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高考小題分項(xiàng)練3 函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1．下列函數(shù)在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是( )
A．y＝2x B．y＝x3＋x
C．y＝－ D．y＝－log2x
答案 B
解析 若函數(shù)是奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)，故排除A、D；對(duì)C：y＝－在(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞增，但在定義域上不單調(diào)，故C錯(cuò)，故答案為B.
2．已知函數(shù)f(x)＝|ln x|－1，g(x)＝－x2＋2x＋3，用min{m，n}表示m，n中的最小值．設(shè)函數(shù)h(x)＝min{f(x)，g(x)}，則函數(shù)h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 畫圖可知四個(gè)零點(diǎn)分別為－1和3，和e，但注意到f(x)的定義域?yàn)閤>0，故選C.
3．已知函數(shù)f(x)＝ln(2x＋)－，若f(a)＝1，則f(－a)等于( )
A．0 B．－1
C．－2 D．－3
答案 D
解析 因?yàn)閒(a)＋f(－a)＝＋＝－2，
所以f(－a)＝－2－f(a)＝－2－1＝－3.故選D.
4．設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3，若實(shí)數(shù)a，b滿足f(a)＝g(b)＝0，則( )
A．f(b)<0
0，所以00，所以10，g(a)<0，故g(a)<00)上的值域?yàn)閇m，n]，則m＋n的值是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
答案 D
解析 f(x)＝1＋＋sin x＝1＋2()＋sin x＝3－＋sin x，
m＋n＝f(－k)＋f(k)
＝6－2(＋)＋sin(－k)＋sin k＝6－2＝4.
6．函數(shù)y＝4cos x－e|x|(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的圖象可能是( )
答案 A
解析 由解析式知函數(shù)為偶函數(shù)，故排除B、D.又f(0)＝4－1＝3>0，故選A.
7．設(shè)函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意的x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，則滿足上述條件的f(x)可以是( )
A．f(x)＝cos B．f(x)＝sin
C．f(x)＝2cos2 D．f(x)＝2cos2
答案 C
解析 根據(jù)y＝f(x)是偶函數(shù)，排除B；由f(x＋6)＝f(x)＋f(3)知道y＝f(x)是周期函數(shù)，6是它的一個(gè)周期，C選項(xiàng)可整理為f(x)＝1＋cos ，其周期為T＝＝6，符合題意，故選C.
8．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d (a≠0)．已知五個(gè)方程的相異實(shí)根個(gè)數(shù)如下表所述：
f(x)－20＝0
1
f(x)＋10＝0
1
f(x)－10＝0
3
f(x)＋20＝0
1
f(x)＝0
3
α為f(x)的極大值，下列選項(xiàng)中正確的是( )
A．0<α<10 B．10<α<20
C．－10<α<0 D．－20<α<－10
答案 B
解析 方程f(x)－k＝0的相異實(shí)根數(shù)可化為方程f(x)＝k的相異實(shí)根數(shù)，方程f(x)＝k的相異實(shí)根數(shù)可化為函數(shù)y＝f(x)與水平線y＝k兩圖形的交點(diǎn)數(shù)．依題意可得兩圖形的簡略圖有以下兩種情形：
(1)當(dāng)a為正時(shí)，
(2)當(dāng)a為負(fù)時(shí)，
因極大值點(diǎn)位于水平線y＝10與y＝20之間，所以其縱坐標(biāo)α(即極大值)的范圍為10<α<20.
9．奇函數(shù)f(x)、偶函數(shù)g(x)的圖象分別如圖1、2所示，方程f(g(x))＝0、g(f(x))＝0的實(shí)根個(gè)數(shù)分別為a、b，則a＋b等于( )
A．14 B．10
C．7 D．3
答案 B
解析 由圖可知，圖1為f(x)的圖象，圖2為g(x)的圖象，m∈(－2，－1)，n∈(1,2)，∴方程f(g(x))＝0?g(x)＝－1或g(x)＝0或g(x)＝1?x＝－1，x＝1，x＝m，x＝0，x＝n，x＝－2，x＝2，∴方程f(g(x))＝0有7個(gè)根，即a＝7；而方程g(f(x))＝0?f(x)＝m或f(x)＝0或f(x)＝n?f(x)＝0?x＝－1，x＝0，x＝1，
∴方程g(f(x))＝0有3個(gè)根，即b＝3.∴a＋b＝10，
故選B.
10．當(dāng)函數(shù)f(x)＝有且只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍是( )
A．a(chǎn)≤0 B．01
答案 D
解析 ∵f(1)＝lg 1＝0，∴當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn)，故－2x＋a>0或－2x＋a<0在(－∞，0]上恒成立，即a>2x，或a<2x在(－∞，0]上恒成立，故a>1或a≤0，故選D.
11．函數(shù)y＝loga(x＋3)－1 (a>0且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx＋ny＋2＝0上，其中m>0，n>0，則＋的最小值為( )
A．2 B．4
C. D.
答案 D
解析 由題意，得點(diǎn)A(－2，－1)，
故－2m－n＋2＝0，即2m＋n＝2，
∴＋＝＋＝＋＋2＋≥4＋＝，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝時(shí)，等號(hào)成立．故選D.
12．設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意的x1，x2∈D，當(dāng)x1＋x2＝2a時(shí)，恒有f(x1)＋f(x2)＝2b，則稱點(diǎn)(a，b)為函數(shù)y＝f(x)圖象的對(duì)稱中心．研究函數(shù)f(x)＝x3＋sin x＋1的某一個(gè)對(duì)稱中心，并利用對(duì)稱中心的上述定義，可得到f(－2 015)＋f(－2 014)＋f(－2 013)＋…＋f(2 014)＋f(2 015)等于( )
A．0 B．2 014
C．4 028 D．4 031
答案 D
解析 ∵f(x)＝x3＋sin x＋1，∴f′(x)＝3x2＋cos x，
f″(x)＝6x－sin x，又∵f″(0)＝0，
而f(x)＋f(－x)＝x3＋sin x＋1－x3－sin x＋1＝2，
函數(shù)f(x)＝x3＋sin x＋1圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為(0,1)，
即x1＋x2＝0時(shí)，總有f(x1)＋f(x2)＝2，
∴f(－2 015)＋f(－2 014)＋f(－2 013)＋…＋f(2 014)＋f(2 015)＝22 015＋f(0)＝4 030＋1
＝4 031.故選D.
13．已知函數(shù)f(x)＝則f(f(－))＝________；f(x)的最小值為________．
答案 1 0
解析 f(f(－))＝f(log33)＝f(1)＝1＋2－2＝1.
當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝x＋－2≥2－2；
當(dāng)x<1時(shí)，f(x)＝log3(x2＋1)≥0.
故f(x)的最小值為f(0)＝0.
14．為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒．已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為y＝()t－a(a為常數(shù))，如圖所示．據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室．則從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過________小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室．
答案 0.6
解析 當(dāng)t＝0.1時(shí)，可得1＝()0.1－a，
∴0.1－a＝0，a＝0.1，由題意可得y≤0.25＝，
即()t－0.1≤，即t－0.1≥，
解得t≥0.6，所以至少需要經(jīng)過0.6小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室．
15．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，直線x＝1和x＝2是曲線y＝f(x)的對(duì)稱軸，且f(0)＝1，則f(4)＋f(10)＝________.
答案 2
解析 ∵直線x＝1和x＝2是曲線y＝f(x)的對(duì)稱軸，
∴f(2－x)＝f(x)，f(4－x)＝f(x)，
∴f(2－x)＝f(4－x)，∴y＝f(x)的周期T＝2，
∴f(4)＋f(10)＝f(0)＋f(0)＝2.
16．給定方程：()x＋sin x－1＝0，則下列命題中：
①該方程沒有小于0的實(shí)數(shù)解；
②該方程有無數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)解；
③該方程在(－∞，0)內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解；
④若x0是該方程的實(shí)數(shù)解，則x0>－1.
正確的命題是________．
答案 ②③④
解析 對(duì)于①，若α是方程()x＋sin x－1＝0的一個(gè)解，則滿足()α＝1－sin α，當(dāng)α為第三、四象限角時(shí)，()α>1，此時(shí)α<0，因此該方程存在小于0的實(shí)數(shù)解，故①不正確；
對(duì)于②，原方程等價(jià)于()x－1＝－sin x，
當(dāng)x≥0時(shí)，－1<()x－1≤0，而函數(shù)y＝－sin x的最小值為－1，且有無窮多個(gè)x滿足－sin x＝－1，
因此函數(shù)y＝()x－1與y＝－sin x的圖象在[0，＋∞)上有無窮多個(gè)交點(diǎn)，因此方程()x＋sin x－1＝0有無數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)解，故②正確；
對(duì)于③，當(dāng)x<0時(shí)，由于x≤－1時(shí)，()x－1≥1，
函數(shù)y＝()x－1與y＝－sin x的圖象不可能有交點(diǎn)，
當(dāng)－1－1，故④正確．
故答案為②③④.
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