九年級數(shù)學上學期期中試卷(含解析) 新人教版2 (2)
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2015-2016學年北京十三中分校九年級(上)期中數(shù)學試卷 一、選擇題(每小題3分,共30分.下列各題均有四個選項,其中只有一個是符合題意的.) 1.拋物線y=(x﹣1)2+2的對稱軸是( ?。? A.直線x=﹣1 B.直線x=1 C.直線x=﹣2 D.直線x=2 2.若將拋物線y=2x2先向左平移2個單位,再向下平移1個單位得到一個新的拋物線,則新拋物線的頂點坐標是( ?。? A.(﹣2,1) B.(﹣2,﹣1) C.(2,1) D.(2,﹣1) 3.如圖,在△ABC中,DE∥BC,AD:AB=1:3,若△ADE的面積等于4,則△ABC的面積等于( ?。? A.12 B.16 C.24 D.36 4.如圖,在44的正方形網(wǎng)格中,tanα的值等于( ) A. B. C. D. 5.如圖,在平面直角坐標系中,以P(4,6)為位似中心,把△ABC縮小得到△DEF,若變換后,點A、B的對應點分別為點D、E,則點C的對應點F的坐標應為( ?。? A.(4,2) B.(4,4) C.(4,5) D.(5,4) 6.為了測量被池塘隔開的A,B兩點之間的距離,根據(jù)實際情況,作出如圖所示圖形,其中AB⊥BE,EF⊥BE,AF交BE于D,C在BD上.有四位同學分別測量出以下四組數(shù)據(jù),根據(jù)所測數(shù)據(jù)不能求出A,B間距離的是( ) A.BC,∠ACB B.DE,DC,BC C.EF,DE,BD D.CD,∠ACB,∠ADB 7.將拋物線y=2x2+1繞原點O旋轉(zhuǎn)180,則旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式為( ?。? A.y=﹣2x2 B.y=﹣2x2+1 C.y=2x2﹣1 D.y=﹣2x2﹣1 8.圖(1)是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋,當水面在l時,拱頂(拱橋洞的最高點)離水面2m,水面寬4m.如圖(2)建立平面直角坐標系,則拋物線的關(guān)系式是( ?。? A.y=﹣2x2 B.y=2x2 C.y=﹣x2 D.y=x2 9.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分對應值如下表: x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 當函數(shù)值y<0時,x的取值范圍是( ?。? A.﹣2<x<0 B.﹣1<x<0 C.﹣1<x<3 D.0<x<2 10.如圖,正△ABC的邊長為3cm,動點P從點A出發(fā),以每秒1cm的速度,沿A→B→C的方向運動,到達點C時停止,設(shè)運動時間為x(秒),y=PC2,則y關(guān)于x的函數(shù)的圖象大致為( ) A. B. C. D. 二、填空題(每小題3分,共18分) 11.已知△ABC∽△A1B1C1,AB:A1B1=2:3,則S△ABC與S△A1B1C1之比為 ?。? 12.在Rt△ABC中,∠C=90,BC:AC=3:4,則cosA= ?。? 13.點A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函數(shù)y=x2﹣4x﹣1的圖象上,若當1<x1<2,3<x2<4時,則y1與y2的大小關(guān)系是y1 y2.(用“>”、“<”、“=”填空) 14.二次函數(shù)y=m2x2+(2m+1)x+1的圖象與x軸有兩個交點,則m取值范圍是 ?。? 15.在研究了平行四邊形的相關(guān)內(nèi)容后,老師提出這樣一個問題:“四邊形ABCD 中,AD∥BC,請?zhí)砑右粋€條件,使得四邊形ABCD是平行四邊形”.經(jīng)過思考,小明說“添加AD=BC”,小紅說“添加AB=DC”.你同意 的觀點,理由是 ?。? 16.如圖,在平面直角坐標系xOy中,二次函數(shù)y=﹣x2﹣2x圖象位于x軸上方的部分記作F1,與x軸交于點P1和O;F2與F1關(guān)于點O對稱,與x軸另一個交點為P2;F3與F2關(guān)于點P2對稱,與x軸另一個交點為P3;….這樣依次得到F1,F(xiàn)2,F(xiàn)3,…,F(xiàn)n,則其中F1的頂點坐標為 ,F(xiàn)8的頂點坐標為 ,F(xiàn)n的頂點坐標為 (n為正整數(shù),用含n的代數(shù)式表示). 三、解答題(本題共72分,第17-21題,每小題6分,第22-25題,每小題6分,第26題7分,第27題7分,第28題8分) 17.計算:3tan30+2cos45﹣sin60﹣2sin30. 18.已知:二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(﹣3,0)、(1,0)、(0,﹣3)三點, (1)求:二次函數(shù)的表達式; (2)求:二次函數(shù)的對稱軸、頂點坐標,并畫出此二次函數(shù)的圖象. 19.如圖,?ABCD中,點E在BA的延長線上,連接CE,與AD相交于點F. (1)求證:△EBC∽△CDF; (2)若BC=8,CD=3,AE=1,求AF的長. 20.已知:如圖,在△ABC中,CD⊥AB,sinA=,AB=13,CD=12,求AD的長和tanB的值. 21.如圖,有一座拋物線形拱橋,在正常水位時水面AB的寬為20米,如果水位上升3米,則水面CD的寬是10米. (1)建立如圖所示的直角坐標系,求此拋物線的解析式; (2)當水位在正常水位時,有一艘寬為6米的貨船經(jīng)過這里,船艙上有高出水面3.6米的長方體貨物(貨物與貨船同寬).問:此船能否順利通過這座拱橋? 22.如圖,一艘海輪位于燈塔P的南偏東45方向,距離燈塔100海里的A處,它計劃沿正北方向航行,去往位于燈塔P的北偏東30方向上的B處. (1)B處距離燈塔P有多遠? (2)圓形暗礁區(qū)域的圓心位于PB的延長線上,距離燈塔200海里的O處.已知圓形暗礁區(qū)域的半徑為50海里,進入圓形暗礁區(qū)域就有觸礁的危險.請判斷若海輪到達B處是否有觸礁的危險,并說明理由. 23.如圖,在四邊形ABCD中,∠C=60,∠B=∠D=90,AD=2AB,CD=3,求BC的長. 24.在平面直角坐標系xOy中,點P(x,y)經(jīng)過變換τ得到點P′(x′,y′),該變換記作τ(x,y)=(x′,y′),其中(a,b為常數(shù)).例如,當a=1,且b=1時,τ(﹣2,3)=(1,﹣5). (1)當a=1,且b=﹣2時,τ(0,1)= ??; (2)若τ(1,2)=(0,﹣2),則a= ,b= ; (3)設(shè)點P(x,y)是直線y=2x上的任意一點,點P經(jīng)過變換τ得到點P′(x′,y′).若點P與點P′重合,求a和b的值. 25.動手操作:小明利用等距平行線解決了二等分線段的問題. 作法: (1)在e上任取一點C,以點C為圓心,AB長為半徑畫弧交c于點D,交d于點E; (2)以點A為圓心,CE長為半徑畫弧交AB于點M;∴點M為線段AB的二等分點. 解決下列問題:(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡) (1)仿照小明的作法,在圖2中作出線段AB的三等分點; (2)點P是∠AOB內(nèi)部一點,過點P作PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,請找出一個滿足下列條件的點P.(可以利用圖1中的等距平行線) ①在圖3中作出點P,使得PM=PN; ②在圖4中作出點P,使得PM=2PN. 26.小東同學在學習了二次函數(shù)圖象以后,自己提出了這樣一個問題: 探究:函數(shù)的圖象與性質(zhì). 小東根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗,對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行了如下探究:下面是小東的探究過程,請補充完成: (1)函數(shù)的自變量x的取值范圍是 ; (2)下表是y與x的幾組對應值. x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 … y … m … 則m的值是 ; (3)如圖,在平面直角坐標系xOy中,描出了以上表中各對對應值為坐標的點,并畫出該函數(shù)的圖象; (4)小東進一步探究發(fā)現(xiàn),該函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的最低點的坐標是,結(jié)合函數(shù)的圖象, 寫出該函數(shù)的其他性質(zhì)(一條即可): ?。? 27.如圖1,在等腰直角△ABC中,∠BAC=90,AB=AC=2,點E是BC邊上一點,∠DEF=45且角的兩邊分別與邊AB,射線CA交于點P,Q. (1)如圖2,若點E為BC中點,將∠DEF繞著點E逆時針旋轉(zhuǎn),DE與邊AB交于點P,EF與CA的延長線交于點Q.設(shè)BP為x,CQ為y,試求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍; (2)如圖3,點E在邊BC上沿B到C的方向運動(不與B,C重合),且DE始終經(jīng)過點A,EF與邊AC交于Q點.探究:在∠DEF運動過程中,△AEQ能否構(gòu)成等腰三角形,若能,求出BE的長;若不能,請說明理由. 28.已知:如圖1,拋物線的頂點為M,平行于x軸的直線與該拋物線交于點A,B(點A在點B左側(cè)),根據(jù)對稱性△AMB恒為等腰三角形,我們規(guī)定:當△AMB為直角三角形時,就稱△AMB為該拋物線的“完美三角形”. (1)①如圖2,求出拋物線y=x2的“完美三角形”斜邊AB的長; ②拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形”的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是 ??; (2)若拋物線y=ax2+4的“完美三角形”的斜邊長為4,求a的值; (3)若拋物線y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜邊長為n,且y=mx2+2x+n﹣5的最大值為﹣1,求m,n的值. 2015-2016學年北京十三中分校九年級(上)期中數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題(每小題3分,共30分.下列各題均有四個選項,其中只有一個是符合題意的.) 1.拋物線y=(x﹣1)2+2的對稱軸是( ?。? A.直線x=﹣1 B.直線x=1 C.直線x=﹣2 D.直線x=2 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì). 【分析】由拋物線的頂點式y(tǒng)=(x﹣h)2+k直接看出對稱軸是x=h. 【解答】解:∵拋物線的頂點式為y=(x﹣1)2+2, ∴對稱軸是x=1. 故選B. 【點評】要求熟練掌握拋物線解析式的各種形式的運用. 2.若將拋物線y=2x2先向左平移2個單位,再向下平移1個單位得到一個新的拋物線,則新拋物線的頂點坐標是( ) A.(﹣2,1) B.(﹣2,﹣1) C.(2,1) D.(2,﹣1) 【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換. 【分析】先確定出原拋物線的頂點坐標,再根據(jù)向左平移橫坐標減,向下平移,縱坐標減解答即可. 【解答】解:拋物線y=2x2的頂點坐標為(0,0), ∵向左平移2個單位,向下平移1個單位, ∴新拋物線的頂點坐標是(﹣2,﹣1). 故選:B. 【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換,利用點的平移規(guī)律左減右加,上加下減解答是解題的關(guān)鍵. 3.(2015秋?北京校級期中)如圖,在△ABC中,DE∥BC,AD:AB=1:3,若△ADE的面積等于4,則△ABC的面積等于( ?。? A.12 B.16 C.24 D.36 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì). 【分析】由條件證明△ADE∽△ABC,且相似比為,再利用相似三角形的性質(zhì)可求得△ABC的面積. 【解答】解:∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴=()2=()2=, ∵S△ADE=2, ∴=, 解得S△ABC=36. 故選D. 【點評】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì),掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵. 4.如圖,在44的正方形網(wǎng)格中,tanα的值等于( ?。? A. B. C. D. 【考點】銳角三角函數(shù)的定義. 【專題】網(wǎng)格型. 【分析】直接根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論. 【解答】解:∵AD⊥BC,AD=3,BD=2, ∴tanα==. 故選C. 【點評】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義,熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵. 5.如圖,在平面直角坐標系中,以P(4,6)為位似中心,把△ABC縮小得到△DEF,若變換后,點A、B的對應點分別為點D、E,則點C的對應點F的坐標應為( ?。? A.(4,2) B.(4,4) C.(4,5) D.(5,4) 【考點】位似變換. 【專題】數(shù)形結(jié)合. 【分析】根據(jù)兩個圖形必須是相似形;②對應點的連線都經(jīng)過同一點,即可得出F點的坐標. 【解答】解:∵△DEF∽△ABC,且F點在CP的連線上, ∴可得F點位置如圖所示: 故P點坐標為(4,4). 故選B. 【點評】本題考查位似的定義,難度不大,注意掌握兩位似圖形的對應點的連線都經(jīng)過同一點,這一點即是位似中心. 6.為了測量被池塘隔開的A,B兩點之間的距離,根據(jù)實際情況,作出如圖所示圖形,其中AB⊥BE,EF⊥BE,AF交BE于D,C在BD上.有四位同學分別測量出以下四組數(shù)據(jù),根據(jù)所測數(shù)據(jù)不能求出A,B間距離的是( ?。? A.BC,∠ACB B.DE,DC,BC C.EF,DE,BD D.CD,∠ACB,∠ADB 【考點】相似三角形的應用. 【分析】根據(jù)三角形相似可知,要求出AB,只需求出EF即可.所以借助于相似三角形的性質(zhì),根據(jù)即可解答. 【解答】解:此題比較綜合,要多方面考慮, A、因為知道∠ACB和BC的長,所以可利用∠ACB的正切來求AB的長; B、無法求出A,B間距離. C、因為△ABD∽△EFD,可利用,求出AB; D、可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB; 據(jù)所測數(shù)據(jù)不能求出A,B間距離的是選項B; 故選:B. 【點評】本題考查相似三角形的應用和解直角三角形的應用;將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是解決問題的關(guān)鍵. 7.將拋物線y=2x2+1繞原點O旋轉(zhuǎn)180,則旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式為( ?。? A.y=﹣2x2 B.y=﹣2x2+1 C.y=2x2﹣1 D.y=﹣2x2﹣1 【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換. 【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的兩點的橫坐標縱坐標都互為相反數(shù)求解則可. 【解答】解:根據(jù)題意,可得﹣y=2(﹣x)2+1,得到y(tǒng)=﹣2x2﹣1. 故旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式是y=﹣2x2﹣1. 故選D. 【點評】此題主要考查了根據(jù)二次函數(shù)的圖象的變換求拋物線的解析式. 8.圖(1)是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋,當水面在l時,拱頂(拱橋洞的最高點)離水面2m,水面寬4m.如圖(2)建立平面直角坐標系,則拋物線的關(guān)系式是( ?。? A.y=﹣2x2 B.y=2x2 C.y=﹣x2 D.y=x2 【考點】根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式. 【專題】壓軸題. 【分析】由圖中可以看出,所求拋物線的頂點在原點,對稱軸為y軸,可設(shè)此函數(shù)解析式為:y=ax2,利用待定系數(shù)法求解. 【解答】解:設(shè)此函數(shù)解析式為:y=ax2,a≠0; 那么(2,﹣2)應在此函數(shù)解析式上. 則﹣2=4a 即得a=﹣, 那么y=﹣x2. 故選:C. 【點評】根據(jù)題意得到函數(shù)解析式的表示方法是解決本題的關(guān)鍵,關(guān)鍵在于找到在此函數(shù)解析式上的點. 9.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分對應值如下表: x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 當函數(shù)值y<0時,x的取值范圍是( ?。? A.﹣2<x<0 B.﹣1<x<0 C.﹣1<x<3 D.0<x<2 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì). 【分析】根據(jù)圖表可以得出二次函數(shù)的頂點坐標為(1,﹣4),圖象與x軸的交點坐標為(﹣1,0),(3,0),且圖象開口向上,結(jié)合圖象可以得出函數(shù)值y<0時,x的取值范圍. 【解答】解:根據(jù)圖表可以得出二次函數(shù)的頂點坐標為(1,﹣4),圖象與x軸的交點坐標為(﹣1,0),(3,0),如右圖所示: ∴當函數(shù)值y<0時,x的取值范圍是:﹣1<x<3. 故選C. 【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì),利用圖表得出二次函數(shù)的圖象即可得出函數(shù)值的取值范圍.數(shù)形結(jié)合是這部分考查重點,同學們應熟練掌握. 10.如圖,正△ABC的邊長為3cm,動點P從點A出發(fā),以每秒1cm的速度,沿A→B→C的方向運動,到達點C時停止,設(shè)運動時間為x(秒),y=PC2,則y關(guān)于x的函數(shù)的圖象大致為( ?。? A. B. C. D. 【考點】動點問題的函數(shù)圖象. 【專題】壓軸題. 【分析】需要分類討論:①當0≤x≤3,即點P在線段AB上時,根據(jù)余弦定理知cosA=,所以將相關(guān)線段的長度代入該等式,即可求得y與x的函數(shù)關(guān)系式,然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式確定該函數(shù)的圖象.②當3<x≤6,即點P在線段BC上時,y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=(6﹣x)2=(x﹣6)2(3<x≤6),根據(jù)該函數(shù)關(guān)系式可以確定該函數(shù)的圖象. 【解答】解:∵正△ABC的邊長為3cm, ∴∠A=∠B=∠C=60,AC=3cm. ①當0≤x≤3時,即點P在線段AB上時,AP=xcm(0≤x≤3); 根據(jù)余弦定理知cosA=, 即=, 解得,y=x2﹣3x+9(0≤x≤3); 該函數(shù)圖象是開口向上的拋物線; 解法二:過C作CD⊥AB,則AD=1.5cm,CD=cm, 點P在AB上時,AP=x cm,PD=|1.5﹣x|cm, ∴y=PC2=()2+(1.5﹣x)2=x2﹣3x+9(0≤x≤3) 該函數(shù)圖象是開口向上的拋物線; ②當3<x≤6時,即點P在線段BC上時,PC=(6﹣x)cm(3<x≤6); 則y=(6﹣x)2=(x﹣6)2(3<x≤6), ∴該函數(shù)的圖象是在3<x≤6上的拋物線; 故選:C. 【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象.解答該題時,需要對點P的位置進行分類討論,以防錯選. 二、填空題(每小題3分,共18分) 11.已知△ABC∽△A1B1C1,AB:A1B1=2:3,則S△ABC與S△A1B1C1之比為 4:9 . 【考點】相似三角形的性質(zhì). 【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得到答案. 【解答】解:∵△ABC∽△A1B1C1,AB:A1B1=2:3, ∴. 【點評】本題考查對相似三角形性質(zhì)的理解: (1)相似三角形周長的比等于相似比; (2)相似三角形面積的比等于相似比的平方; (3)相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比. 12.(2007?眉山)在Rt△ABC中,∠C=90,BC:AC=3:4,則cosA= ?。? 【考點】銳角三角函數(shù)的定義. 【專題】壓軸題. 【分析】根據(jù)BC:AC=3:4,設(shè)BC:AC的長,再根據(jù)勾股定理及直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義求解. 【解答】解:∵Rt△ABC中,∠C=90,BC:AC=3:4, ∴設(shè)BC=3x,則AC=4x, ∴AB=5x, ∴cosA===. 【點評】本題利用了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義,比較簡單. 13.點A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函數(shù)y=x2﹣4x﹣1的圖象上,若當1<x1<2,3<x2<4時,則y1與y2的大小關(guān)系是y1 < y2.(用“>”、“<”、“=”填空) 【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征. 【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的解析式判斷出拋物線的開口方向及對稱軸,根據(jù)圖象上的點的橫坐標距離對稱軸的遠近來判斷縱坐標的大小. 【解答】解:由二次函數(shù)y=x2﹣4x﹣1=(x﹣2)2﹣5可知,其圖象開口向上,且對稱軸為x=2, ∵1<x1<2,3<x2<4, ∴A點橫坐標離對稱軸的距離小于B點橫坐標離對稱軸的距離, ∴y1<y2. 故答案為:<. 【點評】本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點的坐標特征,二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點的理解和掌握,能求出對稱軸和根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出正確答案是解此題的關(guān)鍵. 14.二次函數(shù)y=m2x2+(2m+1)x+1的圖象與x軸有兩個交點,則m取值范圍是 m>﹣且m≠0?。? 【考點】拋物線與x軸的交點. 【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì). 【分析】題目考查二次函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系,當圖象與x軸有兩個交點時,△>0,當圖象與x軸有一個交點時,△=0,當圖象與x軸沒有交點時,△<0,同時不要遺漏二次函數(shù)二次項系數(shù)不為零. 【解答】解:∵二次函數(shù)y=m2x2+(2m+1)x+1的圖象與x軸有兩個交點, ∴△>0 即b2﹣4ac>0 代入得:(2m+1)2﹣4m21>0 解得:m>﹣ ∵二次函數(shù)二次項系數(shù)大于零, ∴m2>0 ∴m≠0 綜上所述: 【點評】題目考查二次函數(shù)定義及二次函數(shù)圖象與x軸交點個數(shù)與△的關(guān)系,在計算△>0取值范圍后,不要忘記二次函數(shù)不為零的前提.題目較簡單. 15.在研究了平行四邊形的相關(guān)內(nèi)容后,老師提出這樣一個問題:“四邊形ABCD 中,AD∥BC,請?zhí)砑右粋€條件,使得四邊形ABCD是平行四邊形”.經(jīng)過思考,小明說“添加AD=BC”,小紅說“添加AB=DC”.你同意 小明 的觀點,理由是 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形?。? 【考點】平行四邊形的判定. 【分析】根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得小明正確. 【解答】解:四邊形ABCD 中,AD∥BC,請?zhí)砑右粋€條件,使得四邊形ABCD是平行四邊形,應添加AD=BC, 根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,因此小明說的對; 小紅添加的條件,也可能是等腰梯形,因此小紅錯誤, 故答案為:小明;一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形. 【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定,關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定定理. 16.如圖,在平面直角坐標系xOy中,二次函數(shù)y=﹣x2﹣2x圖象位于x軸上方的部分記作F1,與x軸交于點P1和O;F2與F1關(guān)于點O對稱,與x軸另一個交點為P2;F3與F2關(guān)于點P2對稱,與x軸另一個交點為P3;….這樣依次得到F1,F(xiàn)2,F(xiàn)3,…,F(xiàn)n,則其中F1的頂點坐標為 (﹣1,1) ,F(xiàn)8的頂點坐標為?。?3,﹣1) ,F(xiàn)n的頂點坐標為 [2n﹣3,(﹣1)n+1]?。╪為正整數(shù),用含n的代數(shù)式表示). 【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換. 【分析】根據(jù)拋物線的解析式來求F1的頂點坐標;根據(jù)該“波浪拋物線”頂點坐標縱坐標分別為1和﹣1即可得出結(jié)論. 【解答】解:∵y=﹣x2﹣2x=﹣(x+1)2+1, ∴F1的頂點坐標為 (﹣1,1). 又y=﹣x2﹣2x=﹣x(x+2), ∴P1(﹣2,0), ∴根據(jù)函數(shù)的對稱性得到:F2的頂點坐標為(1,﹣1),P2(2,0), F3的頂點坐標為(3,1),P3(4,0), … F8的頂點坐標為(13,﹣1), Fn的頂點坐標為[2n﹣3,(﹣1)n+1]. 故答案是:(﹣1,1);(13,﹣1);[2n﹣3,(﹣1)n+1]. 【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換.解題的關(guān)鍵是找到Fn的頂點坐標變換規(guī)律. 三、解答題(本題共72分,第17-21題,每小題6分,第22-25題,每小題6分,第26題7分,第27題7分,第28題8分) 17.計算:3tan30+2cos45﹣sin60﹣2sin30. 【考點】特殊角的三角函數(shù)值. 【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入求解. 【解答】解:原式=3+2﹣﹣2 =+﹣1. 【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值,解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值. 18.(2015秋?北京校級期中)已知:二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(﹣3,0)、(1,0)、(0,﹣3)三點, (1)求:二次函數(shù)的表達式; (2)求:二次函數(shù)的對稱軸、頂點坐標,并畫出此二次函數(shù)的圖象. 【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;二次函數(shù)的圖象;二次函數(shù)的性質(zhì). 【專題】計算題. 【分析】(1)設(shè)交點式二次函數(shù)解析式為:y=a(x﹣1)(x+3),然后把(0,﹣3)代入求出a即可; (2)把(1)中解析式配成頂點式,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到二次函數(shù)的對稱軸、頂點坐標,然后利用描點法畫函數(shù)圖象. 【解答】解:(1)∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(﹣3,0)、(1,0)兩點 ∴設(shè)二次函數(shù)解析式為:y=a(x﹣1)(x+3) 又∵圖象經(jīng)過(0,﹣3)點, ∴﹣3=a(0﹣1)(0+3)解得a=1 ∴二次函數(shù)解析式為:y=x2+2x﹣3; (2)∵y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4, ∴二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=﹣1;頂點坐標為:(﹣1,﹣4); 如圖, 【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式:在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時,要根據(jù)題目給定的條件,選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式,從而代入數(shù)值求解.一般地,當已知拋物線上三點時,常選擇一般式,用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解;當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時,常設(shè)其解析式為頂點式來求解;當已知拋物線與x軸有兩個交點時,可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解.也考查了二次函數(shù)的圖象. 19.如圖,?ABCD中,點E在BA的延長線上,連接CE,與AD相交于點F. (1)求證:△EBC∽△CDF; (2)若BC=8,CD=3,AE=1,求AF的長. 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì). 【分析】(1)利用平行四邊形的性質(zhì):對角相等和對邊平行可得∠B=∠D和∠FCD=∠E,有兩對角相等的三角形相似可判定△EBC∽△CDF; (2)有(1)可知:△EBC∽△CDF,利用相似三角形的性質(zhì):對應邊的比值相等即可求出AF的長. 【解答】(1)證明: ∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴∠B=∠D,AB∥CD, ∴∠FCD=∠E, ∴△EBC∽△CDF; (2)解:∵△EAF∽△EBC, ∴, 即. 解得:AF=2. 【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和相似三角形的性質(zhì),難度不大,屬于基礎(chǔ)性題目. 20.已知:如圖,在△ABC中,CD⊥AB,sinA=,AB=13,CD=12,求AD的長和tanB的值. 【考點】解直角三角形;銳角三角函數(shù)的定義. 【分析】由sinA=,CD=12,根據(jù)三角函數(shù)可得AC=15,根據(jù)勾股定理可得AD=9,則BD=4,再根據(jù)正切的定義求出tanB的值. 【解答】解:∵CD⊥AB, ∴∠CDA=90…(1分) ∵sinA= ∴AC=15.…(2分) ∴AD=9.… ∴BD=4.…(4分) ∴tanB=… 【點評】考查了解直角三角形和銳角三角函數(shù)的定義,要熟練掌握好邊角之間的關(guān)系. 21.如圖,有一座拋物線形拱橋,在正常水位時水面AB的寬為20米,如果水位上升3米,則水面CD的寬是10米. (1)建立如圖所示的直角坐標系,求此拋物線的解析式; (2)當水位在正常水位時,有一艘寬為6米的貨船經(jīng)過這里,船艙上有高出水面3.6米的長方體貨物(貨物與貨船同寬).問:此船能否順利通過這座拱橋? 【考點】二次函數(shù)的應用. 【專題】應用題. 【分析】(1)以拱橋最頂端為原點,建立直角坐標系,根據(jù)題目中所給的數(shù)據(jù)寫出函數(shù)解析式. (2)計算出本問可用兩種方法求得,求x=3米時求出水面求出此時y的值,A、B點的橫坐標減去y此時的值到正常水面AB的距離與3.6相比較即可得出答案. 【解答】解:(1)設(shè)拋物線解析式為y=ax2, 因為拋物線關(guān)于y軸對稱,AB=20,所以點B的橫坐標為10, 設(shè)點B(10,n),點D(5,n+3), n=102?a=100a,n+3=52a=25a, 即, 解得, ∴; (2)∵貨輪經(jīng)過拱橋時的橫坐標為x=3, ∴當x=3時, ∵﹣(﹣4)>3.6 ∴在正常水位時,此船能順利通過這座拱橋. 答:在正常水位時,此船能順利通過這座拱橋. 【點評】此題考查了坐標系的建立,以及拋物線的性質(zhì)與求值. 22.如圖,一艘海輪位于燈塔P的南偏東45方向,距離燈塔100海里的A處,它計劃沿正北方向航行,去往位于燈塔P的北偏東30方向上的B處. (1)B處距離燈塔P有多遠? (2)圓形暗礁區(qū)域的圓心位于PB的延長線上,距離燈塔200海里的O處.已知圓形暗礁區(qū)域的半徑為50海里,進入圓形暗礁區(qū)域就有觸礁的危險.請判斷若海輪到達B處是否有觸礁的危險,并說明理由. 【考點】解直角三角形的應用-方向角問題. 【分析】(1)首先作PC⊥AB于C,利用∠CPA=90﹣45=45,進而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出PC的長,即可得出答案; (2)首先求出OB的長,進而得出OB>50,即可得出答案. 【解答】解:(1)作PC⊥AB于C.(如圖) 在Rt△PAC中,∠PCA=90,∠CPA=90﹣45=45. ∴. 在Rt△PCB中,∠PCB=90,∠PBC=30. ∴. 答:B處距離燈塔P有海里. (2)海輪到達B處沒有觸礁的危險. 理由如下: ∵, 而, ∴. ∴OB>50. ∴B處在圓形暗礁區(qū)域外,沒有觸礁的危險. 【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用,利用數(shù)形結(jié)合以及銳角三角函數(shù)關(guān)系得出線段PC的長是解題關(guān)鍵. 23.如圖,在四邊形ABCD中,∠C=60,∠B=∠D=90,AD=2AB,CD=3,求BC的長. 【考點】解直角三角形. 【分析】延長DA、CB交于點E,解直角三角形求出DE、EC,求出∠E=30,解直角三角形求出EB,即可求出答案. 【解答】解:延長DA、CB交于點E, ∵在Rt△CDE中,tanC==, cosC==, ∴DE=3,EC=6, ∵AD=2AB 設(shè)AB=k,則AD=2k, ∵∠C=60,∠B=∠D=90, ∴∠E=30, ∵在Rt△ABE中,sinE==tanE==, ∴AE=2AB=2k,EB=AB=k, ∴DE=4k=3, 解得:k=, ∴EB=, ∴BC=6﹣=. 【點評】本題考查了解直角三角形的應用,主要考查學生進行計算的能力,是一道比較好的題目,關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形. 24.在平面直角坐標系xOy中,點P(x,y)經(jīng)過變換τ得到點P′(x′,y′),該變換記作τ(x,y)=(x′,y′),其中(a,b為常數(shù)).例如,當a=1,且b=1時,τ(﹣2,3)=(1,﹣5). (1)當a=1,且b=﹣2時,τ(0,1)= (﹣2,2)?。? (2)若τ(1,2)=(0,﹣2),則a= ﹣1 ,b= ??; (3)設(shè)點P(x,y)是直線y=2x上的任意一點,點P經(jīng)過變換τ得到點P′(x′,y′).若點P與點P′重合,求a和b的值. 【考點】一次函數(shù)綜合題. 【分析】(1)將a=1,b=﹣2,τ(0,1),代入,可求x′,y′的值,從而求解; (2)將τ(1,2)=(0,﹣2),代入,可得關(guān)于a,b的二元一次方程組,解方程組即可求解; (3)由點P(x,y)經(jīng)過變換τ得到的對應點P(x,y)與點P重合,可得τ(x,y)=(x,y).根據(jù)點P(x,y)在直線y=2x上,可得關(guān)于a,b的二元一次方程組,解方程組即可求解. 【解答】解:(1)當a=1,且b=﹣2時,x′=10+(﹣2)1=﹣2,y′=10﹣(﹣2)1=2, 則τ(0,1)=(﹣2,2); (2)∵τ(1,2)=(0,﹣2), ∴, 解得a=﹣1,b=; (3)∵點P(x,y)經(jīng)過變換τ得到的對應點P(x,y)與點P重合, ∴τ(x,y)=(x,y). ∵點P(x,y)在直線y=2x上, ∴τ(x,2x)=(x,2x). ∴, 即 ∵x為任意的實數(shù), ∴, 解得. ∴,. 故答案為:(﹣2,2);﹣1,. 【點評】考查了一次函數(shù)綜合題,關(guān)鍵是對題意的理解能力,具有較強的代數(shù)變換能力,要求學生熟練掌握解二元一次方程組. 25.(2015秋?北京校級期中)動手操作:小明利用等距平行線解決了二等分線段的問題. 作法: (1)在e上任取一點C,以點C為圓心,AB長為半徑畫弧交c于點D,交d于點E; (2)以點A為圓心,CE長為半徑畫弧交AB于點M;∴點M為線段AB的二等分點. 解決下列問題:(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡) (1)仿照小明的作法,在圖2中作出線段AB的三等分點; (2)點P是∠AOB內(nèi)部一點,過點P作PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,請找出一個滿足下列條件的點P.(可以利用圖1中的等距平行線) ①在圖3中作出點P,使得PM=PN; ②在圖4中作出點P,使得PM=2PN. 【考點】作圖—應用與設(shè)計作圖. 【分析】(1)作法:①在e上任取一點C,以點C為圓心,AB長為半徑畫弧交b于點D,交d于點E,交c于點F;②以點A為圓心,CE長為半徑畫弧交AB于點P1,再以點B為圓心,CE長為半徑畫弧交AB于點P2;則點P1、P2為線段AB的三等分點; (2)①以O(shè)為圓心,任意長為半徑畫弧,交OA于M,交OB于N;在d上任取一點C,以點C為圓心,MN長為半徑畫弧交b于點D,交c于點E;以點M為圓心,CE長為半徑畫弧交MN于點P;則P點為所求; ②以O(shè)為圓心,任意長為半徑畫弧,交OA于M,交OB于N;在d上任取一點C,以點C為圓心,MN長為半徑畫弧交a于點D,交c于點E,交b于點F;②以點M為圓心,CF長為半徑畫弧交MN于點P;則P點為所求. 【解答】解:(1)如下圖所示,點P1、P2為線段AB的三等分點; (2)①如下圖所示,點P即為所求; ②如下圖所示,點P即為所求. 【點評】本題考查了作圖﹣應用與設(shè)計作圖,學生的閱讀理解能力及知識的遷移能力,理解等距平行線的含義及平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵. 26.小東同學在學習了二次函數(shù)圖象以后,自己提出了這樣一個問題: 探究:函數(shù)的圖象與性質(zhì). 小東根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗,對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行了如下探究:下面是小東的探究過程,請補充完成: (1)函數(shù)的自變量x的取值范圍是 x≠1??; (2)下表是y與x的幾組對應值. x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 … y … m … 則m的值是 ; (3)如圖,在平面直角坐標系xOy中,描出了以上表中各對對應值為坐標的點,并畫出該函數(shù)的圖象; (4)小東進一步探究發(fā)現(xiàn),該函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的最低點的坐標是,結(jié)合函數(shù)的圖象, 寫出該函數(shù)的其他性質(zhì)(一條即可): 當x<1時,y隨x的增大而減小 . 【考點】二次函數(shù)綜合題. 【分析】(1)分式的分母不等于零; (2)根據(jù)圖表可知當x=4時的函數(shù)值為m,把x=4代入解析式即可求得; (3)根據(jù)坐標系中的點,用平滑的直線連接即可; (4)觀察圖象即可得出該函數(shù)的其他性質(zhì). 【解答】解:(1)由知,x﹣1≠0,即x≠1,所以變量x的取值范圍是x≠1. 故答案是:x≠1; (2)把x=4代入得到:m==, 即m的值是. 故答案是:; (3)如圖: ; (4)該函數(shù)的其他性質(zhì):當x<1時,y隨x的增大而減小; 當1<x<2時,y隨x的增大而減小等. 故答案是:當x<1時,y隨x的增大而減?。? 【點評】本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì),根據(jù)圖表畫出函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵. 27.如圖1,在等腰直角△ABC中,∠BAC=90,AB=AC=2,點E是BC邊上一點,∠DEF=45且角的兩邊分別與邊AB,射線CA交于點P,Q. (1)如圖2,若點E為BC中點,將∠DEF繞著點E逆時針旋轉(zhuǎn),DE與邊AB交于點P,EF與CA的延長線交于點Q.設(shè)BP為x,CQ為y,試求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍; (2)如圖3,點E在邊BC上沿B到C的方向運動(不與B,C重合),且DE始終經(jīng)過點A,EF與邊AC交于Q點.探究:在∠DEF運動過程中,△AEQ能否構(gòu)成等腰三角形,若能,求出BE的長;若不能,請說明理由. 【考點】相似形綜合題. 【分析】(1)根據(jù)條件由勾股定理可以求出BC的值,再求出∠DEB=∠EQC,就可以得出△BPE∽△CEQ,由相似三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論; (2))由∠AEF=∠B=∠C,且∠AQE>∠C可以得出∠AQE>∠AEF.從而有AE≠AQ,再分類討論,當AE=EQ時和AQ=EQ時根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)就可以求出BE的值. 【解答】解:(1)∵∠BAC=90,AB=AC=2, ∴∠B=∠C,. 又∵∠FEB=∠FED+∠DEB=∠EQC+∠C,∠DEF=∠C, ∴∠DEB=∠EQC, ∴△BPE∽△CEQ, ∴. 設(shè)BP為x,CQ為y, ∴. ∴,自變量x的取值范圍是0<x<1; (2)∵∠AEF=∠B=∠C,且∠AQE>∠C, ∴∠AQE>∠AEF. ∴AE≠AQ. 當AE=EQ時, ∴∠EAQ=∠EQA, ∵∠AEQ=45, ∴∠EAQ=∠EQA=67.5, ∵∠BAC=90,∠C=45, ∴∠BAE=∠QEC=22.5. ∵在△ABE和△ECQ中, , ∴△ABE≌ECQ(AAS). ∴CE=AB=2. ∴BE=BC﹣EC=; 當AQ=EQ時,可知∠QAE=∠QEA=45, ∴AE⊥BC. ∴點E是BC的中點. ∴BE=. 綜上,在∠DEF運動過程中,△AEQ能成等腰三角形,此時BE的長為或. 【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運用,勾股定理的運用,相似三角形的判定及性質(zhì)的運用,全等三角形的判定及性質(zhì)的運用,解答時合理利用相似三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵. 28.已知:如圖1,拋物線的頂點為M,平行于x軸的直線與該拋物線交于點A,B(點A在點B左側(cè)),根據(jù)對稱性△AMB恒為等腰三角形,我們規(guī)定:當△AMB為直角三角形時,就稱△AMB為該拋物線的“完美三角形”. (1)①如圖2,求出拋物線y=x2的“完美三角形”斜邊AB的長; ②拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形”的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是 相等??; (2)若拋物線y=ax2+4的“完美三角形”的斜邊長為4,求a的值; (3)若拋物線y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜邊長為n,且y=mx2+2x+n﹣5的最大值為﹣1,求m,n的值. 【考點】二次函數(shù)綜合題. 【分析】(1)①①過點B作BN⊥x軸于N,根據(jù)△AMB為等腰直角三角形,AB∥x軸,所以∠BMN=∠ABM=45,所以∠BMN=∠MBN,得到MN=BN,設(shè)B點坐標為(n,n),代入拋物線y=x2,得n=n2,解得n=1,n=0(舍去),所以B(1,1),求出BM的長度,利用勾股定理,即可解答; ②因為拋物線y=x2+1與y=x2的形狀相同,所以拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形”的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是相等; (2)根據(jù)拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的形狀相同,所以拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的“完美三角形”全等,所以拋物線y=ax2+4的“完美三角形”斜邊的長為4,所以拋物線y=ax2的“完美三角形”斜邊的長為4,從而確定B點坐標為(2,2)或(2,﹣2),把點B代入y=ax2中,得到. (3))根據(jù)y=mx2+2x+n﹣5的最大值為﹣1,得到,化簡得mn﹣4m﹣1=0,拋物線y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜邊長為n,所以拋物線y=mx2的“完美三角形”斜邊長為n,所以B點坐標為,代入拋物線y=mx2,得,mn=﹣2或n=0(不合題意舍去),所以,所以. 【解答】解:(1)①過點B作BN⊥x軸于N,如圖2, ∵△AMB為等腰直角三角形, ∴∠ABM=45, ∵AB∥x軸, ∴∠BMN=∠ABM=45, ∴∠MBN=90﹣45=45, ∴∠BMN=∠MBN, ∴MN=BN, 設(shè)B點坐標為(n,n),代入拋物線y=x2, 得n=n2, ∴n=1,n=0(舍去), ∴B(1,1) ∴MN=BN=1, ∴MB==, ∴MA=MB=, 在Rt△AMB中,AB==2, ∴拋物線y=x2的“完美三角形”的斜邊AB=2. ②∵拋物線y=x2+1與y=x2的形狀相同, ∴拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形”的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是相等; 故答案為:相等. (2)∵拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的形狀相同, ∴拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的“完美三角形”全等, ∵拋物線y=ax2+4的“完美三角形”斜邊的長為4, ∴拋物線y=ax2的“完美三角形”斜邊的長為4, ∴B點坐標為(2,2)或(2,﹣2), 把點B代入y=ax2中, ∴. (3)∵y=mx2+2x+n﹣5的最大值為﹣1, ∴, ∴mn﹣4m﹣1=0, ∵拋物線y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜邊長為n, ∴拋物線y=mx2的“完美三角形”斜邊長為n, ∴B點坐標為, ∴代入拋物線y=mx2,得, ∴mn=﹣2或n=0(不合題意舍去), ∴, ∴. 【點評】本題考查了二次函數(shù),解決本題的關(guān)鍵是理解“完美三角形”的定義,利用勾股定理,求出點B的坐標.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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