高中數學 第2章 圓錐曲線與方程 2_2 拋物線的簡單性質課后演練提升 北師大版選修1-1

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2016-2017學年高中數學 第2章 圓錐曲線與方程 2.2 拋物線的簡單性質課后演練提升 北師大版選修1-1 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．頂點在原點，對稱軸是y軸，并且頂點與焦點的距離等于3的拋物線的標準方程(　　) A．x2＝3y　　　　　　 B．y2＝6x C．x2＝12y D．x2＝6y 解析：　由頂點與焦點的距離等于3，所以＝3，p＝6.又因為對稱軸是y軸，所以選C. 答案：　C 2．設拋物線的頂點在原點，焦點F在y軸上，拋物線上的點(k，－2)與F的距離為4，則k的值為(　　) A．4 B．－2 C．4或－4 D．2或－2 解析：　由題意知拋物線方程可設為x2＝－2py(p>0)， 則＋2＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y，將(k，－2)代入得k＝4. 答案：　C 3．過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于(　　) A．10 B．8 C．6 D．4 解析：　因AB線段過焦點F，則|AB|＝|AF|＋|BF|. 又由拋物線的定義知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1， 故|AB|＝x1＋x2＋2＝8. 答案：　B 4．以拋物線y2＝2px(p>0)的焦半徑為直徑的圓與y軸的位置關系是(　　) A．相交 B．相離 C．相切 D．不確定 解析：　如圖，取AF中點C，作CN⊥y軸，AM⊥y軸，可得|CN|＝|AF|. 故選C. 答案：　C 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．拋物線y2＝16x上一點P到x軸的距離為12，則點P與焦點F間的距離|PF|＝________. 解析：　由于點P到x軸的距離為12， 可知點P的縱坐標為12， ∴點P的橫坐標x＝＝＝9. 由拋物線的定義知|PF|＝x＋＝9＋4＝13. 答案：　13 6．過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F作傾斜角為45的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的長為8，則p＝________. 解析：　設A、B兩點的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)， 則x1＋x2＋p＝8. 設直線AB的方程為y＝x－， 聯立y2＝2px，得x2－3px＋＝0， ∴x1＋x2＝3p.∴3p＋p＝8，即p＝2. 答案：　2 三、解答題(每小題10分，共20分) 7．正三角形AOB的兩個頂點在拋物線y2＝2px(p＞0)上．若S△OAB＝36，試確定拋物線的方程． 解析：　由于正△AOB的A、B兩點在拋物線y2＝2px上，依對稱性知∠AOX＝30，其中X為線段AB與x軸的交點．設OA所在直線方程為y＝x. 方法一：聯立得A(6p,2p)，B(6p，－2p)． 則|AB|＝4p. 由S△AOB＝(4p)2＝12p2＝36， 得p2＝3，p＝. 故拋物線的方程為y2＝2x. 方法二：設|OA|＝a，由S△AOB＝a2＝36知a＝12. 即|OA|＝＝＝12， 得x＝6，y＝(6)＝6. 由于A(x，y)在拋物線y2＝2px(p＞0)上，所以A(6，6)． 由點A(6，6)在y2＝2px上得p＝. 故拋物線的方程為y2＝2x. 8.已知直線l經過拋物線y2＝4x的焦點F，且與拋物線相交于A、B兩點． (1)若|AF|＝4，求點A的坐標； (2)求線段AB的長的最小值． 解析：　拋物線y2＝4x的焦點F(1,0)，準線為x＝－1. (1)設A(x0，y0)，則|AF|＝|x0＋1|＝4， ∴x0＝3， ∴y0＝2， ∴A(3，2)． (2)當直線l的斜率不存在時，|AB|＝4，當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝k(x－1)， 由，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 易知k≠0，令A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴x1＋x2＝， ∴|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋＞4， 綜上所述，|AB|≥4， 即線段AB長的最小值為4. ☆☆☆ 9．(10分)給定拋物線C：y2＝4x，F是拋物線C的焦點，過F的直線l與C相交于A，B兩點． (1)設直線l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程； (2)若|FA|＝2|BF|，求直線l的方程． 解析：　(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)， AB中點M(x0，y0)，l：y＝x－1， 聯立，消去y得x2－6x＋1＝0， ∴x0＝＝3，y0＝x0－1＝2， 故圓心M(3,2)， 半徑＝＝4， 從而以AB為直徑的圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16. (2)顯然直線l的斜率存在，故可設直線l：y＝k(x－1)， 聯立，消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 則x1x2＝1，故x1＝.① 又|FA|＝2|BF|， ∴＝2，則 x1－1＝2(1－x2)．② 由①②得x2＝(x2＝1舍去)， 所以B，得直線l的斜率為k＝kBF＝2， ∴直線l的方程為y＝2(x－1)．