高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題3 突破點(diǎn)6 古典概型與幾何概型 理
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專題三 概率與統(tǒng)計(jì) 建知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 明內(nèi)在聯(lián)系 高考點(diǎn)撥] 本專題涉及面廣,往往以生活中的熱點(diǎn)問(wèn)題為依托,在高考中的考查方式十分靈活,考查內(nèi)容強(qiáng)化“用數(shù)據(jù)說(shuō)法,用事實(shí)說(shuō)話”,背景容易創(chuàng)新.基于上述分析,本專題按照“用樣本估計(jì)總體”“古典概型與幾何概型”“隨機(jī)變量及其分布列”“獨(dú)立性檢驗(yàn)與回歸分析”四個(gè)方面分類進(jìn)行引導(dǎo),強(qiáng)化突破. 突破點(diǎn)6 古典概型與幾何概型 提煉1 古典概型問(wèn)題的求解技巧 (1)直接列舉:涉及一些常見(jiàn)的古典概型問(wèn)題時(shí),往往把事件發(fā)生的所有結(jié)果逐一列舉出來(lái),然后進(jìn)行求解. (2)畫樹(shù)狀圖:涉及一些特殊古典概型問(wèn)題時(shí),直接列舉容易出錯(cuò),通過(guò)畫樹(shù)狀圖,列舉過(guò)程更具有直觀性、條理性,使列舉結(jié)果不重、不漏. (3)逆向思維:對(duì)于較復(fù)雜的古典概型問(wèn)題,若直接求解比較困難,可利用逆向思維,先求其對(duì)立事件的概率,進(jìn)而可得所求事件的概率. (4)活用對(duì)稱:對(duì)于一些具有一定對(duì)稱性的古典概型問(wèn)題,通過(guò)列舉基本事件個(gè)數(shù)結(jié)合古典概型的概率公式來(lái)處理反而比較復(fù)雜,利用對(duì)稱思維,可以快速解決. 提煉2 幾何度量法求解幾何概型 準(zhǔn)確確定度量方式和度量公式是求解幾何概型的關(guān)鍵,常見(jiàn)的幾何度量涉及的測(cè)度主要包括長(zhǎng)度、面積、體積、角度等. 提煉3 求概率的兩種常用方法 (1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件,利用概率加法公式求解概率. (2)若一個(gè)較復(fù)雜的事件的對(duì)立面的分類較少,可考慮利用對(duì)立事件的概率公式,即“正難則反”.它常用來(lái)求“至少”或“至多”型事件的概率. 回訪1 古典概型 1.(2014全國(guó)卷Ⅰ)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng),則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為( ) A. B. C. D. D 4名同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)的情況有24=16(種),其中僅在周六(周日)參加的各有1種, ∴所求概率為1-=.] 2.(2013全國(guó)卷Ⅱ)從n個(gè)正整數(shù)1,2,…,n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù),若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為,則n=________. 8 由題意知n>4,取出的兩數(shù)之和等于5的有兩種情況:1,4和2,3,所以P==,即n2-n-56=0,解得n=-7(舍去)或n=8.] 回訪2 幾何概型 3.(2016全國(guó)乙卷)某公司的班車在7:30,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車,且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是( ) A. B. C. D. B 如圖,7:50至8:30之間的時(shí)間長(zhǎng)度為40分鐘,而小明等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘是指小明在7:50至8:00之間或8:20至8:30之間到達(dá)發(fā)車站,此兩種情況下的時(shí)間長(zhǎng)度之和為20分鐘,由幾何概型概率公式知所求概率為P==.故選B.] 4.(2016全國(guó)甲卷)從區(qū)間0,1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè),則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為( ) A. B. C. D. C 因?yàn)閤1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn都在區(qū)間0,1]內(nèi)隨機(jī)抽取,所以構(gòu)成的n個(gè)數(shù)對(duì)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)都在正方形OABC內(nèi)(包括邊界),如圖所示.若兩數(shù)的平方和小于1,則對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì)在扇形OAC內(nèi)(不包括扇形圓弧上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì)),故在扇形OAC內(nèi)的數(shù)對(duì)有m個(gè).用隨機(jī)模擬的方法可得=,即=,所以π=.] 熱點(diǎn)題型1 古典概型 題型分析:古典概型是高考考查概率的核心,問(wèn)題背景大多是取球、選人、組數(shù)等,求解的關(guān)鍵是準(zhǔn)確列舉基本事件,難度較小. (1)一個(gè)袋子中有5個(gè)大小相同的球,其中3個(gè)白球與2個(gè)黑球,先從袋中任意取出一個(gè)球,取出后不放回,然后從袋中任意取出一個(gè)球,則第一次為白球、第二次為黑球的概率為( ) A. B. C. D. (2)已知M={1,2,3,4},若a∈M,b∈M,則函數(shù)f(x)=ax3+bx2+x-3在R上為增函數(shù)的概率是( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):85952027】 A. B. C. D. (1)B (2)A (1)設(shè)3個(gè)白球分別為a1,a2,a3,2個(gè)黑球分別為b1,b2,則先后從中取出2個(gè)球的所有可能結(jié)果為(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),(a2,a1),(a3,a1),(b1,a1),(b2,a1),(a3,a2),(b1,a2),(b2,a2),(b1,a3),(b2,a3),(b2,b1),共20種. 其中滿足第一次為白球、第二次為黑球的有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),共6種,故所求概率為=.故選B. (2)記事件A為“函數(shù)f(x)=ax3+bx2+x-3在R上為增函數(shù)”. 因?yàn)閒(x)=ax3+bx2+x-3,所以f′(x)=3ax2+2bx+1. 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上為增函數(shù),所以f′(x)≥0在R上恒成立. 又a>0,所以Δ=(2b)2-43a=4b2-12a≤0在R上恒成立,即a≥. 所以當(dāng)b=1時(shí),有a≥,故a可取1,2,3,4,共4個(gè)數(shù); 當(dāng)b=2時(shí),有a≥,故a可取2,3,4,共3個(gè)數(shù); 當(dāng)b=3時(shí),有a≥3,故a可取3,4,共2個(gè)數(shù); 當(dāng)b=4時(shí),有a≥,故a無(wú)可取值. 綜上,事件A包含的基本事件有4+3+2=9(種). 又a,b∈{1,2,3,4},所以(a,b)共有44=16(種). 故所求事件A的概率為P(A)=.故選A.] 利用古典概型求事件概率的關(guān)鍵及注意點(diǎn) 1.關(guān)鍵:正確列舉出基本事件的總數(shù)和待求事件包括的基本事件數(shù). 2.注意點(diǎn):(1)對(duì)于較復(fù)雜的題目,列出事件數(shù)時(shí)要正確分類,分類時(shí)應(yīng)不重不漏. (2)當(dāng)直接求解有困難時(shí),可考慮求其對(duì)立事件的概率. 變式訓(xùn)練1] (2016廣州二模)從數(shù)字1,2,3,4,5中任取2個(gè),組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù),則這個(gè)兩位數(shù)大于30的概率是( ) A. B. C. D. C 從數(shù)字1,2,3,4,5中任取2個(gè),組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù),共有20種不同結(jié)果.其中這個(gè)兩位數(shù)大于30的共有12種不同結(jié)果,故所求事件的概率P==.] 熱點(diǎn)題型2 幾何概型 題型分析:高考試題中幾何概型主要考查線段型和面積型.求解幾何概型的關(guān)鍵是計(jì)算線段的長(zhǎng)度、平面圖形的面積等,難度較小. (1)在區(qū)間0,2]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,則事件“-1≤log≤1”發(fā)生的概率為( ) A. B. C. D. (2)某校早上8:00開(kāi)始上課,假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7:30~7:50之間到校,且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的,則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為_(kāi)_________.(用數(shù)字作答) (1)A (2) (1)由-1≤log≤1,得≤x+≤2,解得0≤x≤,所以事件“-1≤log≤1”發(fā)生的概率為=,故選A. (2)設(shè)小張和小王到校的時(shí)間分別為x和y,則則滿足條件的區(qū)域如圖中陰影部分所示. 故所求概率P==.] 判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法 1.當(dāng)題干涉及兩個(gè)變量問(wèn)題時(shí),一般與面積有關(guān). 2.當(dāng)題干涉及一個(gè)變量問(wèn)題時(shí),要看變量可以等可能到達(dá)的區(qū)域:若變量在線段上移動(dòng),則幾何度量是長(zhǎng)度;若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動(dòng),則幾何度量是面積(體積). 提醒:數(shù)形結(jié)合是解決幾何概型問(wèn)題的常用方法,求解時(shí),畫圖務(wù)必準(zhǔn)確、直觀. 變式訓(xùn)練2] 如圖61,圓C內(nèi)切于扇形AOB,∠AOB=,若向扇形AOB內(nèi)隨機(jī)投擲600個(gè)點(diǎn),則落入圓內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)估計(jì)值為( ) 圖61 A.100 B.200 C.400 D.450 C 如圖,設(shè)OA與圓C相切于點(diǎn)D,連接OC,CD,∠AOB=,則∠COD=, 設(shè)圓C的半徑為1,可得OC=2,所以扇形的半徑為3, 由幾何概型可得點(diǎn)在圓C內(nèi)的概率為P===,故向扇形AOB內(nèi)隨機(jī)投擲600個(gè)點(diǎn),則落入圓內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)估計(jì)為600=400個(gè).] 熱點(diǎn)題型3 互斥事件與對(duì)立事件的概率 題型分析:互斥事件與對(duì)立事件的概率常與古典概型等交匯命題,主要考查學(xué)生的分析轉(zhuǎn)化能力,難度中等. (2016南昌一模)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4個(gè)學(xué)生課余參加學(xué)校社團(tuán)文學(xué)社與街舞社的活動(dòng),每人參加且只能參加一個(gè)社團(tuán)的活動(dòng),且參加每個(gè)社團(tuán)是等可能的. (1)求文學(xué)社和街舞社都至少有1人參加的概率; (2)求甲、乙同在一個(gè)社團(tuán),且丙、丁不同在一個(gè)社團(tuán)的概率. 解] 甲、乙、丙、丁4個(gè)學(xué)生課余參加學(xué)校社團(tuán)文學(xué)社與街舞社的情況如下: 文學(xué)社 街舞社 1 甲乙丙丁 2 甲乙丙 丁 3 甲乙丁 丙 4 甲丙丁 乙 5 乙丙丁 甲 6 甲乙 丙丁 7 甲丙 乙丁 8 乙丙 甲丁 9 甲丁 乙丙 10 乙丁 甲丙 11 丙丁 甲乙 12 甲 乙丙丁 13 乙 甲丙丁 14 丙 甲乙丁 15 丁 甲乙丙 16 甲乙丙丁 共有16種情形,即有16個(gè)基本事件.6分 (1)文學(xué)社或街舞社沒(méi)有人參加的基本事件有2個(gè), 故所求概率為=.9分 (2)甲、乙同在一個(gè)社團(tuán),且丙、丁不同在一個(gè)社團(tuán)的基本事件有4個(gè),故所求概率為=.12分 1.直接求法:將所求事件分解為一些彼此互斥事件的和,運(yùn)用互斥事件概率的加法公式計(jì)算. 2.間接求法:先求此事件的對(duì)立事件,再用公式P(A)=1-P()求解,即運(yùn)用逆向思維(正難則反),特別是“至多”“至少”型題目,用間接求法會(huì)較簡(jiǎn)便. 提醒:應(yīng)用互斥事件概率的加法公式的前提是確定各個(gè)事件是否彼此互斥. 變式訓(xùn)練3] (名師押題)根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料,某地車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5,購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3. (1)求該地1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率; (2)求該地1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的概率. 解] 記事件A為“該車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)”,事件B為“該車主購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)”,事件C為“該車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種”,事件D為“該車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買”.4分 (1)由題意得P(A)=0.5,P(B)=0.3,6分 又C=A∪B,所以P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.3 =0.8.8分 (2)因?yàn)镈與C是對(duì)立事件,所以P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2.12分- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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