高中數學 4_4 參數方程 10 參數方程與普通方程的互化學業(yè)分層測評 蘇教版選修4-4

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【課堂新坐標】2016-2017學年高中數學 4.4 參數方程 10 參數方程與普通方程的互化學業(yè)分層測評 蘇教版選修4-4 (建議用時：45分鐘) 學業(yè)達標] 1．將下列參數方程化為普通方程： (1)(θ為參數，a、b為常數，且a＞b＞0)； (2)(t為參數，p為正常數)． 【解】　(1)由cos2θ＋sin2θ＝1，得＋＝1， 這是一個長軸長為2a，短軸長為2b，中心在原點的橢圓． (2)由已知t＝，代入x＝2pt2得2p＝x， 即y2＝2px， 這是一條拋物線． 2．已知拋物線C的參數方程為(t為參數)．若斜率為1的直線經過拋物線C的焦點，且與圓(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)相切，求r的值． 【解】　由得y2＝8x，拋物線C的焦點坐標為F(2,0)，直線方程為y＝x－2，即x－y－2＝0.因為直線y＝x－2與圓(x－4)2＋y2＝r2相切，由題意得r＝＝. 3．若直線(t為參數)與直線4x＋ky＝1垂直，求常數k的值． 【解】　將化為普通方程為 y＝－x＋，斜率k1＝－， 當k≠0時，直線4x＋ky＝1的斜率k2＝－， 由k1k2＝(－)(－)＝－1得k＝－6； 當k＝0時，直線y＝－x＋與直線4x＝1不垂直．綜上可知，k＝－6. 4．過橢圓＋＝1內一定點P(1,0)作弦，求弦的中點的軌跡． 【解】　設弦的兩端點A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為M(x，y)．當AB與x軸不垂直時，設AB的方程為y＝k(x－1)，代入方程＋＝1，得(9k2＋4)x2－18k2x＋9k2－36＝0.由根與系數的關系，得x1＋x2＝， 所以∴＝－k， 即k＝－，代入y＝k(x－1)中，得4x2＋9y2－4x＝0，即＋＝1.① 當AB⊥Ox軸時，線段AB的中點為(1,0)，該點的坐標滿足方程①，所以所求的軌跡方程為＋＝1.點M的軌跡是以O、P為長軸端點且離心率與原橢圓相同的一個橢圓． 5．已知某條曲線C的參數方程為(其中t是參數，α∈R)，點M(5,4)在該曲線上， (1)求常數a； (2)求曲線C的普通方程． 【解】　(1)由題意，可知故 所以a＝1. (2)由已知及(1)得， 曲線C的方程為 由①得t＝，代入②得y＝()2， 即(x－1)2＝4y為所求． 6．已知極坐標系的極點O與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C1：ρcos＝2與曲線C2：(t∈R)交于A、B兩點．求證：OA⊥OB. 【導學號：98990031】 【證明】　曲線C1的直角坐標方程為x－y＝4，曲線C2的直角坐標方程是拋物線y2＝4x. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，將這兩個方程聯(lián)立，消去x， 得y2－4y－16＝0?y1y2＝－16，y1＋y2＝4. ∴x1x2＋y1y2＝(y1＋4)(y2＋4)＋y1y2＝2y1y2＋4(y1＋y2)＋16＝0，∴＝0，∴OA⊥OB. 7．設點M(x，y)在圓x2＋y2＝1上移動，求點P(x＋y，xy)的軌跡． 【解】　設點M(cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，點P(x′，y′)，則 ①2－2②，得x′2－2y′＝1，即x′2＝2(y′＋)， ∴所求點P的軌跡方程為x2＝2(y＋)(|x|≤，|y|≤)．它是頂點為(0，－)，開口向上的拋物線的一部分． 能力提升] 8．在平面直角坐標系xOy中，求圓C的參數方程為(θ為參數，r＞0)，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos(θ＋)＝2.若直線l與圓C相切，求r的值． 【解】　將直線l的極坐標方程化為直角坐標方程得：x－y－4＝0， 將圓C的參數方程化為普通方程得：(x＋1)2＋y2＝r2， 由題設知：圓心C(－1,0)到直線l的距離為r，即r＝＝， 即r的值為.