中考數學 第二單元 方程（組）與不等式（組）第6講 一元二次方程知識清單梳理 冀教版

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第6講 一元二次方程 一、 知識清單梳理 知識點一：一元二次方程及其解法 關鍵點撥及對應舉例 1. 一元二次方程的相關概念 (1)定義：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2 的整式方程． (2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分別叫做二次項、一次項、常數項，a、b、c分別稱為二次項系數、一次項系數、常數項． 例：方程是關于x的一元二次方程，則方程的根為－1. 2.一元二次方程的解法 （1）直接開平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接開平方求解. ( 2 )因式分解法：可化為（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解. ( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式為x=（b2-4ac≥0）. (4)配方法：當一元二次方程的二次項系數為1，一次項系數為偶數時，也可以考慮用配方法． 解一元二次方程時，注意觀察， 先特殊后一般，即先考慮能否用直接開平方法和因式分解法，不能用這兩種方法解時，再用公式法. 例：把方程x2+6x+3=0變形為(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6. 知識點二 ：一元二次方程根的判別式及根與系數的關系 3.根的判別式 (1)當Δ＝>0時，原方程有兩個不相等的實數根． (2)當Δ＝=0時，原方程有兩個相等的實數根． (3)當Δ＝<0時，原方程沒有實數根． 例：方程的判別式等于8，故該方程有兩個不相等的實數根；方程的判別式等于－8，故該方程沒有實數根. *4.根與系數的關系 （1）基本關系：若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個根分別為x1、x2,則x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意運用根與系數關系的前提條件是△≥0. （2）解題策略：已知一元二次方程，求關于方程兩根的代數式的值時，先把所求代數式變形為含有x1+x2、x1x2的式子，再運用根與系數的關系求解. 與一元二次方程兩根相關代數式的常見變形： (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,等. 失分點警示 在運用根與系數關系解題時，注意前提條件時△=b2-4ac≥0. 知識點三 ：一元二次方程的應用 4.列一元二次方程解應用題 （1）解題步驟：①審題；② 設未知數；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤檢驗根是否有意義；⑥作答． 運用一元二次方程解決實際問題時，方程一般有兩個實數根，則必須要根據題意檢驗根是否有意義. （2）應用模型：一元二次方程經常在增長率問題、面積問題等方面應用. ①平均增長率（降低率）問題：公式：b＝a(1x)n，a表示基數，x表示平均增長率（降低率），n表示變化的次數，b表示變化n次后的量； ②利潤問題：利潤=售價-成本；利潤率=利潤/成本100%； ③傳播、比賽問題： ④面積問題：a.直接利用相應圖形的面積公式列方程；b.將不規(guī)則圖形通過割補或平移形成規(guī)則圖形，運用面積之間的關系列方程.