高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 3 綜合法與分析法 3_2 分析法課后演練提升 北師大版選修1-2

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2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 3 綜合法與分析法 3.2 分析法課后演練提升 北師大版選修1-2 一、選擇題 1．要證明＋＜2可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是(　　) A．綜合法　　　　　　　 B．分析法 C．類比法 D．歸納法 解析：　要證明＋＜2， 只需證＋＜＋. 兩邊平方有10＋2＜10＋10. 即只要證2＜10. 再兩邊平方有84＜100成立． 故＋＜2成立． 由證明過程可知分析法最合理． 答案：　B 2．如果a、b都是非零實(shí)數(shù)，則下列不等式不恒成立的是(　　) A．|a＋b|－|b|≤|a|　　 B．2≤|a＋b|(ab＞0) C．|a－b|≥|b|－|a| D．|a＋b|≥a－b 解析：　A中，|a|＝|(a＋b)－b|≥|a＋b|－|b|成立； B中，要使2≤|a＋b|成立，只需4ab≤a2＋2ab＋b2， 即(a－b)2≥0成立，∴B中不等式恒成立； C中，|a－b|≥|b|－|a|成立； 但D中不一定恒成立，當(dāng)a≤b時(shí)顯然成立， 當(dāng)a＞b時(shí)，要使|a＋b|≥a－b成立，只需使(a＋b)2≥(a－b)2即4ab≥0成立，但a＞b不一定有ab≥0成立，所以D中不等式不恒成立． 答案：　D 3．設(shè)正數(shù)a、b、c、d滿足a＋d＝b＋c，且|a－d|＜|b－c|，則(　　) A．a(chǎn)d＝bc B．a(chǎn)d＜bc C．a(chǎn)d＞bc D．a(chǎn)d≤bc 解析：　|a－d|＜|b－c|，∴|a－d|2＜|b－c|2， 即a2＋d2－2ad＜b2＋c2－2bc. ∵a＋d＝b＋c， ∴(a＋d)2＝(b＋c)2 ∴a2＋d2＋2ad＝b2＋c2＋2bc. ∴－4ad＜－4bc.∴ad＞bc. 答案：　C 4．已知a，b為非零實(shí)數(shù)，則使不等式：＋≤－2成立的一個(gè)充分不必要條件是(　　) A．a(chǎn)b＞0 B．a(chǎn)b＜0 C．a(chǎn)＞0，b＜0 D．a(chǎn)＞0，b＞0 解析：　∵與同號(hào)，由＋≤－2，知＜0，＜0，即ab＜0.又若ab＜0，則＜0，＜0. ∴＋＝－ ≤－2＝－2， 綜上，ab＜0是＋≤－2的充要條件， ∴a＞0，b＜0是＋≤－2的一個(gè)充分而不必要條件． 答案：　C 二、填空題 5．如右圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的側(cè)棱垂直于底面，滿足____________________時(shí)，BD⊥A1C.(寫出一個(gè)條件即可)． 解析：　欲使BD⊥A1C， 只需BD⊥面A1ACC1， ∴可填條件：BD⊥AC或ABCD為菱形(正方形)等． 答案：　BD⊥AC(不唯一) 6．如果a＋b＞a＋b，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件是__________________． 解析：　a＋b＞a＋b ?a－a＞b－b ?a(－)＞b(－) ?(a－b)(－)＞0 ?(＋)(－)2＞0， 只需a≠b且a，b都不小于零即可． 答案：　a≥0，b≥0且a≠b 三、解答題 7．已知a>6，求證：－<－. 證明：　證法一：要證－<－， 只需證＋<＋ ?(＋)2<(＋)2， ?2a－9＋2<2a－9＋2 ?<， ?(a－3)(a－6)<(a－5)(a－4)， ?18<20 因?yàn)?8<20顯然成立， 所以原不等式－<－成立． 證法二：要證－<－， 只需證<， 只需證＋>＋. ∵a>6，∴a－3>0，a－4>0，a－5>0，a－6>0. 又∵a－3>a－5，∴>. 同樣有>， 則＋>＋. ∴－<－. 8．已知a，b是正實(shí)數(shù)，求證：＋≥＋. 證明：　證法一(比較法)： ∵＋－－ ＝＋＝ ＝≥0， ∴＋≥＋. 證法二(分析法)： 要證＋≥＋， 只要證：a＋b≥(＋)． 即證(a＋b－)(＋)≥(＋)． 即證a＋b－≥. 也就是要證a＋b≥2. 顯然a＋b≥2成立， 故＋≥＋. 證法三(綜合法，因?yàn)樽筮吺欠质叫?，利用基本不等式x＋≥2(x>0)使左邊向整式型過渡)： (法一)∵＋＋＋≥2＋2＝2＋2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，∴＋≥＋. (法二)∵(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝a＋b＋2＝(＋)2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，∴＋≥＋. 9．設(shè)a、b、c為三角形的三邊，且S2＝2ab，S＝(a＋b＋c)， 試證：S＜2a. 證明：　欲證S＜2a，∵S＝(a＋b＋c)， 即只需證(a＋b＋c)＜2a， 即需證b＋c＜3a，再往下無法進(jìn)行，故需另用其他證法． 又由S2＝2ab，故只需證S＜ 即b＜S，即2b＜a＋b＋c 故只需證b＜a＋c，由三角形一邊小于其他兩邊和，此式顯然成立．原命題得證．