高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專(zhuān)題五 立體幾何與空間向量 第1講 空間幾何體練習(xí) 理
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第1講 空間幾何體 1．(2016山東)一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( ) A.＋π B.＋π C.＋π D．1＋π 答案 C 解析 由三視圖知，半球的半徑R＝，四棱錐是底面邊長(zhǎng)為1，高為1的正四棱錐，∴V＝111＋π3＝＋π，故選C. 2．(2016課標(biāo)全國(guó)丙)在封閉的直三棱柱ABC—A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是( ) A．4π B. C．6π D. 答案 B 解析 由題意知，底面三角形的內(nèi)切圓直徑為4.三棱柱的高為3，所以球的最大直徑為3，V的最大值為. 3．(2015山東)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為( ) A. B. C. D．2π 答案 C 解析 過(guò)點(diǎn)C作CE垂直AD所在直線于點(diǎn)E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長(zhǎng)為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長(zhǎng)為底面圓半徑，ED為高的圓錐，如圖所示，該幾何體的體積為V＝V圓柱－V圓錐＝πAB2BC－πCE2DE＝π122－π121＝，故選C. 4．(2016浙江)如圖，已知平面四邊形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝，∠ADC＝90，沿直線AC將△ACD翻折成△ACD′，直線AC與BD′所成角的余弦的最大值是________． 答案 解析 設(shè)直線AC與BD′所成角為θ，平面ACD翻折的角度為α，設(shè)點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，由已知得AC＝，如圖， 以O(shè)B為x軸，OA為y軸，過(guò)點(diǎn)O與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 由A，B，C，作DH⊥AC于點(diǎn)H，翻折過(guò)程中，D′H始終與AC垂直，CH＝＝＝，則OH＝，DH＝＝， 因此可設(shè)D′， 則＝，與平行的單位向量為n＝(0,1,0)，所以cos θ＝|cos〈，n〉|＝＝， 所以cos α＝－1時(shí)，cos θ取最大值. 1.以三視圖為載體，考查空間幾何體面積、體積的計(jì)算. 2.考查空間幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖及簡(jiǎn)單的組合體問(wèn)題. 熱點(diǎn)一 三視圖與直觀圖 1．一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則 俯視圖放在正(主)視圖的下面，長(zhǎng)度與正(主)視圖的長(zhǎng)度一樣，側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度與正(主)視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣．即“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”． 2．由三視圖還原幾何體的步驟 一般先從俯視圖確定底面再利用正視圖與側(cè)視圖確定幾何體． 例1 (1)(2016課標(biāo)全國(guó)甲)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為( ) A．20π B．24π C．28π D．32π (2)將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為( ) 答案 (1)C (2)D 解析 (1)由三視圖可知，組合體的底面圓的面積和周長(zhǎng)均為4π，圓錐的母線長(zhǎng)l＝＝4，所以圓錐的側(cè)面積為S錐側(cè)＝4π4＝8π，圓柱的側(cè)面積S柱側(cè)＝4π4＝16π，所以組合體的表面積S＝8π＋16π＋4π＝28π，故選C. (2)所得幾何體的輪廓線中，除長(zhǎng)方體原有的棱外，有兩條是原長(zhǎng)方體的面對(duì)角線，它們?cè)趥?cè)視圖中落在矩形的兩條邊上，另一條是原長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，在側(cè)視圖中體現(xiàn)為矩形的自左下至右上的一條對(duì)角線，因不可見(jiàn)，故用虛線表示，由以上分析可知，應(yīng)選D. 思維升華 空間幾何體的三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三個(gè)平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖問(wèn)題時(shí)，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置，再確定幾何體的形狀，即可得到結(jié)果． 跟蹤演練1 (1)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是( ) (2)一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是( ) 答案 (1)D (2)B 解析 (1)由俯視圖，易知答案為D. (2)由直觀圖可知，該幾何體由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)截角三棱柱組合．從上往下看，外層輪廓線是一個(gè)矩形，矩形內(nèi)部有一條線段連接的兩個(gè)三角形． 熱點(diǎn)二 幾何體的表面積與體積 空間幾何體的表面積和體積計(jì)算是高考中常見(jiàn)的一個(gè)考點(diǎn)，解決這類(lèi)問(wèn)題，首先要熟練掌握各類(lèi)空間幾何體的表面積和體積計(jì)算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不規(guī)則幾何體分割成幾個(gè)規(guī)則幾何體的技巧，把一個(gè)空間幾何體納入一個(gè)更大的幾何體中的補(bǔ)形技巧． 例2 (1)(2016北京)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為( ) A. B. C. D．1 (2)如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在C1D1與C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，連接EF，F(xiàn)B，DE，BD，則幾何體EFC1－DBC的體積為( ) A．66 B．68 C．70 D．72 答案 (1)A (2)A 解析 (1)由三視圖知，三棱錐如圖所示： 由側(cè)視圖得高h(yuǎn)＝1， 又底面積S＝11＝. 所以體積V＝Sh＝. (2)如圖，連接DF，DC1， 那么幾何體EFC1－DBC被分割成三棱錐D－EFC1及四棱錐D－CBFC1，那么幾何體EFC1－DBC的體積為V＝346＋(3＋6)66＝12＋54＝66. 故所求幾何體EFC1－DBC的體積為66. 思維升華 (1)求多面體的表面積的基本方法就是逐個(gè)計(jì)算各個(gè)面的面積，然后求和．(2)求體積時(shí)可以把空間幾何體進(jìn)行分解，把復(fù)雜的空間幾何體的體積分解為一些簡(jiǎn)單幾何體體積的和或差．求解時(shí)注意不要多算也不要少算． 跟蹤演練2 某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為_(kāi)_______． 答案 解析 由三視圖可知，該幾何體為如圖所示的多面體ABCDEF(置于長(zhǎng)方體ABCD—MNFG中去觀察)，且點(diǎn)E為DG的中點(diǎn)，可得AB＝BC＝GE＝DE＝3，連接AG，所以多面體ABCDEF的體積為V多面體ABCDEF＝V三棱柱ADG—BCF－V三棱錐A—GEF＝(3＋3)33－(33)3＝. 熱點(diǎn)三 多面體與球 與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖．如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑．球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑．球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心(或“切點(diǎn)”“接點(diǎn)”)作出截面圖． 例3 (1)已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60，則球O的表面積為( ) A．4π B．12π C．16π D．64π (2)如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為( ) A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 答案 (1)C (2)A 解析 (1)在△ABC中， BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos 60＝3， ∴AC2＝AB2＋BC2， 即AB⊥BC， 又SA⊥平面ABC， ∴三棱錐S－ABC可補(bǔ)成分別以AB＝1，BC＝，SA＝2為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體， ∴球O的直徑＝＝4， 故球O的表面積為4π22＝16π. (2)過(guò)球心與正方體中點(diǎn)的截面如圖， 設(shè)球心為點(diǎn)O，球半徑為R cm，正方體上底面中心為點(diǎn)A，上底面一邊的中點(diǎn)為點(diǎn)B， 在Rt△OAB中，OA＝(R－2)cm， AB＝4 cm， OB＝R cm， 由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5， ∴V球＝πR3＝π(cm3)．故選A. 思維升華 三棱錐P－ABC可通過(guò)補(bǔ)形為長(zhǎng)方體求解外接球問(wèn)題的兩種情形： (1)點(diǎn)P可作為長(zhǎng)方體上底面的一個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C可作為下底面的三個(gè)頂點(diǎn)； (2)P－ABC為正四面體，則正四面體的棱都可作為一個(gè)正方體的面對(duì)角線． 跟蹤演練3 在三棱錐A－BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面積分別為，，，則三棱錐A－BCD的外接球體積為_(kāi)_______． 答案 π 解析 如圖，以AB，AC，AD為棱把該三棱錐擴(kuò)充成長(zhǎng)方體，則該長(zhǎng)方體的外接球恰為三棱錐的外接球， ∴三棱錐的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)． 據(jù)題意解得 ∴長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為＝， ∴三棱錐外接球的半徑為. ∴三棱錐外接球的體積為V＝π()3＝π. 1．一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示，則該幾何體的表面積為( ) A．16 B．8＋8 C．2＋2＋8 D．4＋4＋8 押題依據(jù) 求空間幾何體的表面積或體積是立體幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考命題的熱點(diǎn)．此類(lèi)題常以三視圖為載體，給出幾何體的特征，求幾何體的表面積或體積． 答案 D 解析 由三視圖知， 該幾何體是底面邊長(zhǎng)為＝2的正方形，高PD＝2的四棱錐P－ABCD，因?yàn)镻D⊥平面ABCD，且四邊形ABCD是正方形， 易得BC⊥PC，BA⊥PA， 又PC＝＝＝2， 所以S△PCD＝S△PAD＝22＝2， S△PAB＝S△PBC＝22＝2. 所以幾何體的表面積為4＋4＋8. 2．在正三棱錐S－ABC中，點(diǎn)M是SC的中點(diǎn)，且AM⊥SB，底面邊長(zhǎng)AB＝2，則正三棱錐S－ABC的外接球的表面積為( ) A．6π B．12π C．32π D．36π 押題依據(jù) 多面體的外接球一般借助補(bǔ)形為長(zhǎng)方體的外接球解決，解法靈活，是高考的熱點(diǎn)． 答案 B 解析 因?yàn)槿忮FS－ABC為正三棱錐，所以SB⊥AC，又AM⊥SB，AC∩AM＝A，所以SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC，同理，SA⊥SC，即SA，SB，SC三線兩兩垂直，且AB＝2，所以SA＝SB＝SC＝2，所以(2R)2＝322＝12，所以球的表面積S＝4πR2＝12π，故選B. 3．已知半徑為1的球O中內(nèi)接一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的體積與圓柱的體積的比值為_(kāi)_______． 押題依據(jù) 求空間幾何體的體積是立體幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，主要是求柱體、錐體、球體或簡(jiǎn)單組合體的體積．本題通過(guò)球的內(nèi)接圓柱，來(lái)考查球與圓柱的體積計(jì)算，設(shè)問(wèn)角度新穎，值得關(guān)注． 答案 解析 如圖所示， 設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓柱的側(cè)面積為S＝2πr2＝4πr≤4π＝2π(當(dāng)且僅當(dāng)r2＝1－r2，即r＝時(shí)取等號(hào))． 所以當(dāng)r＝時(shí)， ＝＝. A組 專(zhuān)題通關(guān) 1．如圖所示，將圖(1)中的正方體截去兩個(gè)三棱錐，得到圖(2)中的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為( ) 答案 B 解析 由所截幾何體可知，F(xiàn)C1被平面AD1E遮擋，可得B圖． 2．下圖是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面展開(kāi)圖，則多面體ABCDE的體積為( ) A．2 B. C. D. 答案 D 解析 多面體ABCDE為四棱錐(如圖)，利用割補(bǔ)法可得其體積V＝4－＝，選D. 3．某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為( ) A．8－2π B．8－π C．8－ D．8－ 答案 B 解析 由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體切去兩個(gè)四分之一圓柱而成，所以該幾何體的體積為V＝(22－2π12)2＝8－π. 4．(2015課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r等于( ) A．1 B．2 C．4 D．8 答案 B 解析 如圖， 該幾何體是一個(gè)半球與一個(gè)半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，則表面積S＝4πr2＋πr2＋4r2＋πr2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π， ∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故選B. 5．如圖所示，平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，將其沿對(duì)角線BD折成四面體A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面體A′BCD的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的體積為( ) A.π B．3π C.π D．2π 答案 A 解析 如圖所示， 取BD的中點(diǎn)E，BC的中點(diǎn)O，連接A′E，EO，A′O，OD.因?yàn)槠矫鍭′BD⊥平面BCD，A′E⊥BD， 平面A′BD∩平面BCD＝BD， A′E?平面A′BD， 所以A′E⊥平面BCD. 因?yàn)锳′B＝A′D＝CD＝1，BD＝， 所以A′E＝，EO＝，所以O(shè)A′＝. 在Rt△BCD中，OB＝OC＝OD＝BC＝， 所以四面體A′BCD的外接球的球心為O，球的半徑為，所以V球＝π()3＝π.故選A. 6．有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形(如圖所示)，∠ABC＝45，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為_(kāi)_______． 答案 2＋ 解析 如圖，在直觀圖中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E， 則在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45，∴BE＝. 而四邊形AECD為矩形，AD＝1， ∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝＋1. 由此可還原原圖形如圖． 在原圖形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1， 且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′， ∴這塊菜地的面積為 S＝(A′D′＋B′C′)A′B′ ＝(1＋1＋)2＝2＋. 7．(2016浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是______cm2，體積是________cm3. 答案 72 32 解析 由三視圖可知，該幾何體為兩個(gè)相同長(zhǎng)方體的組合，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4 cm、2 cm、2 cm，其直觀圖如下： 其體積V＝2224＝32(cm3)，由于兩個(gè)長(zhǎng)方體重疊部分為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，所以表面積為S＝2(222＋244)－222＝2(8＋32)－8＝72(cm2)． 8.如圖所示，從棱長(zhǎng)為6 cm的正方體鐵皮箱ABCD—A1B1C1D1中分離出來(lái)由三個(gè)正方形面板組成的幾何圖形．如果用圖示中這樣一個(gè)裝置來(lái)盛水，那么最多能盛的水的體積為_(kāi)_______ cm3. 答案 36 解析 最多能盛多少水，實(shí)際上是求三棱錐C1—CD1B1的體積． 又 ＝(66)6＝36(cm3)， 所以用圖示中這樣一個(gè)裝置來(lái)盛水，最多能盛36 cm3體積的水． 9．一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示．將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于____________． 答案 2 解析 由三視圖可知該幾何體是一個(gè)直三棱柱，如圖所示． 由題意知，當(dāng)打磨成的球的大圓恰好與三棱柱底面直角三角形的內(nèi)切圓相同時(shí)，該球的半徑最大，故其半徑r＝(6＋8－10)＝2. 10．已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形． (1)求該幾何體的體積V； (2)求該幾何體的側(cè)面積S. 解 由已知可得，該幾何體是一個(gè)底面為矩形，高為4，頂點(diǎn)在底面的投影是矩形中心的四棱錐E－ABCD. (1)V＝(86)4＝64. (2)四棱錐E－ABCD的兩個(gè)側(cè)面EAD，EBC是全等的等腰三角形，且BC邊上的高h(yuǎn)1＝ ＝4； 另兩個(gè)側(cè)面EAB，ECD也是全等的等腰三角形，AB邊上的高h(yuǎn)2＝ ＝5. 因此S＝2(64＋85)＝40＋24. B組 能力提高 11．(2015湖南)某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過(guò)切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的長(zhǎng)方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為(材料利用率＝)( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 設(shè)三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體為底面半徑為1，高為2的圓錐．如圖， 設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，上、下底面中心分別為O1，O2，上方截得的小圓錐的高為h，底面半徑為r，則a2＋b2＝4r2.由三角形相似，得＝， 即＝，則h＝2r.長(zhǎng)方體的體積為V＝abc＝ab(2－2r)≤(2－2r)＝2r2(2－2r)＝4r2－4r3(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，且0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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