中考數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)聚焦 第七章 一元一次方程與二元一次方程組

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專題三方程(組)與不等式(組） 第七章一元一次次方程與二元一次方程組 考情分析 高頻考點(diǎn) 考查頻率 所占分值 1.一元一次方程及方程的解 ★ 5～12分 2.等式的性質(zhì) ★★ 3.解一元一次方程 ★ 4.由實(shí)際問題列方程(組） ★★ 5.一元一次方程的應(yīng)用 ★ 6.二元一次方程組的解 ★★ 7.解二元一次方程組 ★★ 8.二元一次方程(組)的應(yīng)用 ★★★ 智能圖譜 第15講一元一次方程 知識(shí)能力解讀 知能解讀（一）方程及一元一次方程的有關(guān)概念 （1）方程：含有未知數(shù)的等式叫作方程. 注意 判斷一個(gè)式子是不是方程，要看兩個(gè)條件：一是等式；二是含有未知數(shù).二者缺一不可. （2）一元一次程：只含有一個(gè)未知數(shù)(元)，含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,等號(hào)兩邊都是整式，這樣的方程叫作一元一次方程.方程(其中是未知數(shù)是已知數(shù)，并且)叫作一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式. 一元一次方程具有三個(gè)特點(diǎn):①未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù)；②含有一個(gè)未知數(shù)；③含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1.三者缺一不可. （3）方程的解：使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值,叫作方程的解(只含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解，也叫方程的根). （4）解方程：求方程的解的過程，叫作解方程. 注意 判斷一個(gè)數(shù)(或一組數(shù))是不是某方程的解，只需看兩點(diǎn)：（1）它（或它們）是方程中未知數(shù)的值；（2）將它（或它們）分別代入方程的左邊和右邊，若左邊等于右邊，則它（或它們）是方程的解.二者缺一不可. 知能解讀（二）等式及其性質(zhì) （1）等式：用等號(hào)“=”來表示相等關(guān)系的式子叫等式.像，，，這樣的式子，都是等式. 我們可以用表示一般的等式. （2）等式的性質(zhì)： （3）等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子),結(jié)果仍相等，即如果，那么； （4）等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等，即如果，那么；如果，那么. 拓展 等式還具有下列性質(zhì)： （1）對(duì)稱性：如果，那么，即等式的左、右兩邊交換位置，所得結(jié)果仍是等式； （2）傳遞性：如果，且，那么，這一性質(zhì)也叫等量代換. 知能解讀(三)一元一次方程的解法 移項(xiàng)法則：方程中的任何一項(xiàng)都可以改變符號(hào)后從方程的一邊移到另一邊，這種變形叫作移項(xiàng).這個(gè)法則叫作移項(xiàng)法則，移項(xiàng)的根據(jù)是等式的性質(zhì)①. （2）解一元二次方程的一般步驟： 變形名稱 具體做法 變形依據(jù) 注意事項(xiàng) 去分母 在方程得兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù) 等式的性質(zhì)② （1）不要漏乘不含分母的項(xiàng)； （2）若分子是一個(gè)多項(xiàng)式，需加上括號(hào) 去括號(hào) 先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最大去大括號(hào) 去括號(hào)法則、分賠律 （1）不要漏乘括號(hào)里的項(xiàng)； （2）不要弄錯(cuò)符號(hào) 移項(xiàng) 把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的一邊，其他各項(xiàng)都移到方程得另一邊（記住移向要變號(hào)） 等式的性質(zhì)① （1）移項(xiàng)要變號(hào)； （2）不要丟項(xiàng) 合并同類項(xiàng) 把方程化為的形式 合同同類項(xiàng)法則 （1）未知數(shù)及其指數(shù)不變，系數(shù)相加； （2）不要漏項(xiàng) 系數(shù)化為1 在方程的兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)，得到方程的解 等式的性質(zhì)② 切記分子、分母置顛倒 注意 解方程的五個(gè)步驟，有些可能用不到，有些可能重復(fù)使用，也不一定按從上到下的順序進(jìn)行，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活安排求解步驟. 知能解讀（四）實(shí)際問題與一元一次方程 簡(jiǎn)單概括為“審、找、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答”七個(gè)字. 即：（1）審清題意和題目中的已知數(shù)、未知數(shù)； （2）找出能夠表示應(yīng)用題含義的一個(gè)等量關(guān)系； （3）根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系設(shè)出需要的未知數(shù)，從而列出方程； （4）解這個(gè)方程，求出未知數(shù)的值； （5）檢驗(yàn)解的合理性并寫出答案（包括單位名稱). 注意 列方程解應(yīng)用題的注意事項(xiàng) 步驟 注意事項(xiàng) 設(shè)未知數(shù) 1.設(shè)未知數(shù)，一般是問什么就直接設(shè)什么； 2.若直接設(shè)未知數(shù)有難度，可間接設(shè)未知數(shù)； 3.設(shè)未知數(shù)時(shí)，必須寫清楚未知數(shù)的單位名稱，如“設(shè)火車的速度是”是不正確的，應(yīng)是“設(shè)火車的速度千米/時(shí)” 列方程 1.列方程得等量關(guān)系是否正確； 2.方程兩邊的量所用單位是否統(tǒng)一 解答 求得方程的解必須檢驗(yàn)，看是否符合題意，是否使實(shí)際問題有意義 知能解讀（五）一元一次方程應(yīng)用題常見的題型及數(shù)量關(guān)系歸納 內(nèi) 容 類 型 題中涉及的數(shù)量關(guān)系及公式 等量關(guān)系 注意事項(xiàng) 和、差、倍、分問題 增長(zhǎng)量=原有量增長(zhǎng)率 現(xiàn)有量=原有量+增長(zhǎng)量 現(xiàn)有量=原有量-降低量 由題可知 弄清“倍數(shù)”關(guān)系及“多少”關(guān)系等 等積變形問題 長(zhǎng)方體體積=長(zhǎng)寬高 圓柱體體積（高，底面圓半徑） 變形前后體積相等 要分清圓的半徑、直徑 行程問題 相遇問題 路程=速度時(shí)間 時(shí)間=路程速度 快車行駛路程+慢車行駛路程=原距離 相向而行，注意出發(fā)時(shí)間、地點(diǎn) 追及問題 速度=路程時(shí)間 快車行駛路程-慢車行駛路程=原距離 同向而行，注意出發(fā)時(shí)間、地點(diǎn) 調(diào)配問題 從調(diào)配后的數(shù)量關(guān)系中找等量關(guān)系 調(diào)配對(duì)象流動(dòng)的方向和數(shù)量 比例分配問題 全部數(shù)量=各部分的數(shù)量之和 把一份的數(shù)量設(shè)為 工程問題 工作量=工作效率工作時(shí)間 工作效率=工作量工作時(shí)間 工作時(shí)間=工作量工作效率 兩個(gè)或幾個(gè)工作效率不同的對(duì)象所完成的工作量的和等于總工作量 一般情況下，把總工作量設(shè)為1 利潤(rùn)率問題 商品的利潤(rùn)率=100% 商品利潤(rùn)=商品售價(jià)-商品進(jìn)價(jià)（成本價(jià)） 找出利潤(rùn)、利潤(rùn)率、售價(jià)、進(jìn)價(jià)之間的關(guān)系 打幾折就是按原售價(jià)的十分之幾出售 數(shù)字問題（包括月歷表中的數(shù)字規(guī)律） 設(shè)分別為一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位、十位上數(shù)字，則這個(gè)兩位數(shù)可表示為 由題可知 （1）對(duì)于月歷表中的數(shù)字問題要弄清月歷表中的數(shù)字規(guī)律 （2）設(shè)間接未知數(shù) 儲(chǔ)蓄問題 本金、利息、利率之間的關(guān)系式：利息=本金利率期數(shù)；本息和=本金+利息=本金（1+利率期數(shù)） 由題可知 分清利息和本息和 注意 以上把一元一次方程應(yīng)用題幾種常見的題型及其特點(diǎn)列表歸納出來，目的是幫助同學(xué)們加深理解和記憶，切不可把它當(dāng)作學(xué)習(xí)的“拐杖”，死記題型，生搬硬套，要培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力，掌握列一元一次方程解應(yīng)用題的一般方法. 方法技巧歸納 方法技巧（一）一元一次方程的識(shí)別方法 方程是一元一次方程的條件有三個(gè):①只含有一個(gè)未知數(shù)；②含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1；③是整式方程且未知數(shù)的系數(shù)不為0.這三個(gè)條件缺一不可. 點(diǎn)撥 判斷一個(gè)方程是不是一元一次方程，就看它是否符合：①方程兩邊都是整式；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1.三個(gè)條件缺一不可. 方法技巧（二）方程的解的應(yīng)用 方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值， 把方程的解代入可求出某些字母的值. 點(diǎn)撥 (1)把方程的解代入方程時(shí)，一定要“對(duì)號(hào)入座”，只把未知數(shù)用這個(gè)解來代替，其余不變.（2）當(dāng)方程中含有多個(gè)字母時(shí)，指出是關(guān)于哪個(gè)字母的方程,哪個(gè)字母就是方程的未知數(shù)，而其他字母都相當(dāng)于已知數(shù). 方法技巧（三）利用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形 利用等式的性質(zhì)對(duì)等式變形時(shí)，應(yīng)分析變形前、后式子發(fā)生了哪些變化,發(fā)生加減變形的依據(jù)是等式的性質(zhì)1，發(fā)生乘除變形的依據(jù)是等式的性質(zhì)2. 注意 （1）等式變形時(shí)，等式兩邊必須進(jìn)行完全相同的運(yùn)算，等式才成立；（2）特別注意等式兩邊同除以一個(gè)數(shù)(或一個(gè)式子)時(shí)，這個(gè)除數(shù)(或除式)不能為0. 方法技巧（四）一元一次方程的求解方法 （1）解一元一次方程，一般通過去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1等步驟，把一元一次方程“轉(zhuǎn)化”成的形式. （2）解方程的過程中，關(guān)鍵要明確步驟，且能靈活安排各個(gè)步驟的次序(不一定每個(gè)步驟都要用到），從而使計(jì)算簡(jiǎn)便.在整個(gè)求解過程中，注意要避免去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)時(shí)犯錯(cuò)誤，因此初學(xué)時(shí)，最好在求出方程的解后把方程的解代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn). 1巧去括號(hào)，簡(jiǎn)化運(yùn)算 點(diǎn)撥 對(duì)于含有多重括號(hào)的方程，關(guān)鍵是去括號(hào)，去括號(hào)時(shí)可以由里向外，也可以由外向里. 2巧妙合并，簡(jiǎn)化過程 點(diǎn)撥 按常規(guī)方法應(yīng)先去分母，再去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1,本題中如果這樣做很繁瑣.若將及分別看成一個(gè)整體，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，解答就十分巧妙. 3巧去分母，一舉兩得 點(diǎn)撥 當(dāng)方程中分?jǐn)?shù)的分子、分母都含有小數(shù)時(shí)，一般是運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，使分子、分母同時(shí)擴(kuò)大10的倍數(shù)，將小數(shù)化為整數(shù)，再去分母.在運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)時(shí)應(yīng)靈活運(yùn)用，有時(shí)在將小數(shù)化為整數(shù)的同時(shí)，可使分母變?yōu)?. 方法技巧（五）列一元一次方程解應(yīng)用題的題型與方法 （1）列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，把等量關(guān)系中的各個(gè)部分分別用關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，根據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程. 列方程解應(yīng)用題中設(shè)未知數(shù)的方法主要有： ①直接設(shè)未知數(shù)：所謂直接設(shè)未知數(shù)，就是題目里要求什么，就設(shè)什么是未知數(shù). ②間接設(shè)未知數(shù)：有些題目，采用直接設(shè)未知數(shù)的方法分析條件或列方程比較困難，而如果采用間接設(shè)未知數(shù)的方法，分析條件或列方程反而比較容易，這樣可以間接設(shè)未知數(shù)，解完方程，再來求題目里所 要求的未知量. 一般地，如果題目里涉及的幾個(gè)量之間存在某種數(shù)量關(guān)系或某種比例關(guān)系時(shí)，多采用間接設(shè)未知數(shù)的方法，間接設(shè)未知數(shù)是在直接設(shè)未知數(shù)、分析條件或列方程感到困難的時(shí)候才采取的方法.其優(yōu)點(diǎn)是：列方程和解方程的過程都比較容易. （2）列方程解應(yīng)用題的三種常用分析方法： ①等量分析法：找出題中的等量關(guān)系，分析等量關(guān)系的左、右兩邊是否相符. 圖示法：根據(jù)題意畫出示意圖，利用圖形來分析數(shù)量間的關(guān)系，從而列出方程.（以線段示意圖為主） 列表法：對(duì)于較復(fù)雜的應(yīng)用題,可以將題中的各個(gè)量列在表格中進(jìn)行分析，從而找出等量關(guān)系列出方程. （3）—元一次方程是將具體問題“數(shù)學(xué)化”的重要模型，建模過程如下： 這就是說，實(shí)際應(yīng)用題雖然千變?nèi)f化，種類較多，但都遵循這一思路，注意體會(huì)，下面通過一些題型說 明其應(yīng)用. ①和、差問題 點(diǎn)撥 列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系. ②打折銷售問題 點(diǎn)撥 本題中的打折銷售問題，正確表示售價(jià)，合理利用利潤(rùn)率公式是解題關(guān)鍵. ③儲(chǔ)蓄問題 點(diǎn)撥 “利息=本金利率期數(shù)”，正確表示出本息和是解題關(guān)鍵. ④行程問題 點(diǎn)撥 解行程類的應(yīng)用題，一般用“線段圖示法”分析等量關(guān)系，直觀明了，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想. 點(diǎn)撥 行程問題中常用的關(guān)系式：路程=速度時(shí)間（及其關(guān)系式變形），在行程問題中一般有三種情況： ①相遇問題：等量關(guān)系為“速度和運(yùn)動(dòng)時(shí)間=距離”； ②追及問題：等量關(guān)系為“(快行速度—慢行速度）追及時(shí)間=距離”； ③航行問題：等量關(guān)系為“順?biāo)俣?靜水速度+水流速度(及其關(guān)系式變形）”或“順?biāo)俣取嫠俣?2倍的水流速度(及其關(guān)系式變形）”. 本題中甲、乙兩人行走的路程的示意圖如圖所示（圖中實(shí)線表示甲走的路程，虛線表示乙走的路程). 由圖可得出題中的等量關(guān)系為：甲走的路程+乙走的路程=在解決行程問題時(shí)，畫出示意圖，可幫助我們更直觀地分析題意，找出等量關(guān)系. ⑤調(diào)配問題 ⑥工程問題 點(diǎn)撥 此類題一般把總工作量看成1,由兩個(gè)或幾個(gè)工作效率不同的對(duì)象所完成的工作量的和等于總工作量來找等量關(guān)系，其主要等量關(guān)系為：工作量=工作效率工作時(shí)間. ⑦數(shù)字問題 在有關(guān)數(shù)字問題的應(yīng)用題中，要弄清數(shù)字與數(shù)的關(guān)系，能夠正確表示多位數(shù)是解題的關(guān)鍵.如.這類應(yīng)用題,一般設(shè)間接未知數(shù)列方程. 點(diǎn)撥 解答有關(guān)數(shù)字類問題關(guān)鍵是正確運(yùn)用代數(shù)式表示兩位數(shù)、三位數(shù)等多位數(shù).如十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為的兩位數(shù)可表示為；百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為的三位數(shù)可表示為. ⑧優(yōu)化方案問題 由題意，得 3C%+125(36—：y)=5 025， 點(diǎn)撥 此題屬于“方案決策類”問題，題中提供了三種門票的價(jià)格，故要買其中的兩種有三種選擇，而要用完所有的錢，就要使所買的兩種門票所花錢數(shù)和等于總錢數(shù)，且要檢驗(yàn)方案的可行性. ⑨比賽中的積分問題 點(diǎn)撥 本題為比賽中的軹分問題，等量關(guān)系為“勝得分—負(fù)扣分=比賽得分”，正確表示出每一部分的分值是關(guān)鍵. 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 1.方程與等式、代數(shù)式的區(qū)別與聯(lián)系. 方程一定是等式，是含有未知數(shù)的等式；等式不一定是方程，因?yàn)榈仁街胁灰欢ê形粗獢?shù)（如).因此可以簡(jiǎn)單地說，方程是特殊的等式.而等式的兩邊都是代數(shù)式，代數(shù)式不含“=”只含有運(yùn)算符號(hào). 2.方程的解與解方程. 方程的解和解方程是兩個(gè)不同的概念，前者是求得的結(jié)果，后者是變形求得結(jié)果的過程；前一個(gè)“解”是名詞,后一個(gè)“解”是動(dòng)詞，要區(qū)別開來.如是方程的解，而解方程是指求方程的解的過程. 3.列方程解應(yīng)用題中的常見錯(cuò)誤. （1）忽略解題的第一步“設(shè)”，這容易出現(xiàn)兩種錯(cuò)誤：①不指出是代表什么意義的量，就用列方程；②指出表示的意義，但不寫出的單位. （2）列方程時(shí)，單位不統(tǒng)一. （3）對(duì)于求得的解，不檢驗(yàn)它是否符合實(shí)際意義，就盲目作答. 易混易錯(cuò)（一）混淆分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)與等式基本性質(zhì)而致錯(cuò) 易混易錯(cuò)（二）去分母時(shí)將不含分母的項(xiàng)漏乘，忽視分?jǐn)?shù)線的括號(hào)作用 易混易錯(cuò)（三）移項(xiàng)時(shí)忽視改變符號(hào) 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講主要考點(diǎn)有一元一次方程的解法及列方程解應(yīng)用題.對(duì)于一元一次方程的解法，單獨(dú)命題很少，常與解應(yīng)用題結(jié)合在一起進(jìn)行考查. 列方程解應(yīng)用題是中考的必考內(nèi)容，特別是一些社會(huì)經(jīng)濟(jì)、家庭生活、生產(chǎn)科技等與實(shí)際生產(chǎn)、生活密切相關(guān)的問題,是近幾年中考中出現(xiàn)頻率較高的題目.試題多以選擇題、填空題、解答題的形式出現(xiàn)，主要考查學(xué)生收集和處理信息的能力、分析和解決實(shí)際問題的能力.在中考中以中檔題出現(xiàn)，預(yù)計(jì)今后以社會(huì)熱點(diǎn)、新聞事件為素材的題目，會(huì)成為應(yīng)用題考查的一個(gè)熱點(diǎn). 中考試題（一）方程模型的建立 點(diǎn)撥 找出等量關(guān)系是列方程的關(guān)系，考察了“由實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題（方程模型）”的建模能力. 中考試題（二）收集信息、處理信息，列方程 點(diǎn)撥 根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷出該用戶用水超過22立方米是解題關(guān)鍵. 中考試題（三）利用方程解決實(shí)際問題 第16講二元一次方程組 知識(shí)能力解讀 知能解讀（一）二元一次方程和二元一次方程組的概念 （1）二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)（和），并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫作二元一次方程. 注意 二元一次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件： ①含有兩個(gè)未知數(shù)，即未知數(shù)的系數(shù)不能為0； ②含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1； ③含有未知數(shù)的式子都是整式. （2）二元一次方程組：有兩個(gè)未知數(shù)，含有每個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有兩個(gè)方程，像這樣的方程組叫作二元一次方程組. 常見形式有以下幾種： ①兩個(gè)二元一次方程合在一起組成的方程組； ②一個(gè)一元一次方程和一個(gè)二元一次方程合在一起組成的方程組； ③兩個(gè)含有不同未知數(shù)的一元一次方程組成的方程組. 知能解讀（二）一元二次方程的解和二元一次方程組的解 （1）二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫作二元一次方程的解. 點(diǎn)撥 （1）二元一次方程的解都是成對(duì)出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)，一般要用大括號(hào)聯(lián)立表示. （2）在二元一次方程中，只要給定其中一個(gè)未知數(shù)的一個(gè)值，就可以相應(yīng)地求出另一個(gè)未知數(shù)的值.因此，二元一次方程有無數(shù)個(gè)解. （3）一個(gè)二元一次方程有無數(shù)個(gè)解，但是并不是說任意一對(duì)數(shù)值都是它的解. （2）二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫作二元一次方程組的解. 點(diǎn)撥 （1）二元一次方程組的解是方程組中每一個(gè)方程的解.但方程組中每個(gè)方程的解不一定是方程組的解. （2）方程組的解要用大括號(hào)聯(lián)立，如 （3）一般常見的二元一次方程組有唯一解，但有的方程組有無數(shù)多個(gè)解，如有的方程組無解，如 知能解讀（三）二元一次方程組的解法 1消元思想 二元一次方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，如果消去其中一個(gè)未知數(shù)，那么就把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程.我們可以先求出一個(gè)未知數(shù)，然后再求另一個(gè)未知數(shù).這種將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫作消元思想. 2代入消元法 把二元一次方程組中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解.這種方法叫作代入消元法，簡(jiǎn)稱代人法.其一般步驟如下： 步驟 名稱 具體做法 目的 注意 1 變形 用含一個(gè)未知數(shù)的式子表示另一個(gè)未知數(shù) 變形為（或）的形式 選系數(shù)簡(jiǎn)單的方程變形 2 代入 把（或）代入另一個(gè)沒有變形的方程中 消去一個(gè)未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程 代入時(shí)要“只代不算” 3 解 解代入后的一元一次方程 求出一個(gè)未知數(shù) 去括號(hào)時(shí)不要漏乘，移項(xiàng)時(shí)要變號(hào) 4 回代 把求得的未知數(shù)的值代入變形后的方程中 求出另一個(gè)未知數(shù) 一般代入變形后的方程 5 寫出解 把兩個(gè)未知數(shù)的值用大括號(hào)聯(lián)立起來 表示為的形式 3.加減消元法 當(dāng)二元一次方程組的兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一元一次方程.這種方法叫作加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法.其一般步驟如下： 步驟 名稱 具體做法 目的 注意 1 變形 根據(jù)絕對(duì)值較小的未知數(shù)（同一個(gè)未知數(shù)）的系數(shù)的最小公倍數(shù)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊 使兩個(gè)方程中某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù) ①選準(zhǔn)消元對(duì)象：當(dāng)某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)或有倍數(shù)關(guān)系時(shí)，選擇消去該元較簡(jiǎn)單.②方程兩邊同乘某個(gè)數(shù)時(shí)不要漏乘 2 加減 當(dāng)同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等時(shí)，將兩個(gè)方程相減；當(dāng)同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，將兩個(gè)方程相加 消去一個(gè)未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程 盡量避免出現(xiàn)未知數(shù)的系數(shù)為負(fù)數(shù)的情況 3 解 解消元后得到的一元一次方程 求出一個(gè)未知數(shù) 4 回代 把求得的未知數(shù)的值代入方程組中的某個(gè)系數(shù)較簡(jiǎn)單的方程中 求出另一個(gè)未知數(shù) 求另一個(gè)未知數(shù)時(shí)選擇系數(shù)較為簡(jiǎn)單的方程 5 寫出解 把兩個(gè)未知數(shù)的值用大括號(hào)聯(lián)立起來 表示為 點(diǎn)撥 用加減消元法解二元一次方程組時(shí)，一般先把方程組整理成如的標(biāo)準(zhǔn)形式，再設(shè)法加減消元，這樣不易出錯(cuò). 知能解讀（四）三元一次方程組及其解法 （1）定義：含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫作三元一次方程組. （2）解法：解三元一次方程組的方法與解二元一次方程組類似，只是多用一次消元，它的基本思路是： （3）解三元一次方程組的一般步驟如下： ①把方程組中的一個(gè)方程分別與另外兩個(gè)方程組成兩組，用代入法或加減法消去這兩組中的同一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)含有另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組； ②解這個(gè)二元一次方程組； ③將所求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中含有第三個(gè)未知數(shù)的方程中，求得第三個(gè)未知數(shù)的值，從而求出原方程組的解. 注意 （1）要根據(jù)方程組的特點(diǎn)決定先消去哪個(gè)未知數(shù)；（2）原方程組的每個(gè)方程在求解過程中至少要用到一次. 知能解讀（五）實(shí)際問題與二元一次方程組 列二元一次方程組解應(yīng)用題的分析方法和解題步驟與列一元一次方程解應(yīng)用題類似，一般可按如下步驟進(jìn)行：實(shí)際問題方程（組）解答.具體步驟如下： （1）審題，弄清題目中所給出的相等關(guān)系及已知量、未知量； （2）設(shè)未知數(shù)，其方法通常有兩種：①直接設(shè)未知數(shù)，②間接設(shè)未知數(shù)，并用含未知數(shù)的代數(shù)式表示涉及的量； （3）找出能夠包含未知數(shù)的等量關(guān)系，一般情況下，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就需要找?guī)讉€(gè)等量關(guān)系； （4）列方程組,根據(jù)給定的相等關(guān)系建立方程組； （5）解方程組； （6）檢驗(yàn)并作答，所求方程組的解在正確的基礎(chǔ)上還要符合實(shí)際意義，并寫清單位名稱. 注意 列二元一次方程組解應(yīng)用題要比列一元一次方程解應(yīng)用題復(fù)雜，而且要求正確地分析出題目中所給的兩個(gè)等量關(guān)系，列出兩個(gè)方程. 方法技巧歸納 (一）二元一次方程的識(shí)別方法 判斷一個(gè)方程是二元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)有三個(gè)：一是整式方程；二是含有兩個(gè)未知數(shù)；三是含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，三者缺一不可. 注意 (1)二元一次方程中未知數(shù)共有兩個(gè)；（2)分母中不能出現(xiàn)未知數(shù)；（3)含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為1. 方法技巧（二）二元一次方程（組）的解的應(yīng)用方法 由二元一次方程(組）的解的定義，可知二元一次方程(組）的解一定滿足該方程（組），把它代入方程 (組），可求字母系數(shù)的取值.反過來，檢驗(yàn)方程組的解的方法是將一對(duì)數(shù)值分別代入方程組中的每個(gè)方程，只有這對(duì)數(shù)值滿足所有方程時(shí),才能說這對(duì)數(shù)值是此方程組的解.如果這對(duì)數(shù)值不滿足其中的某一個(gè)方程，那么它就不是此方程組的解. 點(diǎn)撥 已知二元一次方程組的解，求二元一次方程組中含有的某些字母的值，可把已知解代入方程組中，再解關(guān)于這個(gè)字母的方程（組）. 點(diǎn)撥 根據(jù)二元一次方程解的定義，把給定的方程的解代入，得到待求字母的方程（組），求解即可. 方法技巧（三）用代入法或加減法解二元一次方程組或三元一次方程組的規(guī)律技巧 運(yùn)用代入法解方程組的基本思路是：①當(dāng)方程組中存在用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)的方程時(shí)，可以直接應(yīng)用代入法；②若方程組中含有未知數(shù)的系數(shù)為1（或-1)的方程時(shí)，選擇這樣的方程變形比較簡(jiǎn)單；③若方程組中不含未知數(shù)的系數(shù)是1(或-1)的方程，則選擇未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值較小的方程變形比較簡(jiǎn)單. （2）加減法是通過“加減”達(dá)到消元目的的，解題時(shí)注意以下兩點(diǎn)：①當(dāng)方程組不能直接加減消元時(shí)，應(yīng)根據(jù)等式的性質(zhì)把方程兩邊同乘一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)，使方程組中的某一未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)，然后再進(jìn)行加減消元；②當(dāng)方程比較復(fù)雜時(shí)，要先將方程化簡(jiǎn)后再消元. 點(diǎn)撥 “代入消元法”與“加減消元法”是二元一次方程組的兩種解法，要根據(jù)方程組中各個(gè)未知數(shù)的系數(shù)靈活選擇法，消去系數(shù)簡(jiǎn)單的未知數(shù). 點(diǎn)撥 方程組中，有些方程得常數(shù)項(xiàng)相等或成倍數(shù)關(guān)系，可以用消常數(shù)項(xiàng)的方法，找出兩個(gè)未知數(shù)之間的關(guān)系. 點(diǎn)撥 利用加減法解三元一次方程組，觀察方程組的特征，先消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)二元一次方程組，再解這個(gè)二元一次方程組，最后求出第三個(gè)未知數(shù)的值. 方法技巧（四）求二元一次方程的整數(shù)解的方法 在求二元一次方程的特殊解時(shí)，一般先將原方程變形，用一個(gè)未知數(shù)表示出另一個(gè)未知數(shù)，然后將各種情況代入逐一討論. 點(diǎn)撥 通常情況下，求二元一次方程的特殊解需要分類討論，注意分類時(shí)要全面，不重復(fù)、不遺漏. 方法技巧（五）利用方程與方程組的解相同，求某個(gè)字母的值 點(diǎn)撥 這里利用了二元一次方程組的解與二元一次方程的解相同，用含的式子表示二元一次方程，組的解，再把的值代入二元一次方程，從而解決問題. 方法技巧（六）列二元一次方程組解應(yīng)用題得方法 （1）列二元一次方程組解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題的方法步驟類似，所不同的是：①弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系后，一般設(shè)兩個(gè)未知數(shù)；②找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的兩個(gè)等量關(guān)系，根據(jù)這兩個(gè)等量關(guān)系列方程.在解有關(guān)一次方程組的問題時(shí)，一般設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就需列幾個(gè)方程. （2）注意以下技巧：①善于把題中各個(gè)量之間的關(guān)系，用圖形(或表格）的形式表示出來，從而易于觀察得到等量關(guān)系；②分類型歸納思考：對(duì)常見類型的應(yīng)用題，為了迅速列方程，一方面需要熟知它們各自最簡(jiǎn)捷的列方程的思路；另一方面還要對(duì)其中有關(guān)量之間的運(yùn)算關(guān)系了如指掌. 1認(rèn)真審題、合理設(shè)元 審題與設(shè)元是列方程組解應(yīng)用題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，設(shè)元是否合理，直接關(guān)系到所列方程組的繁簡(jiǎn). 點(diǎn)撥 解法1是直接設(shè)未知數(shù)，解法2是間接設(shè)未知數(shù)，但就具體列方程組和解方程組而言，解法2較為合適，特別是解法1中的方程①極易出錯(cuò). 2借助表格，尋求等量關(guān)系的技巧 點(diǎn)撥 根據(jù)題意判斷出兩班作為一個(gè)團(tuán)體，總?cè)藬?shù)超過100人，根據(jù)單獨(dú)購票款和聯(lián)合購票款列出二元一次方程組是關(guān)鍵. 3借助線段圖示法，尋求等量關(guān)系 用同一直線上的線段表示應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)線段長(zhǎng)度的內(nèi)在聯(lián)系，找出等量關(guān)系，列出方程. 4借助圖形，分析數(shù)量關(guān)系 點(diǎn)撥 這是應(yīng)用二元一次方程組解決簡(jiǎn)單圖形的形狀、面積變化問題，是數(shù)與形結(jié)合的實(shí)例，借助圖形來分析數(shù)量關(guān)系，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種重要思想方法. 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 1.用加減法解方程組，將運(yùn)算符號(hào)與性質(zhì)符號(hào)混淆. 將兩個(gè)方程相減時(shí)，“減去一個(gè)數(shù)”應(yīng)該等于“加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)”.在解題時(shí)容易把性質(zhì)符號(hào)與運(yùn)算符號(hào)混淆. 2.列方程組解應(yīng)用題時(shí)，忽視實(shí)際問題的意義造成錯(cuò)誤. 3.解方程組時(shí)，在去分母過程中出現(xiàn)漏乘常數(shù)項(xiàng)的錯(cuò)誤. 4.解三元一次方程組時(shí)消元目標(biāo)不明確，導(dǎo)致第一次消元后還是含有三個(gè)未知數(shù). 易混易錯(cuò)（一）忽視“未知數(shù)系數(shù)不為零”的條件 易混易錯(cuò)（二）用加減法解方程組對(duì)易弄錯(cuò)符號(hào) 易混易錯(cuò)（三）列方程組解應(yīng)用題時(shí)單位不統(tǒng)一 易混易錯(cuò)（四）不能正確找出題中的等量關(guān)系 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講考點(diǎn)主要有二元一次方程組的解法及列方程組解應(yīng)用題，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是歷年來中考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，題型有填空題、選擇題和解答題.與社會(huì)有關(guān)的熱點(diǎn)問題是應(yīng)用題的命題重點(diǎn)，同時(shí)大了對(duì)方思想、轉(zhuǎn)化思想的考察. 中考試題（二）用代入消元法解方程 點(diǎn)撥 本題考查了二元一次方程組的解法，二元一次方程組是通過消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程來求解的，轉(zhuǎn)化的基本方法是代入消元法和加減消元法，求解時(shí)要根據(jù)方程組中的每個(gè)方程的未知數(shù)的系數(shù)的特點(diǎn)選擇合適的方法求解. 中考試題（三）方程組的解和解方程組的綜合應(yīng)用 中考試題（四）二元一次方程組中的新定義 點(diǎn)撥 本題以新定義運(yùn)算的形式出現(xiàn)，使簡(jiǎn)單問題新穎化，能很好地考查同學(xué)們的閱讀理解能力，新定義運(yùn)算的關(guān)鍵是把新定義運(yùn)算根據(jù)新定義運(yùn)算的法則轉(zhuǎn)化為我們熟悉的普通運(yùn)算求解.本題中新定義的實(shí)質(zhì)是解二元一次方程組，從而確定常數(shù)的值，最后轉(zhuǎn)化為求代數(shù)式的值. 中考試題（五）利用方程組解決實(shí)際問題