2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個重要的不等式 1.1 簡單形式的柯西不等式課件 北師大版選修4-5.ppt

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第二章1柯西不等式,1.1簡單形式的柯西不等式,,學(xué)習(xí)目標(biāo)1.認(rèn)識簡單形式的柯西不等式的代數(shù)形式和向量形式，理解它們的幾何意義.2.會用柯西不等式證明一些簡單的不等式，會求某些特定形式的函數(shù)的最值.,,,問題導(dǎo)學(xué),達(dá)標(biāo)檢測,,題型探究,內(nèi)容索引,問題導(dǎo)學(xué),知識點(diǎn)簡單形式的柯西不等式,思考1(a2＋b2)(c2＋d2)與4abcd的大小關(guān)系如何？那么(a2＋b2)(c2＋d2)與(ac＋bd)2的大小關(guān)系又如何？,答案(a2＋b2)(c2＋d2)≥4abcd，(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.,思考2當(dāng)且僅當(dāng)a＝b且c＝d時，(a2＋b2)(c2＋d2)＝4abcd，那么在什么條件下(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2?,答案當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時，(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2.,思考3若向量α＝(a，b)，向量β＝(c，d)，你能從向量的數(shù)量積與向量模的積之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)怎樣的不等式？,梳理(1)簡單形式的柯西不等式①定理1：對任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥.當(dāng)向量(a，b)與向量(c，d)時，等號成立.②簡單形式的柯西不等式的推論(a＋b)(c＋d)≥____________(a，b，c，d為非負(fù)實(shí)數(shù))；≥(a，b，c，d∈R)；≥(a，b，c，d∈R).以上不等式，當(dāng)向量(a，b)與向量(c，d)共線時，等號成立.,(ac＋bd)2,共線,|ac＋bd|,|ac|＋|bd|,(2)柯西不等式的向量形式設(shè)α，β是任意兩個向量，則|α||β||αβ|，當(dāng)向量α，β時，等號成立.,≥,共線,題型探究,類型一利用柯西不等式證明不等式,例1(1)已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求證：|ax＋by|≤1；,證明,∴當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，等號成立.,證明,反思與感悟利用柯西不等式的代數(shù)形式證明某些不等式時，要抓住不等式的基本特征：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R或(a＋b)(c＋d)≥其中a，b，c，d∈R＋.找出待證不等式中相應(yīng)的兩組數(shù)，當(dāng)這兩組數(shù)不太容易找時，需分析，增補(bǔ)(特別是對數(shù)字的增補(bǔ)：如a＝1a)，變形等.,證明,證明∵a1，a2，b1，b2∈R＋，,例2若實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2＋4y2＋z2＝3，求證：|x＋2y＋z|≤3.,證明,證明因?yàn)閤2＋4y2＋z2＝3，所以由柯西不等式得[x2＋(2y)2＋z2](12＋12＋12)≥(x＋2y＋z)2,整理得(x＋2y＋z)2≤9，即|x＋2y＋z|≤3.,反思與感悟(1)抓住柯西不等式的特征“方、和、積”，構(gòu)造使用柯西不等式的條件.(2)此類題也可以用三角不等式，把△ABO的三個頂點(diǎn)分別設(shè)為O(0,0)，A(x1，x2)，B(－y1，－y2)即可.,證明∵a－c＝(a－b)＋(b－c)，又a>b>c，∴a－c>0，a－b>0，b－c>0.,證明,類型二利用柯西不等式求最值,例3若3x＋4y＝2，試求x2＋y2的最小值及最小值點(diǎn).,解由柯西不等式，得(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，,解答,反思與感悟利用柯西不等式求最值(1)先變形湊成柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，是利用柯西不等式求解的先決條件.(2)有些最值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項(xiàng)或和為常數(shù)的各項(xiàng)，就可以應(yīng)用柯西不等式來解，這也是運(yùn)用柯西不等式解題的技巧.(3)有些最值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達(dá)到目的，但在運(yùn)用過程中，每運(yùn)用一次前后等號成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會出現(xiàn)錯誤.多次反復(fù)運(yùn)用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.,跟蹤訓(xùn)練3已知a，b∈R，且9a2＋4b2＝18，求3a＋2b的最值.,解答,解由柯西不等式，得(9a2＋4b2)(12＋12)≥(3a＋2b)2，∵9a2＋4b2＝18，∴36≥(3a＋2b)2.∴|3a＋2b|≤6.,達(dá)標(biāo)檢測,1,2,4,3,5,解析(a2＋b2)(32＋22)≥(3a＋2b)2，當(dāng)且僅當(dāng)3b＝2a時取等號，所以(3a＋2b)2≤413.,1.已知a，b∈R，a2＋b2＝4，則3a＋2b的最大值為,答案,解析,√,1,2,4,3,5,解析∵(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時，等號成立，∴a2＋b2≥2.,2.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，則,答案,解析,√,1,2,4,3,5,∴最小值為9.,答案,解析,9,1,2,4,3,5,解析∵(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2＝25，∴m2＋n2≥5.,答案,解析,當(dāng)且僅當(dāng)an＝bm時取等號.,1,2,4,3,5,5.已知a2＋b2＝1，求證：|acosθ＋bsinθ|≤1.,證明,證明∵1＝a2＋b2＝(a2＋b2)(cos2θ＋sin2θ)≥(acosθ＋bsinθ)2，∴|acosθ＋bsinθ|≤1.,規(guī)律與方法,1.利用柯西不等式的關(guān)鍵是找出相應(yīng)的兩組數(shù)，應(yīng)用時要對照柯西不等式的原形，進(jìn)行多角度的嘗試.2.柯西不等式取等號的條件的記憶方法如(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2等號成立的條件是ad＝bc，可以把a(bǔ)，b，c，d看成等比，則ad＝bc來聯(lián)想記憶.,本課結(jié)束,,