高中數學 第三章 導數及其應用 學業(yè)分層測評15 導數的計算 新人教A版選修1-1

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【課堂新坐標】2016-2017學年高中數學 第三章 導數及其應用 學業(yè)分層測評15 導數的計算 新人教A版選修1-1 (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．下列結論不正確的是(　　) A．若y＝3，則y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1，則f′(1)＝3 C．若y＝－＋x，則y′＝－＋1 D．若y＝sin x＋cos x，則y′＝cos x＋sin x 【解析】　∵y＝sin x＋cos x， ∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x．故選D. 【答案】　D 2．函數y＝(＋1)(－1)的導數等于(　　) A．1　　　　　　　　　　B．－ C. D．－ 【解析】　因為y＝(＋1)(－1)＝x－1，所以y′＝x′－1′＝1. 【答案】　A 3．曲線y＝在點(－1，－1)處的切線方程為(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2 【解析】　∵y′＝＝， ∴k＝y′|x＝－1＝＝2， ∴切線方程為y＋1＝2(x＋1)， 即y＝2x＋1.故選A. 【答案】　A 4．已知曲線y＝－3ln x的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為(　　) A．3 B．2 C．1 D. 【解析】　因為y′＝－，所以由導數的幾何意義可知，－＝，解得x＝3(x＝－2不合題意，舍去)． 【答案】　A 5．函數f(x)＝x3的斜率等于1的切線有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．不確定 【解析】　∵f′(x)＝3x2，設切點為(x0，y0)，則3x＝1，得x0＝，即在點和點處有斜率為1的切線．故選B. 【答案】　B 二、填空題 6．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，若f′(x)－g′(x)＝－2，則x＝________. 【導學號：26160079】 【解析】　因為f′(x)＝5x，g′(x)＝3x2，所以5x－3x2＝－2，解得x1＝－，x2＝2. 【答案】?。? 7．若曲線y＝x－在點(a，a－)處的切線與兩個坐標軸圍成的三角形的面積為18，則a＝________. 【解析】　∵y＝x－，∴y′＝－x－， ∴曲線在點(a，a－)處的切線斜率k＝－a－， ∴切線方程為y－a－＝－a－(x－a)． 令x＝0得y＝a－；令y＝0得x＝3a. ∵該切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為 S＝3aa－＝a＝18，∴a＝64. 【答案】　64 8．已知函數f(x)＝f′cos x＋sin x，則f的值為________． 【解析】　∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x， ∴f′＝－f′＋， 得f′＝－1. ∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x，∴f＝1. 【答案】　1 三、解答題 9．求下列函數的導數： (1)y＝(x＋1)2(x－1)； (2)y＝x2sin x； (3)y＝. 【解】　(1)法一：y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1. 法二：y＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1， y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1. (2)y′＝(x2sin x)′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x. (3)y′＝ ＝＝. 10．設f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的導數f′(x)滿足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常數a，b∈R.求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程． 【解】　因為f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1， 所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a， 所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3. 令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－. 所以f(x)＝x3－x2－3x＋1，從而f(1)＝－. 又f′(1)＝2＝－3，所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為：y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0. [能力提升] 1．已知直線y＝kx是曲線y＝ex的切線，則實數k的值為(　　) A. B．－ C．－e D．e 【解析】　y′＝ex，設切點為(x0，y0)，則 ∴ex0＝ex0x0，∴x0＝1，∴k＝e.故選D. 【答案】　D 2．若f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，則f2 016(x)＝(　　) A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x 【解析】　因為f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝cos x，所以循環(huán)周期為4，因此f2 016(x)＝f4(x)＝sin x. 【答案】　A 3．已知f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，則f′(0)＝________. 【解析】　因為f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6， 所以f′(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)， 所以f′(0)＝12345＝120. 【答案】　120 4．設函數f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)求證：曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值. 【導學號：26160080】 【解】　(1)7x－4y－12＝0可化為y＝x－3. 當x＝2時，y＝.又f′(x)＝a＋， 于是解得 故f(x)＝x－. (2)證明：設點P(x0，y0)為曲線上任一點，由y′＝1＋可知曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線方程為：y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)． 令x＝0，得y＝－，從而得切線與直線x＝0的交點坐標為.令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點坐標為(2x0,2x0)． 所以點P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為|2x0|＝6. 故曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0，y＝x圍成的三角形的面積為定值，此定值為6.