九年級數(shù)學下冊 3_9 弧長及扇形的面積教案 （新版）北師大版

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3.9 弧長及扇形的面積 1．了解扇形的概念，理解n的圓心角所對的弧長和扇形面積的計算公式并熟練掌握它們的應用；(重點) 2．通過復習圓的周長、圓的面積公式，探索n的圓心角所對的弧長l＝和扇形面積S扇＝的計算公式，并應用這些公式解決一些問題．(難點) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境導入 如圖是圓弧形狀的鐵軌示意圖，其中鐵軌的半徑為100米，圓心角為90.你能求出這段鐵軌的長度嗎(π 取3.14)? 我們?nèi)菀卓闯鲞@段鐵軌是圓周長的，所以鐵軌的長度l≈＝157(米). 如果圓心角是任意的角度，如何計算它所對的弧長呢？ 二、合作探究 探究點一：弧長公式 【類型一】 求弧長 如圖，某廠生產(chǎn)橫截面直徑為7cm的圓柱形罐頭盒，需將“蘑菇罐頭”字樣貼在罐頭側(cè)面．為了獲得較佳視覺效果，字樣在罐頭盒側(cè)面所形成的弧的度數(shù)為90，則“蘑菇罐頭”字樣的長度為(　　) A.cm B.cm C.cm D．7πcm 解析：∵字樣在罐頭側(cè)面所形成的弧的度數(shù)為90，∴此弧所對的圓心角為90.由題意可得R＝cm，則“蘑菇罐頭”字樣的長＝ ＝(cm)．故選B. 方法總結(jié)：解答本題關鍵是根據(jù)題意得出圓心角及半徑，代入弧長公式進行計算． 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第1題 【類型二】 利用弧長公式求半徑或圓心角 (1)已知扇形的圓心角為45，弧長等于，則該扇形的半徑是________； (2)如果一個扇形的半徑是1，弧長是，那么此扇形的圓心角的大小為________． 解析：(1)若設扇形的半徑為R，則根據(jù)題意，得＝，解得R＝2；(2)根據(jù)弧長公式得＝，解得n＝60，故扇形圓心角的大小為60.故答案分別為2；60. 方法總結(jié)：逆用弧長的計算公式可求出相應扇形的圓心角和半徑． 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第2題與第4題 【類型三】 圓的切線與弧長公式的綜合 如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，點E在⊙O外，∠EAC＝∠D. (1)求證：AE是⊙O的切線； (2)當BC＝4，AB＝8時，求劣弧AC的長． 解析：(1)連接BC，由AB是⊙O的直徑，根據(jù)半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，可得∠ACB＝90，又由∠EAC＝∠D，則可得AE是⊙O的切線；(2)首先連接OC，易得∠ABC＝60，則可得∠AOC＝120，由弧長公式，即可求得劣弧AC的長． (1)證明：如圖，連接BC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠BAC＋∠ABC＝90.又∵∠EAC＝∠D，∠B＝∠D，∴∠BAC＋∠CAE＝90，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切線； (2)解：如圖，連接OC，∵△ABC是直角三角形，∴sin∠BAC＝＝＝，∴∠BAC＝30，∴∠ABC＝60，∴∠AOC＝120.∴劣弧AC的長＝＝. 方法總結(jié)：此題考查了切線的判定、圓周角定理以及弧長公式等知識．注意數(shù)形結(jié)合思想的應用，注意輔助線的作法． 探究點二：扇形的面積公式 【類型一】 求扇形面積 一個扇形的圓心角為120，半徑為3，則這個扇形的面積為________(結(jié)果保留π)． 解析：把圓心角和半徑代入扇形面積公式S＝＝＝3π.故答案為3π. 方法總結(jié)：公式中涉及三個字母，只要知道其中兩個，就可以求出第三個．扇形面積還有另外一種求法S＝lr，其中l(wèi)是弧長，r是半徑． 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第5題 【類型二】 求陰影部分的面積 如圖，扇形AOB中，半徑OA＝2，∠AOB＝120，C是的中點，連接AC、BC，則圖中陰影部分的面積是(　　) A.－2 B．2π－2 C.－ D.－ 解析：連接OC，過O作OM⊥AC于M，∵∠AOB＝120，C為中點，∴∠AOC＝∠BOC＝60.∵OA＝OC＝OB＝2，∴△AOC、△BOC是等邊三角形，∴AC＝BC＝OA＝2，AM＝1，∴△AOC的邊AC上的高OM＝＝，△BOC邊BC上的高為，∴陰影部分的面積是(－2)2＝－2.故選A. 方法總結(jié)：本題考查了扇形的面積、三角形的面積、等邊三角形的判定和性質(zhì)，解決此題要利用扇形的面積公式求出各部分的面積． 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第6題 【類型三】 求不規(guī)則圖形的面積 如圖，小方格都是邊長為1的正方形，則以格點為圓心，半徑為1和2的兩種弧圍成的“葉狀”陰影圖案的面積為(　　) A．4π－2 B．2π－2 C．4π－4 D．2π－4 解析：連接AB，由題意得陰影部分面積＝2(S扇形AOB－S△AOB)＝2(－22)＝2π－4.故選D. 方法總結(jié)：關鍵是需要同學們仔細觀察圖形，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和或差． 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第8題 三、板書設計 弧長及扇形的面積 1．弧長公式：l＝ 2．扇形的面積公式：S扇形＝＝ lR 本節(jié)課的授課思路是：復習圓周長公式，推出弧長公式，由圓面積公式類比導出扇形面積公式．使學生在經(jīng)歷數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展、形成的“再創(chuàng)造”活動中，獲取廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗，進而促進自身的主動發(fā)展.