+3=19公分. 【點(diǎn)評】此題主要考查了解直角三角形以及鐘面角,得出∠A′OA=30,進(jìn)而得出A′A″=3,是解決問題的關(guān)鍵. 20.如圖,小明為測量某鐵塔AB的高度,他在離塔底B的10米C處測得塔頂?shù)难鼋铅?43,已知小明的測角儀高CD=1.5米,求鐵塔AB的高.(精確到0.1米) (參考數(shù)據(jù):sin43=0.6820,cos43=0.7314,tan43=0.9325) 【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題. 【專題】應(yīng)用題. 【分析】本題是一個(gè)直角梯形的問題,可以過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,把求AB的問題轉(zhuǎn)化求AE的長,從而可以在△ADE中利用三角函數(shù)求解. 【解答】解:如圖,可知四邊形DCBE是矩形. ∴EB=DC=1.5米,DE=CB=10米. 在Rt△AED中,∠ADE=α=43. ∴tanα=. ∴AE=DE?tan43=100.9325=9.325米; ∴AB=AE+EB=9.325+1.5=10.825≈10.8(米). 【點(diǎn)評】解直角梯形可以通過作高線轉(zhuǎn)化為解直角三角形和矩形的問題. 21.如圖,以線段AB為直徑的⊙O交線段AC于點(diǎn)E,點(diǎn)M是的中點(diǎn),OM交AC于點(diǎn)D,∠BOE=60,cosC=,BC=2. (1)求∠A的度數(shù); (2)求證:BC是⊙O的切線; (3)求MD的長度. 【考點(diǎn)】圓周角定理;切線的判定與性質(zhì);弧長的計(jì)算;特殊角的三角函數(shù)值. 【專題】計(jì)算題;證明題;壓軸題. 【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)的知識即可得出∠A的度數(shù). (2)要證BC是⊙O的切線,只要證明AB⊥BC即可. (3)根據(jù)切線的性質(zhì),運(yùn)用三角函數(shù)的知識求出MD的長度. 【解答】(1)解:∵∠BOE=60, ∴∠A=∠BOE=30. (2)證明:在△ABC中,∵cosC=, ∴∠C=60. 又∵∠A=30, ∴∠ABC=90, ∴AB⊥BC. ∴BC是⊙O的切線. (3)解:∵點(diǎn)M是的中點(diǎn), ∴OM⊥AE. 在Rt△ABC中,∵BC=2, ∴AB=BC?tan60=2=6. ∴OA==3, ∴OD=OA=, ∴MD=. 【點(diǎn)評】本題綜合考查了三角函數(shù)的知識、切線的判定.要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點(diǎn),連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑),再證垂直即可. 22.釣魚島自古以來就是我國的神圣領(lǐng)土,為維護(hù)國家主權(quán)和海洋權(quán)利,我國海監(jiān)和漁政部門對釣魚島 海域?qū)崿F(xiàn)了常態(tài)化巡航管理.如圖,某日在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B,B船在A船的正東方向,且兩船保持20海里的距離,某一時(shí)刻兩海監(jiān)船同時(shí)測得在A的東北方向,B的北偏東15方向有一我國漁政執(zhí)法船C,求此時(shí)船C與船B的距離是多少.(結(jié)果保留根號) 【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題. 【專題】壓軸題. 【分析】首先過點(diǎn)B作BD⊥AC于D,由題意可知,∠BAC=45,∠ABC=90+15=105,則可求得∠ACB的度數(shù),然后利用三角函數(shù)的知識求解即可求得答案. 【解答】解:過點(diǎn)B作BD⊥AC于D. 由題意可知,∠BAC=45,∠ABC=90+15=105, ∴∠ACB=180﹣∠BAC﹣∠ABC=30, 在Rt△ABD中,BD=AB?sin∠BAD=20=10(海里), 在Rt△BCD中,BC===20(海里). 答:此時(shí)船C與船B的距離是20海里. 【點(diǎn)評】此題考查了方向角問題.此題難度適中,注意能借助于方向角構(gòu)造直角三角形,并利用解直角三角形的知識求解是解此題的關(guān)鍵. 23.在矩形ABCD中,DC=2,CF⊥BD分別交BD、AD于點(diǎn)E、F,連接BF. (1)求證:△DEC∽△FDC; (2)當(dāng)F為AD的中點(diǎn)時(shí),求sin∠FBD的值及BC的長度. 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);矩形的性質(zhì);解直角三角形. 【專題】壓軸題. 【分析】(1)根據(jù)題意可得∠DEC=∠FDC,利用兩角法即可進(jìn)行相似的判定; (2)根據(jù)F為AD的中點(diǎn),可得FB=FC,根據(jù)AD∥BC,可得FE:EC=FD:BC=1:2,再由sin∠FBD=EF:BF=EF:FC,即可得出答案,設(shè)EF=x,則EC=2x,利用(1)的結(jié)論求出x,在Rt△CFD中求出FD,繼而得出BC. 【解答】解:(1)∵∠DEC=∠FDC=90,∠DCE=∠FCD, ∴△DEC∽△FDC. (2)∵F為AD的中點(diǎn),AD∥BC, ∴FE:EC=FD:BC=1:2,F(xiàn)B=FC, ∴FE:FC=1:3, ∴sin∠FBD=EF:BF=EF:FC=; 設(shè)EF=x,則FC=3x, ∵△DEC∽△FDC, ∴=,即可得:6x2=12, 解得:x=, 則CF=3, 在Rt△CFD中,DF==, ∴BC=2DF=2. 【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性質(zhì):對應(yīng)邊成比例. 24.(12分)(2009?蕪湖)如圖,在Rt△ABC中,斜邊BC=12,∠C=30,D為BC的中點(diǎn),△ABD的外接圓⊙O與AC交于F點(diǎn),過A作⊙O的切線AE交DF的延長線于E點(diǎn). (1)求證:AE⊥DE; (2)計(jì)算:AC?AF的值. 【考點(diǎn)】切線的性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì);直角三角形的性質(zhì);圓周角定理;圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì). 【專題】幾何綜合題;壓軸題. 【分析】(1)連接OA、OB,證明△ABD為等邊三角形后根據(jù)三心合一的定理求出∠OAC=60,求出四邊形ABDF內(nèi)接于圓O,利用切線的性質(zhì)求出AE⊥DE; (2)由1可得△ABD為等邊三角形,易證△ADF∽△ACD,可得AD2=AC?AF. 【解答】(1)證明:在Rt△ABC中,∠BAC=90,∠C=30,D為BC的中點(diǎn), ∴∠ABD=60,AD=BD=DC. ∴△ABD為等邊三角形. ∴O點(diǎn)為△ABD的中心(內(nèi)心,外心,垂心三心合一). 連接OA,OB,∠BAO=∠OAD=30, ∴∠OAC=60. 又∵AE為⊙O的切線, ∴OA⊥AE,∠OAE=90. ∴∠EAF=30. ∴AE∥BC. 又∵四邊形ABDF內(nèi)接于圓O, ∴∠FDC=∠BAC=90. ∴∠AEF=∠FDC=90,即AE⊥DE. (2)解:由(1)知,△ABD為等邊三角形, ∴∠ADB=60. ∴∠ADF=∠C=30,∠FAD=∠DAC. ∴△ADF∽△ACD,則. ∴AD2=AC?AF, 又∵AD=BC=6. ∴AC?AF=36. 【點(diǎn)評】本題考查了圓的切線性質(zhì),及解直角三角形的知識.運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證,常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn),利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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