高三數(shù)學二輪復習 第2部分 必考補充專題 專題限時集訓23 專題6 突破點23 坐標系與參數(shù)方程 不等式選講 理

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專題限時集訓(二十三)坐標系與參數(shù)方程　不等式選講 A組　高考題體驗練] 1．(選修44)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝4cos θ. (1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程； (2)直線C3的極坐標方程為θ＝α0，其中α0滿足tan α0＝2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a. 解]　(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2＋(y－1)2＝a2，則C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓.3分 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標方程為ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.5分 (2)曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組 6分 若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，7分 由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，8分 從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.9分 當a＝1時，極點也為C1，C2的公共點，且在C3上． 所以a＝1.10分 　(選修45)已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－|2x－3|. (1)畫出y＝f(x)的圖象； (2)求不等式|f(x)|>1的解集． 圖231 解]　(1)由題意得f(x)＝2分 故y＝f(x)的圖象如圖所示． 5分 (2)由f(x)的函數(shù)表達式及圖象可知， 當f(x)＝1時，可得x＝1或x＝3；6分 當f(x)＝－1時，可得x＝或x＝5.7分 故f(x)＞1的解集為{x|1＜x＜3}，8分 f(x)＜－1的解集為.9分 所以|f(x)|＞1的解集為.10分 2．(選修44)在直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程； (2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與C交于A，B兩點，|AB|＝，求l的斜率． 【導學號：85952087】 解]　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圓C的極坐標方程為ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.2分 (2)法一：由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))，消去參數(shù)得y＝xtan α.4分 設直線l的斜率為k，則直線l的方程為kx－y＝0. 由圓C的方程(x＋6)2＋y2＝25知，圓心坐標為(－6,0)，半徑為5.5分 又|AB|＝，由垂徑定理及點到直線的距離公式得＝，即＝，8分 整理得k2＝，解得k＝，即l的斜率為.10分 法二：在(1)中建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R).3分 設A，B所對應的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，4分 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.5分 |AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ＝.7分 由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝.9分 所以l的斜率為或－.10分 　(選修45)已知函數(shù)f(x)＝＋，M為不等式f(x)＜2的解集． (1)求M； (2)證明：當a，b∈M時，|a＋b|＜|1＋ab|. 解]　(1)f(x)＝2分 當x≤－時，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1；3分 當－＜x＜時，f(x)＜2；4分 當x≥時，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1. 所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}.5分 (2)證明：由(1)知，當a，b∈M時，－1＜a＜1，－1＜b＜1，6分 從而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.9分 因此|a＋b|＜|1＋ab|.10分 3．(選修4－4)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsin＝2. (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程； (2)設點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標． 解]　(1)C1的普通方程為＋y2＝1，2分 C2的直角坐標方程為x＋y－4＝0.4分 (2)由題意，可設點P的直角坐標為(cos α，sin α).5分 因為C2是直線， 所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值，6分 d(α)＝＝.8分 當且僅當α＝2kπ＋(k∈Z)時，d(α)取得最小值，最小值為，此時P的直角坐標為.10分 　(選修4—5)已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋a. (1)當a＝2時，求不等式f(x)≤6的解集； (2)設函數(shù)g(x)＝|2x－1|，當x∈R時，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范圍． 解]　(1)當a＝2時，f(x)＝|2x－2|＋2.1分 解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集為{x|－1≤x≤3}.4分 (2)當x∈R時，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，5分 當x＝時等號成立，所以當x∈R時，f(x)＋g(x)≥3等價于|1－a|＋a≥3.①7分 當a≤1時，①等價于1－a＋a≥3，無解.8分 當a>1時，①等價于a－1＋a≥3，解得a≥2. 所以a的取值范圍是2，＋∞).10分 B組　模擬題提速練] 1．(選修4－4)在平面直角坐標系中，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，并在兩坐標系中取相同的長度單位．已知曲線C的極坐標方程為ρ＝2cos θ，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，α為直線的傾斜角)． (1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程； (2)若直線l與曲線C有唯一的公共點，求角α的大小. 【導學號：85952088】 解]　(1)當α＝時，直線l的普通方程為x＝－1； 當α≠時，直線l的普通方程為y＝tan α(x＋1).3分 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ， 所以x2＋y2＝2x，即為曲線C的直角坐標方程.5分 (2)把x＝－1＋tcos α，y＝tsin α代入x2＋y2＝2x，整理得t2－4tcos α＋3＝0.6分 由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝，所以cos α＝或cos α＝－，8分 故直線l的傾斜角α為或.10分 　(選修4－5)設函數(shù)f(x)＝|x－3|－|x＋a|，其中a∈R. (1)當a＝2時，解不等式f(x)＜1； (2)若對于任意實數(shù)x，恒有f(x)≤2a成立，求a的取值范圍． 解]　(1)a＝2時，f(x)＜1就是|x－3|－|x＋2|＜1.1分 當x＜－2時，3－x＋x＋2＜1，得5＜1，不成立；2分 當－2≤x＜3時，3－x－x－2＜1，得x＞0，所以0＜x＜3；3分 當x≥3時，x－3－x－2＜1，即－5＜1，恒成立，所以x≥3.4分 綜上可知，不等式f(x)＜1的解集是(0，＋∞).5分 (2)因為f(x)＝|x－3|－|x＋a|≤|(x－3)－(x＋a)|＝|a＋3|， 所以f(x)的最大值為|a＋3|.6分 對于任意實數(shù)x，恒有f(x)≤2a成立，等價于|a＋3|≤2a.7分 當a≥－3時，a＋3≤2a，得a≥3；8分 當a＜－3時，－a－3≤2a，a≥－1，不成立.9分 綜上，所求a的取值范圍是3，＋∞).10分 2．(選修4－4)平面直角坐標系xOy中，曲線C：(x－1)2＋y2＝1.直線l經過點P(m,0)，且傾斜角為.以O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系． (1)寫出曲線C的極坐標方程與直線l的參數(shù)方程； (2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且|PA||PB|＝1，求實數(shù)m的值． 解]　(1)曲線C的普通方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x，即ρ2＝2ρcos θ，即曲線C的極坐標方程為ρ＝2cos θ.2分 直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).5分 (2)設A，B兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2，將直線l的參數(shù)方程代入x2＋y2＝2x中，得t2＋(m－)t＋m2－2m＝0，所以t1t2＝m2－2m.8分 由題意得|m2－2m|＝1，得m＝1,1＋或1－.10分 　(選修4－5)已知函數(shù)f(x)＝|x＋6|－|m－x|(m∈R)． (1)當m＝3時，求不等式f(x)≥5的解集； (2)若不等式f(x)≤7對任意實數(shù)x恒成立，求m的取值范圍． 解]　(1)當m＝3時，f(x)≥5，即|x＋6|－|x－3|≥5， ①當x＜－6時，得－9≥5，所以x∈?； ②當－6≤x≤3時，得x＋6＋x－3≥5，即x≥1，所以1≤x≤3； ③當x＞3時，得9≥5，成立，所以x＞3.4分 故不等式f(x)≥5的解集為{x|x≥1}.5分 (2)因為|x＋6|－|m－x|≤|x＋6＋m－x|＝|m＋6|. 由題意得|m＋6|≤7，則－7≤m＋6≤7，8分 解得－13≤m≤1， 故m的取值范圍是－13,1].10分 3．(選修4－4)在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，P點的極坐標為(2，π)，曲線C的極坐標方程為ρcos2θ＝sin θ. (1)試將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，并求曲線C的焦點坐標； (2)設直線l與曲線C相交于兩點A，B，點M為AB的中點，求|PM|的值． 解]　(1)把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入ρcos2θ＝sin θ，可得曲線C的直角坐標方程為x2＝y(tǒng)，它是開口向上的拋物線，焦點坐標為.5分 (2)點P的直角坐標為(－2,0)，它在直線l上，在直線l的參數(shù)方程中， 設點A，B，M對應的參數(shù)為t1，t2，t0. 由題意可知t0＝.7分 把直線l的參數(shù)方程代入拋物線的直角坐標方程，得t2－5t＋8＝0.8分 因為Δ＝(5)2－48＝18＞0， 所以t1＋t2＝5，則|PM|＝|t0|＝.10分 　(選修4－5)設函數(shù)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|. (1)解不等式f(x)＞0； (2)若f(x)＋3|x－4|≥m對一切實數(shù)x均成立，求m的取值范圍． 解]　(1)當x≥4時，f(x)＝2x＋1－(x－4)＝x＋5＞0，得x＞－5，所以x≥4成立.2分 當－≤x＜4時，f(x)＝2x＋1＋x－4＝3x－3＞0，得x＞1，所以1＜x＜4成立.4分 當x＜－時，f(x)＝－x－5＞0，得x＜－5，所以x＜－5成立． 綜上，原不等式的解集為{x|x＞1或x＜－5}.6分 (2)f(x)＋3|x－4|＝|2x＋1|＋2|x－4|≥|2x＋1－(2x－8)|＝9.8分 當－≤x≤4時等號成立，所以m≤9.10分 4．(選修4－4)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2的方程為ρ＝. (1)求曲線C1，C2的直角坐標方程； (2)若A，B分別為曲線C1，C2上的任意點，求|AB|的最小值. 【導學號：85952089】 解]　(1)C1：x－2y－3＝0，C2：＋y2＝1.4分 (2)設B(2cos θ，sin θ)，則|AB|＝＝.8分 當且僅當θ＝2kπ－(k∈Z)時，|AB|min＝＝.10分 (選修4－5)設函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|2x－1|. (1)求不等式f(x)≥2的解集； (2)若?x∈R，不等式f(x)≥a|x|恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 解]　(1)不等式f(x)≥2等價于 或 或3分 解得x≤0或x≥，因此不等式f(x)≥2的解集為.5分 (2)當x＝0時，f(x)＝2，a|x|＝0，原式恒成立；6分 當x≠0時，原式等價轉換為＋≥a恒成立，即a≤min.8分 ∵＋≥＝1，當且僅當≤0，即≤x≤1時取等號， ∴a≤1.10分