高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題9 平面直角坐標與不等式 第35練 坐標系與參數(shù)方程 文

《高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題9 平面直角坐標與不等式 第35練 坐標系與參數(shù)方程 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題9 平面直角坐標與不等式 第35練 坐標系與參數(shù)方程 文（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第35練　坐標系與參數(shù)方程 [題型分析高考展望]　高考主要考查平面直角坐標系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標方程；參數(shù)方程與普通方程的互化，常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應(yīng)用．以極坐標、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時考查直線與曲線位置關(guān)系等解析幾何知識． 體驗高考 1．(2016課標全國甲)在直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程； (2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與C交于A、B兩點，|AB|＝，求l的斜率． 解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圓C的極坐標方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R)． 設(shè)A，B所對應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝. 由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝. 所以l的斜率為或－. 2．(2015江蘇)已知圓C的極坐標方程為ρ2＋2ρsin－4＝0，求圓C的半徑． 解　以極坐標系的極點為平面直角坐標系的原點O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標系xOy. 圓C的極坐標方程為ρ2＋2ρ－4＝0， 化簡，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 則圓C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＋2y－4＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6， 所以圓C的半徑為. 高考必會題型 題型一　極坐標與直角坐標的互化 直角坐標與極坐標的互化 把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位．如圖，設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點，它的直角坐標、極坐標分別為(x，y)和(ρ，θ)，則 例1　在極坐標系中，曲線C1：ρ(cosθ＋sin θ)＝1與曲線C2：ρ＝a(a>0)的一個交點在極軸上，求a的值． 解　ρ(cosθ＋sin θ)＝1， 即ρcosθ＋ρsinθ＝1對應(yīng)的普通方程為 x＋y－1＝0， ρ＝a(a>0)對應(yīng)的普通方程為 x2＋y2＝a2. 在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝. 將代入x2＋y2＝a2得a＝. 點評　(1)在由點的直角坐標化為極坐標時，一定要注意點所在的象限和極角的范圍，否則點的極坐標將不唯一． (2)在與曲線的方程進行互化時，一定要注意變量的范圍，要注意轉(zhuǎn)化的等價性． 變式訓練1　在以O(shè)為極點的極坐標系中，直線l與曲線C的極坐標方程分別是ρcos(θ＋)＝3和ρsin2θ＝8cos θ，直線l與曲線C交于點A、B，求線段AB的長． 解　∵ρcos(θ＋)＝ρcosθcos－ρsinθsin ＝ρcosθ－ρsinθ＝3， ∴直線l對應(yīng)的直角坐標方程為x－y＝6. 又∵ρsin2θ＝8cos θ，∴ρ2sin2θ＝8ρcos θ. ∴曲線C對應(yīng)的直角坐標方程是y2＝8x. 解方程組 得或 所以A(2，－4)，B(18,12)， 所以AB＝＝16. 即線段AB的長為16. 題型二　參數(shù)方程與普通方程的互化 1．直線的參數(shù)方程 過定點M(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 2．圓的參數(shù)方程 圓心在點M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，0≤θ≤2π)． 3．圓錐曲線的參數(shù)方程 (1)橢圓＋＝1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (2)拋物線y2＝2px(p>0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 例2　(2015福建)在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在極坐標系(與平面直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸)中，直線l的方程為ρsin＝m(m∈R)． (1)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程； (2)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值． 解　(1)消去參數(shù)t，得到圓C的普通方程為 (x－1)2＋(y＋2)2＝9. 由ρsin＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0. 所以直線l的直角坐標方程為x－y＋m＝0. (2)依題意，圓心C到直線l的距離等于2，即＝2，解得m＝－32. 點評　(1)將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當?shù)南麉⒎椒ǎＲ姷南麉⒎椒ㄓ写胂麉⒎?，加減消參法，平方消參法等． (2)將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要增解、漏解，若x、y有范圍限制，要標出x、y的取值范圍． 變式訓練2　已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，P是橢圓＋y2＝1上的任意一點，求點P到直線l的距離的最大值． 解　由于直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 故直線l的普通方程為x＋2y＝0. 因為P為橢圓＋y2＝1上的任意一點， 故可設(shè)P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈R. 因此點P到直線l的距離是 d＝＝. 所以當θ＝kπ＋，k∈Z時，d取得最大值. 題型三　極坐標、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 解決與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程有關(guān)的綜合問題時，要注意普通方程與參數(shù)方程的互化公式，主要是通過互化解決與圓、圓錐曲線上動點有關(guān)的問題，如最值、范圍等． 例3　(2015課標全國Ⅱ)在直角坐標系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝2sin θ，曲線C3：ρ＝2cos θ. (1)求C2與C3交點的直角坐標； (2)若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值． 解　(1)曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0，曲線C3的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0. 聯(lián)立 解得或 所以C2與C3交點的直角坐標為(0,0)和. (2)曲線C1的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A的極坐標為(2sin α，α)，B的極坐標為(2cos α，α)． 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4. 當α＝時，|AB|取得最大值，最大值為4. 點評　(1)利用參數(shù)方程解決問題，要理解參數(shù)的幾何意義． (2)解決直線、圓和圓錐曲線的有關(guān)問題，將極坐標方程化為直角坐標方程或?qū)?shù)方程化為普通方程，有助于對方程所表示的曲線的認識，從而達到化陌生為熟悉的目的，這是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用． 變式訓練3　(2015陜西)在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，⊙C的極坐標方程為ρ＝2sin θ. (1)寫出⊙C的直角坐標方程； (2)P為直線l上一動點，當P到圓心C的距離最小時，求P的直角坐標． 解　(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 從而有x2＋y2＝2y，所以x2＋(y－)2＝3. (2)設(shè)P，又C(0，)， 則|PC|＝＝， 故當t＝0時，|PC|取得最小值， 此時，P點的直角坐標為(3,0)． 高考題型精練 1．已知圓的極坐標方程為ρ＝4cos θ，圓心為C，點P的極坐標為(4，)，求CP的長． 解　由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ， 即x2＋y2＝4x， 即(x－2)2＋y2＝4，∴圓心C(2,0)，又由點P的極坐標為(4，)可得點P的直角坐標為(2,2)， ∴CP＝＝2. 2．(2015安徽改編)在極坐標系中，求圓ρ＝8sin θ上的點到直線θ＝(ρ∈R)距離的最大值． 解　圓ρ＝8sin θ化為直角坐標方程為x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16，直線θ＝(ρ∈R)化為直角坐標方程為y＝x，結(jié)合圖形知圓上的點到直線的最大距離可轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離再加上半徑． 圓心(0,4)到直線y＝x的距離為＝2，又圓的半徑r＝4，所以圓上的點到直線的最大距離為6. 3．在極坐標系中，已知三點M(2，－)、N(2,0)、P(2，)． (1)將M、N、P三點的極坐標化為直角坐標； (2)判斷M、N、P三點是否在一條直線上． 解　(1)由公式得M的直角坐標為(1，－)； N的直角坐標為(2,0)；P的直角坐標為(3，)． (2)∵kMN＝＝，kNP＝＝. ∴kMN＝kNP，∴M、N、P三點在一條直線上． 4．(2015重慶改編)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ2cos 2θ＝4，求直線l與曲線C的交點的極坐標． 解　直線l的直角坐標方程為y＝x＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，直角坐標方程為x2－y2＝4，把y＝x＋2代入雙曲線方程解得x＝－2，因此交點為(－2,0)，其極坐標為(2，π)． 5．以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位．已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，圓C的極坐標方程是ρ＝4cos θ，求直線l被圓C截得的弦長． 解　直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))化為直角坐標方程是y＝x－4，圓C的極坐標方程ρ＝4cos θ化為直角坐標方程是x2＋y2－4x＝0.圓C的圓心(2,0)到直線x－y－4＝0的距離為d＝＝.又圓C的半徑r＝2，因此直線l被圓C截得的弦長為2＝2. 6．(2016江蘇)在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求線段AB的長． 解　直線l的方程化為普通方程為x－y－＝0， 橢圓C的方程化為普通方程為x2＋＝1， 聯(lián)立方程組得 解得或 ∴A(1,0)，B. 故AB＝＝. 7．(2015湖南)已知直線l：(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝2cos θ. (1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程； (2)設(shè)點M的直角坐標為(5，)，直線l與曲線C的交點為A，B，求|MA||MB|的值． 解　(1)ρ＝2cos θ等價于ρ2＝2ρcos θ.① 將ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0.② (2)將代入②式，得t2＋5t＋18＝0. 設(shè)這個方程的兩個實根分別為t1，t2，則由參數(shù)t的幾何意義即知，|MA||MB|＝|t1t2|＝18. 8．已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，圓C的極坐標方程為ρ＝4cos. (1)將圓C的極坐標方程化為直角坐標方程； (2)若圓上有且僅有三個點到直線l的距離為，求實數(shù)a的值． 解　(1)由ρ＝4cos， 得ρ＝4cos θ－4sin θ. 即ρ2＝4ρcos θ－4ρsin θ. 由得x2＋y2－4x＋4y＝0， 得(x－2)2＋(y＋2)2＝8. 所以圓C的直角坐標方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝8. (2)直線l的參數(shù)方程可化為y＝2x＋a， 則由圓的半徑為2知，圓心(2，－2)到直線y＝2x＋a的距離恰好為. 所以＝，解得a＝－6.