高中數(shù)學(xué) 4_2 曲線的極坐標(biāo)方程 4 直線和圓的極坐標(biāo)方程學(xué)業(yè)分層測評 蘇教版選修4-4

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【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 4.2 曲線的極坐標(biāo)方程 4 直線和圓的極坐標(biāo)方程學(xué)業(yè)分層測評 蘇教版選修4-4 (建議用時(shí)：45分鐘) 學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 1．將下列曲線的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程： (1)射線y＝x(x≤0)； (2)圓x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)． 【解】　(1)將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝x， 得ρsin θ＝ρcos θ， ∴tan θ＝，∴θ＝或θ＝. 又x≤0，∴ρcos θ≤0，∴θ＝， ∴射線y＝x(x≤0)的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ≥0)． (2)將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＋2ax＝0，得 ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcos θ＝0， 即ρ(ρ＋2acos θ)＝0， ∴ρ＝－2acos θ， ∴圓x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的極坐標(biāo)方程為 ρ＝－2acos θ. 2．分別將下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程： (1)ρ＝；(2)ρ2＝tan θ. 【解】　(1)由ρcos θ＝5，得x＝5. (2)x2＋y2＝(x≠0)，即x(x2＋y2)－y＝0(x≠0)．又在極坐標(biāo)方程ρ2＝tan θ中，極點(diǎn)(0,0)也滿足方程，即曲線過原點(diǎn)，所以直角坐標(biāo)方程是x(x2＋y2)－y＝0. 3．已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝6cos θ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，曲線C1，C2相交于A，B兩點(diǎn)． (1)把曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程； (2)求弦AB的長度． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：98990011】 【解】　(1)曲線C2：θ＝(ρ∈R)表示直線y＝x； 曲線C1：ρ＝6cos θ化為直角坐標(biāo)方程，即x2＋y2＝6x，即(x－3)2＋y2＝9. (2)因?yàn)閳A心C1(3,0)到直線的距離d＝，r＝3，所以弦長AB＝3. 4．求點(diǎn)A到直線l：ρsin＝－2的距離． 【解】　A(2，)的直角坐標(biāo)為(1，)， l：ρsin(θ－)＝－2，ρ(sin θ－cos θ)＝－2. 即： x－y－4＝0. 故A(1，)到l：x－y－4＝0的距離為＝3. 5．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos＝1，M、N分別為C與x軸，y軸的交點(diǎn)． (1)寫出C的直角坐標(biāo)方程，并求M、N的極坐標(biāo)； (2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程． 【解】　(1)由ρcos(θ－)＝1得ρ(cos θ＋sin θ)＝1， 即x＋y＝2， 當(dāng)θ＝0時(shí)，ρ＝2，所以M(2,0)． 當(dāng)θ＝時(shí)，ρ＝，所以N(，)． (2)∵M(jìn)的直角坐標(biāo)為(2,0)， N的直角坐標(biāo)為(0，)． ∴P的直角坐標(biāo)為(1，)， P的極坐標(biāo)為(，)． 所以直線OP的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)． 6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(3,0)，P是圓x2＋y2＝1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠AOP的平分線交PA于Q點(diǎn)，求Q點(diǎn)的軌跡方程． 【解】　以圓心O為極點(diǎn)，x軸正方向?yàn)闃O軸，建立極坐標(biāo)系，設(shè)Q(ρ，θ)，P(1,2θ)． 因?yàn)镾△OAQ＋S△OQP＝S△OAP. 即3ρsin θ＋1ρsin θ ＝31sin 2θ. 整理得：ρ＝cos θ. 7．在極坐標(biāo)系中，圓C：ρ＝10cos θ和直線l：3ρcos θ－4ρsin θ－30＝0相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長． 【解】　分別將圓C和直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：圓C：x2＋y2＝10x，即(x－5)2＋y2＝25，圓心C(5,0)； 直線l：3x－4y－30＝0，因?yàn)閳A心C到直線l的距離d＝＝3，所以AB＝2＝8. 能力提升] 8．在極坐標(biāo)系中，P是曲線ρ＝12sin θ上的動(dòng)點(diǎn)，Q是曲線ρ＝12cos上的動(dòng)點(diǎn)，試求PQ的最大值． 【解】　∵ρ＝12sin θ， ∴ρ2＝12ρsin θ， ∴x2＋y2－12y＝0， 即x2＋(y－6)2＝36. 又∵ρ＝12cos(θ－)， ∴ρ2＝12ρ(cos θcos＋sin θsin)， ∴x2＋y2－6x－6y＝0， ∴(x－3)2＋(y－3)2＝36. ∴PQ的最大值為6＋6＋＝18.