高中數(shù)學 第一章 統(tǒng)計 1_5_2 估計總體的數(shù)字特征同步訓練 北師大版必修31

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5.2　估計總體的數(shù)字特征 1．可以描述總體穩(wěn)定性的統(tǒng)計量是(　　) A．樣本平均數(shù)　　　　　B．樣本中位數(shù) C．樣本方差s2 D．樣本最大值 2．下列數(shù)字特征一定是數(shù)據(jù)組中數(shù)據(jù)的是…(　　) A．眾數(shù) B．中位數(shù) C．標準差 D．平均數(shù) 3．在統(tǒng)計中，樣本的標準差可以近似地反映(　　) A．平均狀態(tài) B．波動大小 C．分布規(guī)律 D．最大值和最小值 4．某高校有甲、乙兩個數(shù)學建模興趣班，其中甲班40人，乙班50人，現(xiàn)分析兩個班的一次考試成績，算得甲班的平均成績是90分，乙班的平均成績是81分，則該校數(shù)學建模興趣班的平均成績是分． 5．已知總體的各個體的值由小到大依次為2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且總體的中位數(shù)為10.5，若要使該總體的方差最小，則a、b的取值分別是______、______. 答案：1.C 2．A　根據(jù)各數(shù)字特征的意義可知唯有眾數(shù)一定是原數(shù)據(jù)中的數(shù)． 3．B　由定義知，數(shù)據(jù)的標準差反映數(shù)據(jù)的波動大小． 4．85　由題意知，所求平均成績?yōu)椋? ＝85(分)． 5．10.5　10.5　∵總體的個體數(shù)是10，且中位數(shù)是10.5，∴＝10.5，即a＋b＝21，∴總體的平均數(shù)為10.要使總體的方差最小，只要(a－10)2＋(b－10)2最小，即(a－10)2＋(b－10)2＝(a－10)2＋(21－a－10)2＝2a2－42a＋221＝2(a－)2＋，∴當a＝＝10.5時，上式取最小值，此時b＝21－a＝10.5. 1．與總體單位不一致的是(　　) A．s2　　 　　B．s C.　 　　　D．x1 2．下列敘述不正確的是(　　) A．樣本均值可以近似地描述總體的平均水平 B．極差描述了一個樣本數(shù)據(jù)變化的幅度 C．樣本標準差描述了一組樣本數(shù)據(jù)圍繞樣本均值波動的大小 D．一個班級的數(shù)學成績的方差越大說明成績越穩(wěn)定 3．(2009四川高考，文5)設矩形的長為a，寬為b，其比滿足b∶a＝≈0.618，這種矩形給人以美感，稱為黃金矩形．黃金矩形常應用于工藝品設計中，下面是某工藝品廠隨機抽取兩個批次的初加工矩形寬度與長度的比值樣本： 甲批次：0.598　0.625　0.628　0.595　0.639 乙批次：0.618　0.613　0.592　0.622　0.620 根據(jù)上述兩個樣本來估計兩個批次的總體平均數(shù)，與標準值0.618比較，正確的結論是…(　　) A．甲批次的總體平均數(shù)與標準值更接近 B．乙批次的總體平均數(shù)與標準值更接近 C．兩個批次總體平均數(shù)與標準值接近程度相同 D．兩個批次總體平均數(shù)與標準值接近程度不能確定 4．一組觀察值為4、3、5、6出現(xiàn)的次數(shù)分別為3、2、4、2，則樣本均值為(　　) A．4.55 　 　B．4.5 　 　C．12.5 　 　D．1.64 5．從某項綜合能力測試中抽取100人的成績統(tǒng)計如下表，則這100人成績的標準差為(　　) 分數(shù) 5 4 3 2 1 人數(shù) 20 10 30 30 10 A. B. C．3 D. 6．在一次數(shù)據(jù)測量中，計算出18個數(shù)據(jù)的樣本均值為50，但是后來發(fā)現(xiàn)其中一個數(shù)據(jù)應是86，被誤記為68，那么這18個數(shù)據(jù)的正確的樣本均值應該是． 7．從一批棉花中抽取9根棉花的纖維，長度如下：(單位：mm) 82,202,352,321,25,293,86,206,115. 求樣本均值、樣本方差和樣本標準差． 8．甲、乙兩臺機床同時加工直徑100毫米的零件，為了檢驗產品質量，從產品中各隨機抽出6件進行測量，測得數(shù)據(jù)如下(單位：毫米)： 甲：99,100,98,100,100,103； 乙：99,100,102,99,100,100. (1)分別計算上述兩組數(shù)據(jù)的平均值與標準差； (2)根據(jù)(1)的計算結果，說明哪一臺機床加工的這種零件更符合要求． 答案：1．A　方差的單位是原始數(shù)據(jù)單位的平方，所以與總體單位不一致． 2．D　方差越大，說明成績越不穩(wěn)定，所以D項錯． 3．A　∵甲＝(0.598＋0.625＋0.628＋0.595＋0.639)＝0.617， 乙＝(0.618＋0.613＋0.592＋0.622＋0.620)＝0.613， ∴甲更接近0.618.∴選A. 4．A　＝＝≈4.55. 5．B　這100人成績的平均數(shù)為 ＝＝3， 方差為[(5－3)220＋(4－3)210＋(3－3)230＋(2－3)230＋(1－3)210]＝， ∴標準差為＝. 6．51　根據(jù)條件易知，實際18個數(shù)據(jù)的總和應該是：5018＋(86－68)＝918，根據(jù)平均數(shù)的計算方法可得這組數(shù)據(jù)實際的均值應該是＝51. 7．解：樣本均值＝(82＋202＋352＋321＋25＋293＋86＋206＋115)≈186.9(mm)． 樣本方差s2≈[(82－186.9)2＋(202－186.9)2＋…＋(115－186.9)2]≈12 184.1(mm2)． 樣本標準差s＝≈110.4(mm)． 8．解：(1)甲＝100＋(－1＋0－2＋0＋0＋3)＝100；乙＝100＋(－1＋0＋2－1＋0＋0)＝100. s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)22＋(103－100)2] ＝[(－1)2＋02＋(－2)2＋02＋02＋32]＝， s＝[(99－100)2＋(100－100)23＋(102－100)2＋(99－100)2] ＝[(－1)2＋02＋22＋(－1)2＋02＋02]＝1. ∴s甲＝，s乙＝1，即這兩組數(shù)據(jù)的平均值都是100，標準差分別為與1. (2)由(1)知，甲＝乙，s甲＞s乙，∴乙機床加工的這種零件更符合要求． 1．為了解我國13歲男孩的平均身高，從北方抽取了300個男孩，平均身高1.60 m；從南方抽取了200個男孩，平均身高1.50 m，由此可推斷我國13歲男孩的平均身高為(　　) A．1.54 m B．1.55 m C．1.56 m D．1.57 m 答案：C　＝＝1.56. 2.兩個樣本，甲：5,4,3,2,1；乙：4,0,2,1，－2.那么樣本甲和樣本乙的波動大小情況是(　　) A．甲、乙的波動大小一樣 B．甲的波動比乙的波動大 C．乙的波動比甲的波動大 D．甲、乙的波動大小無法比較 答案：C　平均數(shù)：甲＝(5＋4＋3＋2＋1)＝3，乙＝(4＋0＋2＋1－2)＝1； 方差為s＝[(5－3)2＋(4－3)2＋…＋(1－3)2]＝2，∴s甲＝. s＝[(4－1)2＋(0－1)2＋…＋(－2－1)2]＝4，∴s乙＝2.∴s甲＜s乙．∴乙的波動比甲大． 3．從總體中抽取的樣本數(shù)據(jù)有m個a，n個b，p個c，則總體的平均數(shù)μ的估計值為(　　) A. B. C. D. 答案：D　樣本均值＝，把它作為總體均值的估計 4．(易錯題)設有n個樣本數(shù)據(jù)x1、x2、…、xn，其標準差為sx，另有n個樣本數(shù)據(jù)y1、y2、…、yn，且yk＝3xk＋5(k＝1,2，…，n)，其中標準差為sy，則下列關系正確的是(　　) A．sy＝3sx＋5 B．sy＝3sx C．sy＝sx D．sy＝sx＋5 答案：B　設x1、x2、…、xn的平均數(shù)為，y1、y2、y3、…、yn的平均數(shù)為，則＝＝ ＝＝3＋5， ∴s＝[(3x1＋5－3－5)2＋(3x2＋5－3－5)2＋…＋(3xn＋5－3－5)2]n ＝ ＝9s. ∴sy＝3sx. 點評：對于求樣本均值與樣本標準差的問題，若給出具體數(shù)值，可直接應用公式代入數(shù)據(jù)運算，或用計算器計算，還較容易些．若用字母符號代替數(shù)值，去推導某結論，則顯得繁瑣且難度較大，易出錯．本題條件中所給字母較多，要弄清兩組數(shù)據(jù)標準差的關系，必須正確運用條件及公式進行數(shù)式運算，推出結論．本題很容易由條件yk＝3xk＋5(k＝1,2,3，…，n)而誤選A項，這是常見錯誤，應引以為戒． 5．一個樣本方差是s2＝[(x1－15)2＋(x2－15)2＋…＋(x10－15)2]，則這個樣本均值＝______，樣本容量是______． 答案：15　10　由方差公式知，樣本容量n＝10，均值 ＝15. 6．在一次京劇電視比賽中，11個評委給現(xiàn)場每一個演員評分，并將11個評委的評分的平均數(shù)作為該演員的實際得分．對于某個演員的表演，4個評委給他評10分，7個評委給他評9分，那么這個演員的實際得分是______．(精確到小數(shù)點后兩位) 答案：9.36　實際得分為＝≈9.36. 7．若a1，a2，…，a20這20個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為0.20，則a1，a2，…，a20，這21個數(shù)據(jù)的方差約為______． 答案：0.19　由題意得：[(a1－)2＋(a2－)2＋…＋(a20－)2]＝0.20， ∴(a1－)2＋(a2－)2＋…＋(a20－)2＝4，且a1＋a2＋…＋a20＝20， ∴＝＝，即a1，a2，…，a20，這21個數(shù)據(jù)的平均數(shù)也是. ∴這21個數(shù)據(jù)的方差是s2＝[4＋(－)2]＝≈0.19. 8．(2009海南、寧夏高考，文19)某工廠有工人1 000名，其中250名工人參加過短期培訓(稱為A類工人)，另外750名工人參加過長期培訓(稱為B類工人)．現(xiàn)用分層抽樣方法(按A類，B類分二層)從該工廠的工人中共抽查100名工人，調查他們的生產能力(生產能力指一天加工的零件數(shù))． (1)A類工人中和B類工人中各抽查多少工人？ (2)從A類工人中的抽查結果和從B類工人中的抽查結果分別如表1和表2所示． 表1： 生產能 力分組 [100，110) [110，120) [120，130) [130，140) [140，150) 人數(shù) 4 8 x 5 3 表2： 生產能 力分組 [110,120) [120,130) [130,140) [140,150) 人數(shù) 6 y 36 18 ①先確定x，y，再完成下列頻率分布直方圖．就生產能力而言，A類工人中個體間的差異程度與B類工人中個體間的差異程度哪個更??？(不用計算，可通過觀察直方圖直接回答結論) 圖1　A類工人生產能力的頻率分布直方圖 圖2　B類工人生產能力的頻率分布直方圖 ②分別估計A類工人和B類工人生產能力的平均數(shù)，并估計該工廠工人的生產能力的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)． 解：(1)A類工人中和B類工人中分別抽查25名和75名． (2)①由4＋8＋x＋5＋3＝25，得x＝5， 6＋y＋36＋18＝75，得y＝15. 頻率分布直方圖如下 圖1　A類工人生產能力的頻率分布直方圖 圖2　B類工人生產能力的頻率分布直方圖 從直方圖可以判斷：B類工人中個體間的差異程度更小． ②A＝105＋115＋125＋135＋145＝123， B＝115＋125＋135＋145＝133.8， ＝123＋133.8＝131.1， A類工人生產能力的平均數(shù)，B類工人生產能力的平均數(shù)以及全廠工人生產能力的平均數(shù)的估計值分別為123,133.8和131.1.