狹義相對論基礎(chǔ)ppt課件

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愛因斯坦: Einstein 現(xiàn)代時空的創(chuàng)始人,二十世紀(jì)的哥白尼,1,愛因斯坦的哲學(xué)觀念：自然界應(yīng)當(dāng)是和諧而簡單的. 理論特色：出于簡單而歸于深奧.,Albert Einstein ( 1879 – 1955 ) 20世紀(jì)最偉大的物理學(xué)家, 于1905年和1915年先后創(chuàng)立了狹義相對論和廣義相對論, 他于1905年提出了光量子假設(shè), 為此他于1921年獲得諾貝爾物理學(xué)獎, 他還在量子理論方面具有很多的重要的貢獻(xiàn) .,2,第六章 狹義相對論基礎(chǔ) special relativity,主要內(nèi)容： 狹義相對論的基本假設(shè) 同時性的相對性 洛侖茲變換式 運動時鐘變慢和長度縮短 洛侖茲速度變換 相對論性質(zhì)量和動量 相對論性能量 相對論性力和加速度間關(guān)系,3,（一）已經(jīng)了解的相對性 運動描述與參考系有關(guān), 運動規(guī)律與參考系無關(guān)。 對牛頓定律的認(rèn)識(慣性系與非慣性系。),從哥白尼到愛因斯坦,（二）進(jìn)一步認(rèn)識相對性 認(rèn)識論方法論的問題，教育人們要脫離自我,客觀地看問題。 相對性問題的核心是： 物理規(guī)律是客觀存在的，與參考系無關(guān)。 即參考系平權(quán) ，沒有特殊的參考系。,4,從哥白尼到愛因斯坦,哥白尼: N. copernicus 拋棄地心說 —— 拋棄以我為中心,愛因斯坦: Einstein 現(xiàn)代時空的創(chuàng)始人,提出所有的參考系平權(quán),慣性系，非慣性系平權(quán),被譽為二十世紀(jì)的哥白尼,5,§1 力學(xué)相對性原理和伽利略變換,研究的問題: 在兩個慣性系中考察同一物理事件,牛頓力學(xué)的絕對時空：長度和時間的測量與參照系無關(guān)。,6,伽利略變換,經(jīng)典力學(xué)認(rèn)為：1）空間的量度是絕對的，與參考系無關(guān)；2）時間的量度也是絕對的，與參考系無關(guān) .,一 伽利略變換式 經(jīng)典力學(xué)的相對性原理,7,,在兩相互作勻速直線運動的慣性系中，牛頓運動定律具有相同的形式.,8,相對于不同的參考系 , 長度和時間的測量結(jié)果是一樣的嗎?,絕對時空概念：時間和空間的量度和參考系無關(guān) , 長度和時間的測量是絕對的.,二 經(jīng)典力學(xué)的絕對時空觀,牛頓力學(xué)的相對性原理，在宏觀、低速的范圍內(nèi)，是與實驗結(jié)果相一致的 .,實踐已證明 , 絕對時空觀是不正確的.,9,二.牛頓的相對性原理 Newton Principle of relativity,牛頓力學(xué)中：,相互作用是客觀的，分析力與參考系無關(guān)。質(zhì)量的測量與運動無關(guān)。,相對于不同的參考系 , 經(jīng)典力學(xué)定律的形式是 完全一樣的嗎 ？,10,牛頓力學(xué)的回答:,對于任何慣性參照系 , 牛頓力學(xué)的規(guī)律都具有 相同的形式 . 這就是經(jīng)典力學(xué)的相對性原理 .,或 牛頓力學(xué)規(guī)律在伽利略變換下形式不變,或 牛頓力學(xué)規(guī)律是伽利略不變式,11,三.伽利略變換的困難,對于不同的慣性系，電磁現(xiàn)象基本規(guī)律的形式是一樣的嗎 ？,真空中的光速,對于兩個不同的慣性參考系 , 光速滿足伽利略變換嗎 ？,12,結(jié)果:觀察者先看到投出后的球，后看到投出前的球.,試計算球被投出前后的瞬間，球所發(fā)出的光波達(dá)到觀察者所需要的時間. (根據(jù)伽利略變換),13,900 多年前（公元1054年5月）一次著名的超新星爆發(fā)， 這次爆發(fā)的殘骸形成了著名的金牛星座的蟹狀星云。北宋天文學(xué)家記載從公元 1054年 ~ 1056年均能用肉眼觀察, 特別是開始的 23 天, 白天也能看見 .,,物質(zhì)飛散速度,當(dāng)一顆恒星在發(fā)生超新星爆發(fā)時, 它的外圍物質(zhì)向四面八方飛散, 即有些拋射物向著地球運動, 現(xiàn)研究超新星爆發(fā)過程中光線傳播引起的疑問 .,14,實際持續(xù)時間約為 22 個月, 這怎么解釋 ?,理論計算觀察到超新性爆發(fā)的強(qiáng)光的時間持續(xù)約,A 點光線到達(dá)地球所需時間,B 點光線到達(dá)地球所需時間,15,邁克爾孫 — 莫雷實驗,為了測量地球相對于“以太”的運動 , 1881年 邁克爾孫用他自制的干涉儀進(jìn)行測量, 沒有結(jié)果 . 1887年他與莫雷以更高的精度重新做了此類實驗, 仍得到零結(jié)果, 即未觀測到地球相對“以太”的運 動 .,16,,設(shè)“以太”參考系為S系，實驗室為 系,（從 系看）,17,人們?yōu)榫S護(hù)“以太”觀念作了種種努力， 提出了各種理論 ，但這些理論或與天文觀察，或與其它的實驗相矛盾，最后均以失敗告終 這個否定結(jié)果同時也暗示著光的速度和光源或觀察者的運動無關(guān)。 關(guān)于這個實驗對Einstein工作的影響，參考一篇有趣的文章：Holton,Am.J.Phys. 37,968(1969),實驗結(jié)果 未觀察到地球相對于“以太”的運動.,真空中的光速,18,§2 狹義相對論的基本假設(shè) (The Hypothesis of Principle of Relativity),1) 電磁場方程組不服從伽利略變換. 2) 光速c是常量——不論從哪個參考系中測量.,邁克耳遜—莫雷（Michelson—Morleg）實驗： 以伽利略變換為基礎(chǔ)來觀測地球上各個方向上光速的差異。由于地球自轉(zhuǎn)，據(jù)伽利略變換，地球上各個方向上光速是不同的，在隨地球公轉(zhuǎn)的干涉儀中應(yīng)可觀測到條紋的移動。,該實驗未觀測到預(yù)期的條紋移動，稱為零結(jié)果，說明光速不變。,19,一.愛因斯坦的狹義相對論基本假設(shè),,1）愛因斯坦相對性原理：物理定律在所有的慣性系中都具有相同的表達(dá)形式 .,2）光速不變原理： 真空中的光速是常量，它與光源或觀察者的運動無關(guān)，即不依賴于慣性系的選擇.,關(guān)鍵概念：相對性和不變性 .,相對性原理是自然界的普遍規(guī)律.,所有的慣性參考系都是等價的 .不存在一個特殊的慣性系,伽利略變換與狹義相對論的基本原理不符 .,20,說明同時具有相對性，時間的量度是相對的 .,二 和光速不變緊密聯(lián)系在一起的是：在某一慣性系中同時發(fā)生的兩個事件，在相對于此慣性系運動的另一慣性系中觀察，并不一定是同時發(fā)生的 .,,長度的測量是和同時性概念密切相關(guān).,21,§2洛侖茲變換 Lorentz Transformations,一.洛侖茲變換的導(dǎo)出,22,由光速不變原理（在s 和S’中均是球面）,由發(fā)展的觀點：,有,S,S’,回答在伽利略變換下 是否滿足？,23,由客觀事實是確定的 且空間均勻各向同性：,與,下面的任務(wù)是 根據(jù)上述四式 利用比較系數(shù)法 確定系數(shù),的關(guān)系是,24,在,得,代入,S’,比較,S,25,得出：,26,二.結(jié)果 坐標(biāo)變換式,27,令,則,正變換,逆變換,注意：β定義的含義：是以C=1的自然單位量度的速度,28,2） 時間不獨立， 和 變換相互交叉.,1） 與 成線性關(guān)系，但比例系數(shù) .,4）在洛倫茲變換 下，所有以勻速作相對運動的參考系 中，波前的方程都是一樣的，是洛倫茲變換 下的不變式,29,一 同時的相對性,事件 1 ：車廂后壁接收器接收到光信號. 事件 2 ：車廂前壁接收器接收到光信號.,§3 狹義相對論時空觀,30,31,在 S 系,在 系同時同地發(fā)生的兩事件,32,結(jié)論 ：沿兩個慣性系運動方向，不同地點發(fā)生的兩個事件，在其中一個慣性系中是同時的， 在另一慣性系中觀察則不同時，所以同時具有相對意義；只有在同一地點， 同一時刻發(fā)生的兩個事件，在其他慣性系中觀察也是同時的 .,注意：,a. 發(fā)生在同一地點的兩個事件，同時性是絕對的， 只有對發(fā)生在不同地點的事件同時性才是相對的。,b.只有對沒有因果關(guān)系的各個事件之間，先后次序 才有可能顛倒。,33,運 動 的 鐘 走 得 慢,二 時間的延緩(The Time Dilation),34,系同一地點 B 發(fā)生兩事件,在 S 系中觀測兩事件,時間間隔,35,固有時間 ：同一地點發(fā)生的兩事件的時間間隔 .,時間延緩 ：運動的鐘走得慢 .,固有時間,36,3） 時， .,1）時間延緩是一種相對效應(yīng) .,2）時間的流逝不是絕對的，運動將改變時間的進(jìn)程.（例如新陳代謝、放射性的衰變、壽命等 . ）,理解： 時間膨脹效應(yīng)并不涉及原子內(nèi)部的過程，他是在測量 過程中發(fā)生的。,37,例1 設(shè)想有一光子火箭以 速率相對地球作直線運動 ，若火箭上宇航員的計時器記錄他觀測星云用去 10 min , 則地球上的觀察者測得此事用去多少時間 ？,運動的鐘似乎走慢了.,解: 設(shè)火箭為 系、地球為 S 系,38,例2、帶正電的?介子是一種不穩(wěn)定的粒子，當(dāng)它靜止時，平均壽命為2.5×10-8s,之后即衰變成一個?介子和一個中微子，今產(chǎn)生一束?介子，在實驗室測得它的速率為u=0.99c,并測得它在衰變前通過的平均距離為52m,這些測量結(jié)果是否一致？,解：若用平均壽命?t′=2.5 ×10-8s和u相乘，得7.4m,與實驗結(jié)果不符。,考慮相對論的時間膨脹效應(yīng)， ?t′是靜止?介子的平均 壽命，是原時，當(dāng)?介子運動時，在實驗室測得的平均壽 命應(yīng)是：,39,實驗室測得它通過的平均距離應(yīng)該是：uΔt=53m,與實驗結(jié)果符合得很好。,·火車和隧道靜長相同， ·地面上看：兩個雷電同時打下，火車頭尾 剛好被雷電擊中。 ·火車上看：火車頭尾能否被擊中 ?,火車鉆隧道,40,Problem1. 一列 火車長為0.3km(火車上的觀察者測的)，以100 km/h的速度行駛，地面上的觀察者發(fā)現(xiàn)有兩個閃電同時擊中火車 的前后兩端。 問火車上的觀察者測得兩閃電擊中火車兩端的間 隔為多少？,S ～地面 t2-t1=0,S’為火車 x2’-x1’=0.3km,火車上的觀察者看到是先擊中火車的車頭,41,Problem2. 在s參照系中，A事件發(fā)生在x 1 處，2.0×10-6s后，B事件 發(fā)生在X2處。X2 –X1=300m. 問能否找到一個參照系s’， 在S’中， 兩事件發(fā)生在同一地點？ 時間的間隔為多少？,42,,時序的相對性,在 S 系,A先發(fā)生，B后發(fā)生;,在 S’系有三種不同情況,t ?2 - t ?10，即t ?2 t ?1， A先B后(正序) t ?2 - t ?1=0，即t ?2 = t ?1， A、B同時 t ?2 - t ?10，即t ?2 t ?1， A后B先(倒序),43,·由相對論變換，會不會得到如此情況: 子彈先打到靶上而后出槍口? 兒子先出生而爸爸后出生?,因果關(guān)系的絕對性 若兩事件有因果關(guān)系，時序是不會顛 倒的。,即 t2 - t1 0,S中：若 事件1---因(先), 2---果(后),44,即事件1發(fā)生后，發(fā)出一信號經(jīng) 傳播 到達(dá)2處，2事 件發(fā)生 。,S?中和S中時序相同。,45,,46,在上面的討論中，由于s’的運動是否對垂直于運動方向的長度 有影響？,以火車通過一個山洞為例說明：,火車的高度和山洞的高度恰好相同。由于運動火車的高度是否 改變？,從地面的觀察者看,從火車上的觀察者看,事實是火車可以通過山洞，所以以上的假設(shè)是錯誤的。 垂直于運動方向的長度不會發(fā)生改變,二 長度的收縮(The Length Contraction),47,長度的收縮,標(biāo)尺相對 系靜止,在 S 系中測量,在 系中測量,48,固有長度,固有長度：物體相對靜止時所測得的長度 .（最長）,49,當(dāng) 時 .,洛倫茲收縮: 運動物體在運動方向上長度收縮 .,長度收縮是一種相對效應(yīng), 此結(jié)果反之亦然 .,桿是否真的收縮了嗎？ 桿在物理上沒有發(fā)生什么變化，只是在運動的參考系中進(jìn)行測量的過程導(dǎo)致了不同的結(jié)果 。,Computer simulation of a photograph of a boxes moving a very high speed.(see Am. J. Phys., 33 534,1965),50,例1 設(shè)想有一光子火箭， 相對于地球以速率 飛行，若以火箭為參考系測得火箭長度為 15 m ，問以地球為參考系，此火箭有多長 ？,解 ：固有長度,51,例2、試從π介子在其中靜止的參照系來考慮π介子的平均壽命。在實驗室測得它的速率為u=0.99c，測得它在衰變前通過的平均距離為52m,解：從π介子的參照系看來，實驗室的運動速率為 u=0.99c,實驗室中測得的距離是l=52m,為原長，在π介子參照系中測量此距離應(yīng)為：,而實驗室飛過此距離所用時間為：,這就是靜止π介子的平均壽命。,52,在 S 系,例3 一長為 1 m 的棒靜止地放在 平面內(nèi)，在 系的觀察者測得此棒與 軸成 角，試問從 S 系的觀察者來看，此棒的長度以及棒與 Ox 軸的夾角是多少？設(shè)想 系相對 S 系的運動速度 .,解：在 系,,,53,例4:甲乙兩人所乘飛行器沿X 軸作相對運動。甲測得兩個事件的時空坐標(biāo)為x1=6?104m，y1=z1=0，t1=2?10-4 s ；x2=12?104m，y2=z2=0，t2=1?10-4 s，若乙測得這兩個事件同時發(fā)生于t’ 時刻，問：（1）乙對于甲的運動速度是多少？（2）乙所測得的兩個事件的空間間隔是多少？,解：1）設(shè)乙對甲的運動速度為 ，由洛侖茲變換,可知,(S’) 乙所測得的這兩個事件的時間間隔是,54,由此解得乙對甲的速度為,根據(jù)洛侖茲變換,55,可知, 乙所測得的兩個事件的空間間隔是,56,狹義相對論的時空觀 1） 兩個事件在不同的慣性系看來，它們的空間關(guān)系是相對的， 時間關(guān)系也是相對的，只有將空間和時間聯(lián)系在一起才有意義. 2）時—空不互相獨立，而是不可分割的整體. 3）光速 C 是建立不同慣性系間時空變換的紐帶.,57,在狹義相對論中討論運動學(xué)問題的思路如下： 1、確定兩個作相對運動的慣性參照系； 2、確定所討論的兩個事件； 3、表示兩個事件分別在兩個參照系中的時空坐標(biāo)或其時空間隔； 4、用洛侖茲變換討論。,小結(jié),注意,原時一定是在某坐標(biāo)系中同一地點發(fā)生的兩個事件的時間間隔；原長一定是物體相對某參照系靜止時兩端的空間間隔。,58,§6 相對論速度變換 (The Combination of Velocities),考慮一質(zhì)點 P 在空間的運動，從 S 和 S′系來看，速度分別是：,根據(jù)速度的定義：,59,由洛侖茲變換知,,60,由洛侖茲變換知,,61,洛侖茲速度變換式,,,逆變換,正變換,62,例1：設(shè)想一飛船以0.80c 的速度在地球上空飛行， 如果這時從飛船上沿速度方向發(fā)射一物體，物體 相對飛船速度為0.90c 。 問：從地面上看，物體速度多大？,解：,,,63,如果飛船發(fā)射一激光束，從地面上看，物體速度多大？,c,例題2.設(shè)想地球上有一觀察者測得一飛船以0.60c的速率向東飛行， 5.0s后該飛船將與一個以0.8c的速率向西飛行的彗星相碰撞。 問（1）飛船中的人測得彗星將以多大的速率向它運動？（2） 從飛船中的鐘來看，還有多少時間將與彗星碰撞？,解： 是速度變換問題。 取地球為s系， 飛船為s’系,,X （向東）,U=Ux=0.6c,V=Vx=-0.8c,向飛船運動,64,,也可以從時間膨脹的觀點考慮：,固有時：飛船上的時間間隔是固有時（把飛船的狀態(tài)看為一事件 ，碰撞為另一事件）,65,例題3。有一固有長度為l0的棒在s參照系中 沿x軸放置，并以速率 v沿xx’軸運動。 若有一s’系以速率u相對s系沿xx’運動，問從s’系測得此棒的長度為多少？,分析： 有長度縮短， 當(dāng)棒相對s’中的觀察者以速率v’運動時,Problem: 兩飛船分別以0。9c的速率相向飛行。 問A飛船中的觀 察者測得B飛船的速率是多少？,66,狹義相對論動力學(xué)基礎(chǔ) 高速運動時動力學(xué)概念如何？ 基本出發(fā)點： ?基本規(guī)律在洛侖茲變換下形式不變； ?低速時回到牛力,§7相對論的質(zhì)量和動量 (Relativistic Mass and Momentum),67,一.質(zhì)量和動量(Mass and Momentum),1.力與動量,狀態(tài)量,合理,合理,2.質(zhì)量的表達(dá) 猜想形式？,持續(xù)作用,,但 的上限是 c,隨速率增大而增大,要求,68,動量定義,牛頓力學(xué)：質(zhì)量與速度無關(guān),相對論力學(xué)：質(zhì)量與速度有關(guān)，否則動量守恒定律不能在洛侖茲變換下保持形式不變。,說明：,K'系：有M，靜止于O',t 時刻分裂,69,,,,,,,,,K系的觀察者看,方向：+x,,,70,根據(jù)動量守恒定律,靜質(zhì)量：物體相對于慣性系靜止時的質(zhì)量 .,71,由于空間的各向同性 與速度方向無關(guān),在不同慣性系中大小不同 .,相對論質(zhì)量,相對論動量,數(shù)據(jù),72,,1、宏觀物體一般v=104m/s,此時：,微觀粒子速率接近光速如中子v=0.98c時,牛頓力學(xué)是相對論力學(xué)在低速情況下的近似,vc時，m成為負(fù)數(shù)，無意義所以光速是物體運動的極限速度。,2、,73,3 合理性 特殊情況下，理論證明 最終由實驗證明(即將說明) 4 由于空間的各向同性 與速度方向無關(guān),74,,二、相對論動量(Relativistic Momentum),相對論動量可表示為：,根據(jù)：,在相對論力學(xué)中仍用動量變化率定義質(zhì)點受到的作用力，即：,注意：質(zhì)量隨速度變化,75,三. 狹義相對論運動方程,,由,得,,76,（2）若,與牛力形式相同,但,（3）一般情況下,不是慣性的量度,77,例 分析垂直進(jìn)入均勻磁場中的帶電粒子運動情況 已知:磁感強(qiáng)度為,0,分析：,圓周運動,,實驗驗證 與 關(guān)系的理論基礎(chǔ),1908年德國布歇勒做出了質(zhì)量與速度的關(guān)系 有力地支持了相對論,78,---鐳源,產(chǎn)生均勻電場的平行板電容器,,---感光底片,實驗物理學(xué)家是偉大的,79,仍用力對粒子做功計算粒子動能的增量，并用EK表示粒子速率為v時的動能，則有,,,§8 相對論性能量(Relativistic Energy) 一.相對論動能(Relativistic Kinetic Energy),80,,即相對論動能公式。,,81,則：,又回到了牛頓力學(xué)的動能公式。,當(dāng)vc時:,82,根據(jù),可以得到粒子速率由動能表示的關(guān)系為：,表明：當(dāng)粒子的動能由于力對其做功而增大時，速率也增大。但速率的極限是c ，按照牛頓定律，動能增大時，速率可以無限增大。實際上是不可能的。,83,Problem 1. 當(dāng)α粒子雜加速器中被加速， 當(dāng)其質(zhì)量為靜止質(zhì)量 的3倍時，其動能為靜止能量的幾倍？,,2。 把一個靜止質(zhì)量為m0的粒子，由靜止加速到v=0.6c ，需作的 功等于多少？,84,3.一細(xì)棒靜止時的質(zhì)量為m0，長度為l0. 當(dāng)它沿棒長的方向作高 速運動時， 測得它的長度為l, 那么該棒的運動速度為多少？ 該棒所具有的動能為多少？,85,86,靜止能量,動能,總能量,為粒子以速率v運動時的總能量,動能為總能和靜能之差。,結(jié)論：一定的質(zhì)量相應(yīng)于一定的能量，二者的數(shù)值只相差一個恒定的因子c2 。,為相對論的質(zhì)能關(guān)系式,二. 相對論能量(Relativistic Energy),87,表示質(zhì)量守恒,歷史上：,,能量守恒,質(zhì)量守恒,獨立,相對論中：,統(tǒng)一,質(zhì)能關(guān)系預(yù)言：物質(zhì)的質(zhì)量就是能量的一種儲藏 .,相對論能量和質(zhì)量守恒是一個統(tǒng)一的物理規(guī)律。,88,電子的靜質(zhì)量,電子的靜能,質(zhì)子的靜能,相對論質(zhì)能關(guān)系,1千克的物體所包含的靜能,1千克汽油的燃燒值為 焦耳 .,靜能 ：物體靜止時所具有的能量 .,質(zhì)子的靜質(zhì)量,89,,核反應(yīng)中：,反應(yīng)前：,反應(yīng)后：,靜質(zhì)量 m01 總動能EK1,靜質(zhì)量 m02 總動能EK2,能量守恒：,因此：,核反應(yīng)中釋放的能量相應(yīng)于一定的質(zhì)量虧損。,總靜止質(zhì)量的減小 質(zhì)量虧損,總動能增量,90,反應(yīng)質(zhì)量虧損,釋放能量,1 kg 核燃料釋放能量,這相當(dāng)于同質(zhì)量的優(yōu)質(zhì)煤燃燒所釋放熱量的1千多萬倍,91,慣性質(zhì)量的增加和能量的增加相聯(lián)系，質(zhì)量的 大小應(yīng)標(biāo)志著能量的大小，這是相對論的又一極其 重要的推論 .,相對論的質(zhì)能關(guān)系為開創(chuàng)原子能時代提供了理 論基礎(chǔ) , 這是一個具有劃時代的意義的理論公式 .,92,輕核聚變,釋放能量,質(zhì)量虧損,輕核聚變條件 溫度要達(dá)到 時，使 具有 的動能，可以克服兩 之間的庫侖排斥力.,93,Problem: 使電子的速度從v1=1.2×108m/s 增加到v2=2.4×108m/s 必須對它作多少功？,94,三、相對論的能量動量關(guān)系,,,,95,由上式得：,即相對論的動量能量關(guān)系式,以E、Pc、m0c2 表示三角形的三邊，可構(gòu)成直角三角形。,動能為EK的粒子：,代入上式得：,回到了牛頓力學(xué)。,96,例1 設(shè)一質(zhì)子以速度 運動. 求其總能量、動能和動量.,解 質(zhì)子的靜能,也可如此計算,97,例2 已知一個氚核 和一個氘核 可聚變成一氦核 , 并產(chǎn)生一個中子 , 試問這個核聚變中有多少能量被釋放出來 .,解 核聚變反應(yīng)式,氘核和氚核聚變?yōu)楹ず说倪^程中，靜能量減少了,98,*§9 相對論動量能量變換,用類比方法推導(dǎo),? 由E P關(guān)系,即,99,? 由E P關(guān)系,是洛侖茲不變量,,? 由時空變換,是洛侖茲不變量,? 對比相應(yīng)的量,即,等,類比 洛侖茲坐標(biāo) 變換 得出 動量 能量 變換,100,等,類比,,101,102,狹義相對論基礎(chǔ),,103,