高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 第四篇 回歸教材 糾錯(cuò)分析4 數(shù)列、不等式練習(xí) 理

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4.數(shù)列、不等式 1．等差數(shù)列及其性質(zhì) (1)等差數(shù)列的判定：an＋1－an＝d(d為常數(shù))或an＋1－an＝an－an－1 (n≥2)． (2)等差數(shù)列的性質(zhì) ①當(dāng)公差d≠0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n項(xiàng)和Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0. ②若公差d>0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d<0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列． ③當(dāng)m＋n＝p＋q時(shí)，則有am＋an＝ap＋aq，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時(shí)，則有am＋an＝2ap. ④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數(shù)列． [問題1]　已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝12，S20＝17，則S30為(　　) A．15 B．20 C．25 D．30 答案　A 2．等比數(shù)列及其性質(zhì) (1)等比數(shù)列的判定：＝q(q為常數(shù)，q≠0)或＝(n≥2)． (2)等比數(shù)列的性質(zhì) 當(dāng)m＋n＝p＋q時(shí)，則有aman＝apaq，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時(shí)，則有aman＝a. [問題2]　(1)在等比數(shù)列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整數(shù)，則a10＝________. (2)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a5a6＝9，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________. 答案　(1)512　(2)10 3．求數(shù)列通項(xiàng)的常見類型及方法 (1)已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，可采用歸納、猜想法． (2)如果給出的遞推關(guān)系式符合等差或等比數(shù)列的定義，可直接利用等差或等比數(shù)列的公式寫出通項(xiàng)公式． (3)若已知數(shù)列的遞推公式為an＋1＝an＋f(n)，可采用累加法． (4)數(shù)列的遞推公式為an＋1＝anf(n)，則采用累乘法． (5)已知Sn與an的關(guān)系，利用關(guān)系式an＝求an. (6)構(gòu)造轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求通項(xiàng)公式． [問題3]　已知f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對于任意的x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立．?dāng)?shù)列{an}滿足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________. 答案　n2n 解析　令x＝2，y＝2n－1，則f(xy)＝f(2n)＝2f(2n－1)＋2n－1f(2)，即an＝2an－1＋2n，＝＋1，所以數(shù)列{}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，由此可得＝1＋(n－1)1＝n，即an＝n2n. 4．?dāng)?shù)列求和的方法 (1)公式法：等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式； (2)分組求和法； (3)倒序相加法； (4)錯(cuò)位相減法； (5)裂項(xiàng)法 如：＝－；＝. (6)并項(xiàng)法 數(shù)列求和時(shí)要明確：項(xiàng)數(shù)、通項(xiàng)，并注意根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選取合適的方法． [問題4]　數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝(n∈N，n≥1)，若a2＝1，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，則S21的值為________． 答案　 5．如何解含參數(shù)的一元二次不等式 解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個(gè)方面來考慮：①二次項(xiàng)系數(shù)，它決定二次函數(shù)的開口方向；②判別式Δ，它決定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三種情況；③在有根的條件下，要比較兩根的大小，也是分大于、等于、小于三種情況．在解一元二次不等式時(shí)，一定要畫出二次函數(shù)的圖象，注意數(shù)形結(jié)合． [問題5]　解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0 (a>0)． 解　原不等式化為(x－)(x－1)<0. ∴當(dāng)01時(shí)，不等式的解集為{x|0時(shí)，有|x|a?x2>a2?x>a或x<－a. (2)零點(diǎn)分段法：含有多個(gè)絕對值符號(hào)的不等式可用“按零點(diǎn)分區(qū)間討論”的方法來解． (3)平方法：通過兩邊平方去絕對值符號(hào)．需要注意的是不等號(hào)兩邊為非負(fù)值． (4)絕對值的幾何意義． [問題8]　不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是(　　) A．(－∞，4) B．(－∞，1) C．(1,4) D．(1,5) 答案　A 解析?、佼?dāng)x≤1，原不等式可化為1－x－(5－x)<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1. ②當(dāng)11時(shí)，直線y＝－ax＋t分別過點(diǎn)(1,0)與(－1,0)時(shí)，ax＋y取得最大值與最小值，其值分別為a，－a. 易錯(cuò)點(diǎn)7　運(yùn)用基本不等式忽視條件 例7　函數(shù)y＝的最小值為________． 易錯(cuò)分析　應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值，當(dāng)?shù)忍?hào)成立的條件不成立時(shí)，往往考慮函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)注意函數(shù)的定義域． 解　y＝＝＝＋. 設(shè)t＝，則t≥2，所以函數(shù)變?yōu)閒(t)＝t＋ (t≥2)．這時(shí)，f(t)在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(t)≥f(2)＝，所以函數(shù)y＝的最小值為. 1．等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么{an}的前7項(xiàng)和S7等于(　　) A．22 B．24 C．26 D．28 答案　D 解析　由已知得a4＝4，∴S7＝7a4＝28. 2．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若am＋1am－1＝2am (m≥2)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，若T2m－1＝512，則m的值為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　B 解析　因?yàn)閧an}是正項(xiàng)等比數(shù)列， 所以am＋1am－1＝2am＝a，am＝2， 又T2m－1＝a1a2…a2m－1＝a， 所以22m－1＝512＝29，m＝5. 3．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項(xiàng)和為(　　) A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830 答案　D 解析　當(dāng)n＝2k時(shí)，a2k＋1＋a2k＝4k－1； 當(dāng)n＝2k－1時(shí)，a2k－a2k－1＝4k－3. 所以a2k＋1＋a2k－1＝2，所以a2k＋1＋a2k＋3＝2， 所以a2k－1＝a2k＋3，所以a1＝a5＝…＝a61. 所以a1＋a2＋a3＋…＋a60 ＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61) ＝3＋7＋11＋…＋(260－1) ＝＝3061＝1 830. 4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝log3(n∈N*)，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，則使Sn＜－4成立的最小自然數(shù)n為(　　) A．83 B．82 C．81 D．80 答案　C 解析　∵an＝log3＝log3n－log3(n＋1)， ∴Sn＝log31－log32＋log32－log33＋…＋log3n－log3(n＋1)＝－log3(n＋1)＜－4，解得n＞34－1＝80.故最小自然數(shù)n的值為81. 5．已知曲線C：y＝(x>0)及兩點(diǎn)A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2>x1>0.過A1，A2分別作x軸的垂線，交曲線C于B1，B2兩點(diǎn)，直線B1B2與x軸交于點(diǎn)A3(x3,0)，那么(　　) A．x1，，x2成等差數(shù)列 B．x1，，x2成等比數(shù)列 C．x1，x3，x2成等差數(shù)列 D．x1，x3，x2成等比數(shù)列 答案　A 解析　由題意，B1，B2兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，)，(x2，)， 所以直線B1B2的方程為y＝－(x－x1)＋， 令y＝0，得x＝x1＋x2， 所以x3＝x1＋x2，因此，x1，，x2成等差數(shù)列． 6．已知a，b都是負(fù)實(shí)數(shù)，則＋的最小值是(　　) A. B．2(－1) C．2－1 D．2(＋1) 答案　B 解析　＋＝ ＝1－ ＝1－≥1－＝2(－1)． 7．若關(guān)于x的不等式x2＋mx－4≥0在區(qū)間[1,4]上有解，則實(shí)數(shù)m的最小值是________． 答案　－3 解析　由題意知，原題等價(jià)于m≥－x在區(qū)間[1,4]上有解，令f(x)＝－x(x∈[1,4])，則m≥f(x)min.因?yàn)閒(x)＝－x在區(qū)間[1,4]上單調(diào)遞減，所以f(x)min＝f(4)＝－4＝－3，所以m≥－3，故實(shí)數(shù)m的最小值是－3. 8．不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)棣?，直線y＝kx－1與區(qū)域Ω有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________． 答案　[3，＋∞) 解析　作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分． 直線y＝kx－1顯然經(jīng)過定點(diǎn)M(0，－1)，由圖形直接觀察知，當(dāng)直線y＝kx－1經(jīng)過直線y＝x＋1和直線x＋y＝3的交點(diǎn)C(1,2)時(shí)，k最小，此時(shí)kCM＝＝3， 因此k≥3. 9．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且1＋<0.若Sn存在最大值，則滿足Sn>0的n的最大值為________． 答案　19 解析　因?yàn)镾n有最大值，則數(shù)列{an}單調(diào)遞減，又<－1，則a10>0，a11<0，且a10＋a11<0，所以S19＝19＝19a10>0，S20＝20＝10(a10＋a11)<0，故n的最大值為19. 10．已知關(guān)于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為________． 答案　 解析　2x＋＝2(x－a)＋＋2a ≥2＋2a＝4＋2a. 由題意可知4＋2a≥7，得a≥， 即實(shí)數(shù)a的最小值為. 11．已知函數(shù)f(x)＝(a，b為常數(shù))且方程f(x)－x＋12＝0有兩實(shí)根x1＝3，x2＝4. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)設(shè)k＞1，解關(guān)于x的不等式f(x)≤. 解　(1)將x1＝3，x2＝4分別代入方程－x＋12＝0， 得?所以f(x)＝(x≠2)． (2)不等式即為≤， 可化為≤0， 即 ①當(dāng)1＜k＜2時(shí)，解集為x∈[1，k]∪(2，＋∞)； ②當(dāng)k＝2時(shí)，解集為x∈[1,2)∪(2，＋∞)； ③當(dāng)k>2時(shí)，解集為x∈[1,2)∪[k，＋∞)． 12．已知數(shù)列{an}與{bn}滿足an＋1－an＝2(bn＋1－bn)(n∈N*)． (1)若a1＝1，bn＝3n＋5，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若a1＝6，bn＝2n (n∈N*)且λan>2n＋n＋2λ對一切n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍． 解　(1)∵an＋1－an＝2(bn＋1－bn)，bn＝3n＋5， ∴an＋1－an＝6，∴{an}是等差數(shù)列． ∵{an}的首項(xiàng)為a1＝1，公差為6， ∴an＝6n－5. (2)∵bn＝2n， ∴an＋1－an＝2(2n＋1－2n)＝2n＋1. 當(dāng)n≥2時(shí)， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2n＋2n－1＋…＋22＋6＝2n＋1＋2. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝6，符合上式，∴an＝2n＋1＋2. 由λan>2n＋n＋2λ，得λ>＝＋. ∵－＝≤0， ∴當(dāng)n＝1,2時(shí)，取最大值， ∴λ的取值范圍為(，＋∞)．