高中數(shù)學 1_1 算法的含義學案 蘇教版必修31

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1.1　算法的含義 學習目標 重點難點 1．知道算法的含義和特征． 2．體會算法思想，會用自然語言敘述算法. 重點：會用自然語言敘述算法． 難點：了解算法的含義和特征，體會算法的思想. 1．算法的概念 一般而言，對一類問題的機械的、統(tǒng)一的求解方法稱為算法． 預習交流1 算法與數(shù)學問題的解法之間有怎樣的區(qū)別和聯(lián)系？ 提示：(1)區(qū)別：算法是解決某一類問題所需要的程序和步驟的統(tǒng)稱．它可以理解為數(shù)學中的“通法通解”；而解法是解決某一個具體問題的過程，是具體的解題過程． (2)聯(lián)系：它們是一般與特殊的關系，也是抽象與具體的關系．算法的獲取要借助一般意義上具體問題求解的方法，而任何一個具體問題都可利用這類問題的一般算法解決． 2．算法的特征 算法是指使用一系列運算規(guī)則能在有限步驟內(nèi)求解某類問題，其中的每條規(guī)則必須是明確定義的、可行的．算法從初始步驟開始，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，從而組成一個步驟序列，序列的終止表示問題得到解答或指出問題沒有解答． 預習交流2 求解某一類問題的算法一定是唯一的嗎？ 提示：不一定．因為一件事情往往不是只有一個解決方案，同樣，對于某一類問題，它的算法也可以是多樣的．如二元一次方程組的解法就有加減消元法和代入消元法兩種，因此求解此類問題的算法就不是唯一的． 預習交流3 (1)下面的結(jié)論正確的是__________．(填寫正確結(jié)論的序號) ①一個程序的算法步驟是可逆的；②一個算法可以無止境地運算下去；③完成一件事情的算法有且只有一種；④算法的步驟是有限的． 提示：由算法的概念及特征知①②③錯，④正確． (2)寫出解方程ax＋b＝0(a≠0)的一個算法的過程如下： 第一步　將不含x的常數(shù)項移到方程右邊，并改變常數(shù)項的符號； 第二步　__________. 提示：根據(jù)解一元一次方程的方法與步驟即可得到答案為方程兩邊同除以a. 一、算法的含義 下列關于算法的說法，正確的有__________． ①求解某一類問題的算法是唯一的；②算法必須在有限步驟操作之后停止；③算法的每一步操作必須是明確的，不能有歧義或模糊；④算法執(zhí)行后一定產(chǎn)生確定的結(jié)果． 思路分析：本題給出了有關算法的四種說法，找出其中正確的說法．解答時，要根據(jù)算法的概念和特征逐一判斷． 解析：由算法的概念和特征可知②③④正確，但解決某一類問題的算法不一定是唯一的，故①錯． 答案：②③④ 1．下列語句中是算法的有__________個． ①從濟南到巴黎，可以先乘火車到北京，再坐飛機抵達； ②利用公式S＝ah，計算底為1、高為2的三角形的面積； ③x＞2x＋4； ④求M(1,2)與N(－3，－5)兩點連線所在直線的方程，可先求直線MN的斜率，再利用點斜式求得方程． 答案：3 解析：因為算法是為解決某類問題而設計的一系列可操作或可計算的步驟，通過這些步驟能夠有效地解決問題，顯然四個語句中，①②④都是算法，③不是算法． 2．下列對算法的理解不正確的是__________． ①算法有一個共同特點就是對一類問題都有效(而不是個別問題) ②算法要求是一步步執(zhí)行，每一步都能得到唯一的結(jié)果 ③算法一般是機械的，有時要進行大量重復的計算，它的優(yōu)點是一種通法 ④解決某一個具體問題時，算法不同，結(jié)果不同 答案：④ 解析：根據(jù)算法的概念知①②③正確；④中解決某一個具體問題時，算法不同，但結(jié)果相同． 算法的主要特征： (1)有窮性：一個算法的步驟是有限的，它應在有限步操作之后停止，而不能是無限的． (2)確定性：算法的每一步應該是明確的，不能模棱兩可，即經(jīng)過一步操作后能得出確定的結(jié)果． (3)有序性：算法的步與步之間是環(huán)環(huán)相扣的，即“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的繼續(xù)． (4)不唯一性：對于同一個問題可以有不同的算法． 二、算法的設計 試設計一個算法，求底面邊長為4，側(cè)棱長為5的正四棱錐的體積． 思路分析：由底邊長可求底面積，由底面邊長及側(cè)棱長可求出正四棱錐的高，再由棱錐的體積公式求得體積．也可由高與側(cè)棱長、底面邊長的關系及底面積與底面邊長的關系，直接得到體積與底面邊長及側(cè)棱長的關系，從而直接求解． 解法一：第一步　取a=4，l=5； 第二步　計算； 第三步　計算； 第四步　計算S=a2； 第五步　計算V=Sh； 第六步　輸出運算結(jié)果． 解法二：第一步　取a=4，l=5； 第二步　計算V=a2； 第三步　輸出運算結(jié)果． 1．已知一個學生的語文成績是89，數(shù)學成績是96，外語成績是99，求他的總分和平均分的一個算法如下，請補充完整： 第一步　取A＝89，B＝96，C＝99； 第二步　計算總分S＝__________； 第三步　計算平均分M＝__________； 第四步　輸出S，M. 答案：A＋B＋C　 解析：總分S＝A＋B＋C，平均分M＝. 2．已知點P0(x0，y0)和直線l：Ax＋By＋C＝0，求點到直線距離的一個算法有如下幾步： ①輸入點的坐標x0，y0； ②計算z1＝Ax0＋By0＋C； ③計算z2＝A2＋B2； ④輸入直線方程的系數(shù)A，B和常數(shù)C； ⑤計算d＝； ⑥輸出d的值． 其正確的順序為__________． 答案：①④②③⑤⑥ 解析：利用點到直線的距離公式d＝即可得解． 3．試設計一個算法，求表面積為16π的球的體積． 解：第一步　取S＝16π； 第二步　計算R＝(S＝4πR2)； 第三步　計算V＝πR3； 第四步　輸出運算結(jié)果． (1)設計算法的步驟為：①認真分析問題，找出解決此問題的一般數(shù)學方法； ②借助有關的變量或參數(shù)對算法加以表述； ③將解決問題的過程劃分為若干步驟； ④用簡練的語言將各個步驟表示出來，即為該具體問題的算法． (2)設計算法要做到以下幾點：①寫出的算法必須能解決一類問題，并且能夠重復使用；②要使算法盡量簡單，步驟盡量少；③要保證算法正確，且計算機能夠執(zhí)行． 三、算法的應用 給出分段函數(shù)f(x)＝請設計算法，輸入任意非負實數(shù)x0，輸出相應的f(x0)的值． 思路分析：題中給出了分段函數(shù)的解析式，要求設計算法，給出任意非負實數(shù)x0時，求相應的函數(shù)值．設計算法時，應有輸入和輸出，并要對輸入的x0的值進行判斷． 解：第一步　輸入x0； 第二步　若x0＜0，輸出“輸入的數(shù)據(jù)有誤”，結(jié)束算法；否則執(zhí)行第三步； 第三步　若x0≥1，則y＝2x0；否則，y＝x＋1； 第四步　輸出y的值，結(jié)束算法． 1．寫出求過兩點M(－2，－1)，N(2,3)的直線與坐標軸圍成的三角形的面積的一個算法． 解：第一步　取x1＝－2，y1＝－1，x2＝2，y2＝3； 第二步　計算＝； 第三步　在第二步結(jié)果中令x＝0得到y(tǒng)的值m，得直線與y軸交點(0，m)； 第四步　在第二步結(jié)果中令y＝0得到x的值n，得直線與x軸交點(n,0)； 第五步　計算S＝|m||n|； 第六步　輸出運算結(jié)果S的值． 2．給出一個判斷點P(x0，y0)是否在直線y＝x－1上的一個算法． 解：第一步　將點P(x0，y0)的坐標代入y＝x－1； 第二步　若等式成立，則輸出“點P(x0，y0)在直線y＝x－1上”；若等式不成立，則輸出“點P(x0，y0)不在直線y＝x－1上”，結(jié)束算法． (1)輸入自變量的值，設計算法求對應的函數(shù)值時，如果是分段函數(shù)，那么在設計算法時，要對輸入的自變量的值根據(jù)已知條件去判斷，分類求值． (2)算法是解決某一類問題的步驟，要善于從特殊問題的解決方法中總結(jié)、歸納出一般問題的解決方法及步驟．通過解決具體的實際問題提高分析、解決問題的能力． 1．下列說法正確的個數(shù)是__________． ①整數(shù)的加法運算法則是一個算法；②發(fā)電子郵件的操作程序是一個算法；③從徐州乘火車到南京，從南京坐飛機到海南是一個算法；④求所有能被3整除的正數(shù)，即3,6,9,12，…是一個算法． 答案：3 解析：①②③正確．由算法的有窮性知④不正確． 2．對于算法： 第一步　輸入n； 第二步　判斷n是否等于2，若n＝2，則n滿足條件；若n＞2，則執(zhí)行第三步； 第三步　依次從2到n－1檢驗能不能整除n，若不能整除n，則執(zhí)行第四步；若能整除n，則執(zhí)行第五步； 第四步　輸出n； 第五步　結(jié)束． 滿足條件的n是__________．(填序號) ①質(zhì)數(shù)　②奇數(shù)?、叟紨?shù)?、芗s數(shù) 答案：① 解析：這個算法通過對2到n－1逐個驗證，看是否有其他約數(shù)，依此來判斷其是否為質(zhì)數(shù)． 3．早上從起床到出門需要洗臉刷牙(5 min)、刷水壺(2 min)、燒水(8 min)、泡面(3 min)、吃飯(10 min)、聽廣播(8 min)這幾個步驟．下列選項中最好的一種算法是__________(填序號)． ①S1洗臉刷牙、S2刷水壺、S3燒水、S4泡面、S5吃飯、S6聽廣播． ②S1刷水壺、S2燒水同時洗臉刷牙、S3泡面、S4吃飯、S5聽廣播． ③S1刷水壺、S2燒水同時洗臉刷牙、S3泡面、S4吃飯同時聽廣播． ④S1吃飯同時聽廣播、S2泡面、S3燒水同時洗臉刷牙、S4刷水壺． 答案：③ 解析：可按兩個原則：一是合理，二是節(jié)約時間，不難看出③是最合適的． 4．寫出求解方程組的一個算法． 解：用消元法，算法步驟如下： 第一步　方程①不動，將方程②中x的系數(shù)除以方程①中x的系數(shù)，得到乘數(shù)m＝＝2； 第二步　方程②減去m乘以方程①，消去方程②中的x項，得到 第三步　將第二步得到的方程組自下而上回代求解，得到y(tǒng)＝1，x＝2.所以原方程組的解為