《線性代數(shù)經(jīng)濟數(shù)學(xué)》課程習(xí)題集.pdf

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《 線 性 代 數(shù) (經(jīng) 濟 數(shù) 學(xué) 2） 》 課 程 習(xí) 題 集 西 南 科 技 大 學(xué) 成 人 、 網(wǎng) 絡(luò) 教 育 學(xué) 院 版 權(quán) 所 有 習(xí) 題 【 說 明 】 ： 本 課 程 《 線 性 代 數(shù) (經(jīng) 濟 數(shù) 學(xué) 2） 》 （ 編 號 為 01007） 共 有 計 算 題 1,計 算 題 2,計 算 題 3,計 算 題 4,計 算 題 5等 多 種 試 題 類 型 ， 其 中 ， 本 習(xí) 題 集 中 有 [計 算 題 5]等 試 題 類 型 未 進 入 。 一 、 計 算 題 1 1. 設(shè) 三 階 行 列 式 為 求 余 子 式 M11， M12， M13及 代 數(shù) 余 子 式 A11， A12， A13． 2. 用 范 德 蒙 行 列 式 計 算 4階 行 列 式 3. 求 解 下 列 線 性 方 程 組 ： 其 中4. 問 取 何 值 時 齊 次 線 性 方 程 組 有 非 零 解 ？ 5. 問 取 何 值 時 齊 次 線 性 方 程 組 有 非 零 解 ？ 二 、 計 算 題 2 6. 計 算 的 值 。7. 計 算 行 列 式 的 值 。8. 計 算 的 值 。9. 計 算 行 列 式 的 值 。10. 計 算 的 值 。11. 求 滿 足 下 列 等 式 的 矩 陣 X。 12. A為 任 一 方 陣 ， 證 明 ， 均 為 對 稱 陣 。13. 設(shè) 矩 陣 求 AB．14. 已 知 求 和15. 用 初 等 變 換 法 解 矩 陣 方 程 AX=B 其 中 16. 設(shè) 矩 陣 求17. 求 的 逆 。 18. 設(shè) n階 方 陣 A可 逆 ， 試 證 明 A的 伴 隨 矩 陣 A*可 逆 ， 并 求 。19. 求 矩 陣的 逆 。 20. 求 矩 陣 的 逆 。 三 、 計 算 題 3 21. 設(shè) 矩 陣 求 矩 陣 A的 秩 R(A)。 22. 求 向 量 組 的 秩 。 其 中 ， ， ， ， 。23. 設(shè) 向 量 組 ， ， 可 由 向 量 組 ， ， 線 性 表 示 。 試 將 向 量 ， ， 由 ， ， 線 性 表 示 。24. 問 a取 什 么 值 時 下 列 向 量 組 線 性 相 關(guān) ？ a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T 25. 求 下 列 向 量 組 的 秩 , 并 求 一 個 最 大 無 關(guān) 組 a1(1 2 1 4)T a2(9 100 10 4)T a3(2 4 2 8)T。 四 、 計 算 題 4 26. 求 線 性 方 和 組 的 解 27. 求 解 下 列 線 性 方 程 組 28. 當 a、 b為 何 值 時 ， 線 性 方 程 組有 解 ， 當 其 有 解 時 ， 求 出 其 全 部 解 。 29. 求 解 齊 次 線 性 方 程 組30. 求 非 齊 次 方 程 組 的 一 個 解 及 對 應(yīng) 的 齊 次 線 性 方 程 組 的 基 礎(chǔ) 解 系 31. 試 用 正 交 變 換 法 將 下 列 二 次 型 化 為 標 準 形 ， 并 求 出 變 換 陣 ． 32. 設(shè) 矩 陣求 A的 正 交 相 似 對 角 陣 ， 并 求 出 正 交 變 換 陣 P。 33. 求 一 個 正 交 變 換 將 二 次 型 f2x123x223x334x2x3化 成 標 準 形 。 34. 求 一 個 正 交 變 換 將 二 次 型 fx12x22x32x422x1x22x1x42x2x32x3x4化 成 標 準 形 。35. 試 求 一 個 正 交 的 相 似 變 換 矩 陣 , 將 對 稱 陣 化 為 對 角 陣 。 五 、 計 算 題 5 （ 略 ） … … 答 案 一 、 計 算 題 1 1. 解 ： ， （ 3分 ） ， （ 6分 ） ， （ 8分 ）2. 解 ： 對 照 范 德 蒙 行 列 式 ， 此 處 a 1=4， a2=3， a3=7， a4=-5 （ 3分 ） 所 以 有 （ 5分 ） =10368 （ 8分 ） 3. 解 ： 寫 出 系 數(shù) 行 列 式 D （ 3分 ） D為 n 階 范 德 蒙 行 列 式 ， 據(jù) 題 設(shè) （ 5分 ） 由 克 萊 姆 法 則 知 方 程 組 有 唯 一 解 。 易 知 （ 8分 ）4. 解 系 數(shù) 行 列 式 為 （ 4分 ） 令 D0 得 0或 1 （ 6分 ）于 是 當 0或 1時 該 齊 次 線 性 方 程 組 有 非 零 解 （ 8分 ） 5. 解 系 數(shù) 行 列 式 為 （ 4分 ） (1)3(3)4(1)2(1)(3+) (1)32(1)23 （ 6分 ） 令 D0 得 0 2或 3于 是 當 0 2或 3時 該 齊 次 線 性 方 程 組 有 非 零 解 （ 8分 ） 二 、 計 算 題 2 6. 解 ： （ 4分 ） （ 8分 ） （ 10分 ）7. 解 （ 2分 ） （ 4分 ） （ 6分 ） （ 8分 ） =-60（ 10分 ）8. 解 ： （ 5分 ） （ 10分 ） 9. 解 ： 對 于 行 列 式 ， 使 用 性 質(zhì) 進 行 計 算 。有 （ 第 3列 減 第 2列 ） （ 3分 ） （ 第 2列 減 第 1列 ） （ 6分 ）（ 由 于 2， 3列 對 應(yīng) 相 等 ） （ 8分 ） =0（ 10分 ） 10. 解 （ 5分 ） （ 10分 ） 11. 解 將 上 述 等 式 看 成 （ 2分 ） 由 矩 陣 的 加 法 及 數(shù) 乘 矩 陣 的 運 算 規(guī) 律 ， 得 ∴ （ 4分 ） =（ 6分 ） = （ 8分 ） =（ 10分 ）12. 證 ： 對 稱 陣 ： （ 20分 ） （ 4分 ） ∴ 是 對 稱 陣 . （ 6分 ） （ 8分 ） ∴ 是 對 稱 陣 （ 10分 ）13. 解 AB （ 2分 ） （ 6分 ） （ 8分 ） （ 10分 ）14. 解 （ 3分 ） ∴ （ 6分 ） 而 （ 10分 ） 15. 解 （ 1分 ） （ 3分 ） （ 5分 ） （ 7分 ） （ 9分 ） ∴ X=A-1B （ 10分 ）16. 解 ： （ 2分 ） （ 4分 ） （ 6分 ） （ 8分 ） 于 是 （ 1 0 分 ） 17. 解 ： （ 3分 ） （ 7分 ） ∴ （ 10分 ）18. 證 ： 因 為 A可 逆 ， 所 以 |A|≠ 0， （ 1分 ） 且 于 是 有 A*=|A|A-1 （ 3分 ） 對 上 式 兩 邊 取 行 列 式 ， 并 由 方 陣 行 列 式 性 質(zhì) （ 2） （ 注 意 |A| 是 一 個 數(shù) ） 得 |A*|=||A|A-1| =|A|n|A-1| （ 5分 ）又 因 |A-1|≠ 0 （ ∵ A可 逆 ， 由 定 義 知 A-1可 逆 ） ∴ |A*|≠ 0 所 以 A*是 可 逆 的 ． （ 6分 ） 因 為 （ 8分 ） 可 知 （ 10分 ）19. 解 ： 令 ， （ 2分 ） 于 是 則 （ 4分 ） 用 伴 隨 矩 陣 極 易 寫 出 （ 6分 ） （ 8分 ） （ 10分 ） 20. 解 |A|20 故 A1存 在 （ 2分 ） 因 為 （ 6分 ） 所 以 （ 10分 ） 三 、 計 算 題 3 21. 解 ： 對 A作 初 等 行 變 換 ， 將 它 化 為 階 梯 形 ， 有 （ 2分 ） （ 4分 ） （ 6分 ） （ 8分 ） 最 后 階 梯 形 矩 陣 的 秩 為 3， 所 以 R(A)=3 （ 12分 ） 22. 解 ： 把 排 成 的 矩 陣 A（ 2 分 ） （ 8 分 ） 這 是 一 個 "下 三 角 形 "矩 陣 （ 1 2 分 ）23. 解 ： 由 上 視 為 的 線 性 方 程 組 ， 解 出 來 。 （ 2分 ） （ 6分 ） （ 10分 ）所 以 （ 12分 ） 24. 解 以 所 給 向 量 為 列 向 量 的 矩 陣 記 為 A （ 2分 ） 由 （ 8分 ） 知 當 a1、 0、 1時 R(A)3 此 時 向 量 組 線 性 相 關(guān) （ 12分 ）25. 解 由 （ 7分 ） 知 R(a1 a2 a3)2 因 為 向 量 a1與 a2的 分 量 不 成 比 例 故 a1 a2線 性 無 關(guān) 所 以 a1 a2是 一 個 最 大 無 關(guān) 組 （ 12分 ） 四 、 計 算 題 4 26. 解 ： （ 3分 ） （ 6分 ） （ 9分 ） 方 程 有 解 （ 12分 ） 視 x 3為 自 由 未 知 量 ， 方 程 組 有 無 數(shù) 多 個 解 （ 即 解 不 唯 一 ）（ 15分 ） 27. 解 ： （ 3分 ） （ 6分 ） 到 此 ， ,導(dǎo) 出 組 基 礎(chǔ) 解 系 含 5－ 2=3個 基 礎(chǔ) 解 向 量 ． 導(dǎo) 出 組 有 2 個 自 由 未 知 量 ． 由 最 后 的 矩 陣 看 取 為 自 由 未 知 量 ． （ 8分 ） 寫 出 同 解 方 程 組 并 把 自 由 未 知 量 移 到 等 號 右 端 （ 等 號 右 端 自 由 未 知 量 以 表 示 ） 得 ： （ 12分 ） 即 （ 15分 ） 28. 解 ： （ 3分 ） （ 5分 ） 時 方 程 組 有 解 （ 無 窮 多 解 ） 。 （ 7分 ） （ 10分 ） 得 一 般 解 ： 補 齊 用 解 向 量 形 式 表 出 為 ： （ 15分 ）29. 解 （ 第 1行 乘 -2， -5分 別 加 到 第 2， 3行 ） （ 1分 ） （ 第 2行 乘 -6加 到 第 3行 ） （ 2分 ） （ 第 2行 與 第 3行 交 換 ） （ 3分 ） （ 第 2行 乘 3加 到 第 3行 ） （ 4分 ） （ 第 3行 乘 ） （ 5分 ） （ 第 3行 乘 17加 到 第 2行 ） （ 6分 ） （ 第 2行 乘 -2加 到 第 1行 ） （ 7分 ） （ 第 3行 乘 5加 到 第 1行 ） （ 8分 ） （ 9分 ） 因 為 ， ， 且 左 上 角 化 成 了 三 階 單 位 方 陣 ， 所 以 基 礎(chǔ) 解 系 中 應(yīng) 含 有 一個 解 向 量 ． （ 10分 ） 與 原 方 程 同 解 的 方 程 組 有 （ 12分 ） 即 （ 15分 ） 30. 解 對 增 廣 矩 陣 進 行 初 等 行 變 換 有（ 3分 ） 與 所 給 方 程 組 同 解 的 方 程 為 （ 6分 ） 當 x30時 得 所 給 方 程 組 的 一 個 解 (8 13 0 2)T （ 9分 ） 與 對 應(yīng) 的 齊 次 方 程 組 同 解 的 方 程 為 （ 12分 ） 當 x31時 得 對 應(yīng) 的 齊 次 方 程 組 的 基 礎(chǔ) 解 系 (1 1 1 0)T （ 15分 ） 31. 解 （ 2分 ） （ 4分 ） （ 6分 ） （ 8分 ） 對 應(yīng) 的 特 征 向 量 ， ， （ 10分 ） 標 準 化 ， ， （ 12分 ） ∴ 正 交 變 換 陣 為 CTAC （ 15分 ）32. 解 （ 1） ∴ A的 特 征 值 是 ． （ 2分 ） 得 A的 正 交 相 似 的 對 角 陣 （ 4分 ） （ 2） 對 于 ， 由 得 基 礎(chǔ) 解 系 （ 6分 ） 對 于 ， 由 得 基 礎(chǔ) 解 系 （ 8分 ） 對 于 ， 由 得 基 礎(chǔ) 解 系 （ 10分 ） （ 3） 由 于 屬 于 A的 3個 不 同 特 征 值 的 特 征 向 量 ， 它 們 必 正 交 ． 將 其 標 準 化 ， 得 （ 12分 ） （ 4） 寫 出 正 交 變 換 陣 （ 14分 ） （ 5） 有 （ 15分 ） 33. 解 二 次 型 的 矩 陣 為 由得 A的 特 征 值 為 12 25 31 （ 3分 ） 當 12時 , 解 方 程 (A2E)x0 由得 特 征 向 量 (1 0 0)T 取 p 1(1 0 0)T（ 6分 ） 當 25時 解 方 程 (A5E)x0 由得 特 征 向 量 (0 1 1)T 取 （ 9分 ） 當 31時 解 方 程 (AE)x0 由 得 特 征 向 量 (0 1 1)T 取 （ 12分 ） 于 是 有 正 交 矩 陣 T(p1 p2 p3)和 正 交 變 換 xTy 使 f2y125y22y32（ 15分 ） 34. 解 二 次 型 矩 陣 為 由 （ 3分 ） 得 A的 特 征 值 為 11 23 341 當 11時 可 得 單 位 特 征 向 量 （ 6分 ） 當 23時 可 得 單 位 特 征 向 量 （ 9分 ） 當 341時 可 得 線 性 無 關(guān) 的 單 位 特 征 向 量 （ 12分 ） 于 是 有 正 交 矩 陣 T( p1 p2 p3 p4)和 正 交 變 換 xTy 使 fy123y22y32y42（ 15分 ） 35. 解 :將 所 給 矩 陣 記 為 A 由 (1)(4)(2) 得 矩 陣 A的 特 征 值 為 12 21 34 （ 3分 ） 對 于 12 解 方 程 (A2E)x0 即 得 特 征 向 量 (1 2 2)T 單 位 化 得 （ 6分 ） 對 于 21, 解 方 程 (AE)x0 即 得 特 征 向 量 (2 1 2)T 單 位 化 得 （ 9分 ） 對 于 34, 解 方 程 (A4E)x0 即 得 特 征 向 量 (2 2 1)T 單 位 化 得 （ 12分 ） 于 是 有 正 交 陣 P(p1 p2 p3) 使 P1APdiag(2 1 4) （ 15分 ） 五 、 計 算 題 5 （ 略 ） … …