《線性代數(shù)經(jīng)濟數(shù)學(xué)2》課程習(xí)題集.doc

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《線性代數(shù)(經(jīng)濟數(shù)學(xué)2）》課程習(xí)題集 西南科技大學(xué)成人、網(wǎng)絡(luò)教育學(xué)院 版權(quán)所有 習(xí)題 【說明】：本課程《線性代數(shù)(經(jīng)濟數(shù)學(xué)2）》（編號為01007）共有計算題1,計算題2,計算題3,計算題4,計算題5等多種試題類型，其中，本習(xí)題集中有[計算題5]等試題類型未進入。 一、計算題1 1. 設(shè)三階行列式為求余子式M11，M12，M13及代數(shù)余子式A11，A12，A13． 2. 用范德蒙行列式計算4階行列式 　　　　 3. 求解下列線性方程組： 　　　　　 　　　其中 4. 問l, m取何值時, 齊次線性方程組有非零解？ 5. 問l取何值時, 齊次線性方程組有非零解？ 二、計算題2 6. 計算的值。 7. 計算行列式的值。 8. 計算的值。 9. 計算行列式的值。 10. 計算的值。 11. 求滿足下列等式的矩陣X。 　　　　　 12. A為任一方陣，證明，均為對稱陣。 13. 設(shè)矩陣 　　　　　 　　　求AB． 14. 已知 　　　　 　　　　求和 15. 用初等變換法解矩陣方程 AX=B 其中 　　　 16. 設(shè)矩陣 　　　　 求 17. 求的逆。 18. 設(shè)n階方陣A可逆，試證明A的伴隨矩陣A*可逆，并求。 19. 求矩陣 的逆。 20. 求矩陣的逆。 三、計算題3 21. 設(shè)矩陣 　　　　 　　　求矩陣A的秩R(A)。 22. 求向量組的秩。其中，，，，。 23. 設(shè)向量組，，可由向量組，，線性表示。 　　 試將向量，， 由 ，，線性表示。 24. 問a取什么值時下列向量組線性相關(guān)？ a1=(a, 1, 1)T, a2=(1, a, -1)T, a3=(1, -1, a)T. 25. 求下列向量組的秩, 并求一個最大無關(guān)組: a1=(1, 2, -1, 4)T, a2=(9, 100, 10, 4)T, a3=(-2, -4, 2, -8)T。 四、計算題4 26. 求線性方和組的解 　　　　 27. 求解下列線性方程組 　　　　 28. 當a、b為何值時，線性方程組 有解，當其有解時，求出其全部解。 29. 求解齊次線性方程組 30. 求非齊次方程組的一個解及對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系: 31. 試用正交變換法將下列二次型化為標準形，并求出變換陣． 　　　　 32. 設(shè)矩陣 求A的正交相似對角陣，并求出正交變換陣P。 33. 求一個正交變換將二次型f=2x12+3x22+3x33+4x2x3化成標準形。 34. 求一個正交變換將二次型f=x12+x22+x32+x42+2x1x2-2x1x4-2x2x3+2x3x4化成標準形。 35. 試求一個正交的相似變換矩陣, 將對稱陣化為對角陣。 五、計算題5 （略）…… 答案 一、計算題1 1. 解：　　　 ，（3分） ，（6分） ，（8分） 2. 解：　對照范德蒙行列式，此處 　　　　　a1=4，a2=3，a3=7，a4=-5 （3分） 　　　所以有 　　　　 （5分） =10368 （8分） 3. 解：寫出系數(shù)行列式D 　　　　 （3分） 　　　D為n 階范德蒙行列式，據(jù)題設(shè) 　　　 （5分） 　　　由克萊姆法則知方程組有唯一解。 易知 　　　　　 　　　　　 （8分） 4. 解 系數(shù)行列式為 . （4分） 令D=0, 得 m=0或l=1. （6分） 于是, 當m=0或l=1時該齊次線性方程組有非零解. （8分） 5. 解 系數(shù)行列式為 （4分） =(1-l)3+(l-3)-4(1-l)-2(1-l)(-3+l) =(1-l)3+2(1-l)2+l-3. （6分） 令D=0, 得 l=0, l=2或l=3. 于是, 當l=0, l=2或l=3時, 該齊次線性方程組有非零解. （8分） 二、計算題2 6. 解： 　　　　 （4分） 　　 　 （8分） 　　　　　 （10分） 7. 解 　　　　?。?分） 　　　　　?。?分） 　　　　　　 （6分） 　　　　　　 （8分） 　　　　　　=-60（10分） 8. 解： 　　　　　（5分） 　　　　　 （10分） 9. 解：對于行列式，使用性質(zhì)進行計算。 有?。ǖ?列減第2列）（3分） （第2列減第1列）（6分） （由于2，3列對應(yīng)相等）（8分） =0（10分） 10. 解 （5分） .（10分） 11. 解　將上述等式看成 （2分） 　　　　　　由矩陣的加法及數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律，得 　　　　　　 　　　　　　∴（4分） 　　　　　　　　=（6分） 　　　　　　　　= （8分） 　　　　　　　　=（10分） 12. 證：對稱陣： （20分） 　　　?。?分） 　　　　∴ 是對稱陣. （6分） 　　　　（8分） 　　　　∴ 是對稱陣（10分） 13. 解 AB 　　　 　 　 （2分） 　　　 　 　 （6分） 　　　 　 ?。?分） 　　　 ?。?0分） 14. 解 　　　（3分） 　　　∴（6分） 　　　而 　　　　 （10分） 15. 解 　　　 （1分） 　　　　　 （3分） 　　　　　 （5分） 　　　　　 （7分） 　　　　　 　　　　　 （9分） 　　　∴ X=A-1B 　　　　　 （10分） 16. 解：（2分） 　?。?分）　　　 　?。?分）　　　 　　?。?分）　 　　于是 　　　?。?0分） 17. 解： 　　　（3分） 　　　 （7分） 　　　∴ （10分） 18. 證： 因為A可逆，所以|A|≠0，（1分） 　　　且 　　　于是有 A*=|A|A-1 （3分） 　　　對上式兩邊取行列式，并由方陣行列式性質(zhì)（2）（注意|A|是一個數(shù)）得 　　　|A*|=||A|A-1| =|A|n|A-1| （5分） 又因 　　　|A-1|≠0 （∵A可逆，由定義知A-1可逆） 　　　∴|A*|≠0 　　所以A*是可逆的． （6分） 　　因為 　　?。?分） 　　可知 　　　 （10分） 19. 解：令，（2分）于是 　　　　　則 （4分） 　　　　　用伴隨矩陣極易寫出 （6分） 　　　　　　 （8分） 　　　　 （10分） 20. 解 . |A|=20, 故A-1存在. （2分）因為 , （6分） 所以 . （10分） 三、計算題3 21. 解：對A作初等行變換，將它化為階梯形，有 　　　（2分） 　　　　 （4分） 　　　　 （6分） 　　　　　 （8分） 　　　最后階梯形矩陣的秩為3，所以R(A)=3 （12分） 22. 解：把排成 的矩陣A（2分） 　　　（8分） 　　　這是一個"下三角形"矩陣　 　　?。?2分） 23. 解：由上視為 的線性方程組，解出 來。 　　　 （2分） 　 （6分） 　 （10分） 所以?。?2分） 24. 解 以所給向量為列向量的矩陣記為A. （2分）由 （8分） 知, 當a=-1、0、1時, R(A)<3, 此時向量組線性相關(guān). （12分） 25. 解　由 , （7分） 知R(a1, a2, a3)=2. 因為向量a1與a2的分量不成比例, 故a1, a2線性無關(guān), 所以a1, a2是一個最大無關(guān)組. （12分） 四、計算題4 26. 解： 　　　?。?分） 　　　　?。?分） 　　　　?。?分） 　　　　方程有解 　　　　　（12分） 　　　視 x3為自由未知量，方程組有無數(shù)多個解（即解不唯一）（15分） 27. 解： 　　?。?分） 　　　 （6分） 　　　到此， ,導(dǎo)出組基礎(chǔ)解系含5－2=3個基礎(chǔ)解向量．導(dǎo)出組有2 個自由未知量．由最后的矩陣看取為自由未知量．（8分） 　　　寫出同解方程組并把自由未知量移到等號右端（等號右端自由未知量以 表示）得： 　　　　 （12分） 　　　即　 （15分） 28. 解：　 　（3分） 　　　 （5分） 時 　方程組有解（無窮多解）。（7分） 　?。?0分） 　　 得一般解： 　　　　　　　　 　　　補齊　 　　　　　　 　　　　　　 　　　用解向量形式表出為： 　　　　 （15分） 29. 解 （第1行乘-2，-5分別加到第2，3行）（1分） （第2行乘-6加到第3行）（2分） （第2行與第3行交換）（3分） （第2行乘3加到第3行）（4分） （第3行乘）（5分） 　?。ǖ?行乘17加到第2行）（6分） （第2行乘-2加到第1行）（7分） （第3行乘5加到第1行）（8分） （9分） 因為，，且左上角化成了三階單位方陣，所以基礎(chǔ)解系中應(yīng)含有一個解向量．（10分） 與原方程同解的方程組有 （12分） 即 （15分） 30. 解 對增廣矩陣進行初等行變換, 有 .（3分） 與所給方程組同解的方程為 .（6分） 當x3=0時, 得所給方程組的一個解h=(-8, 13, 0, 2)T. （9分） 與對應(yīng)的齊次方程組同解的方程為 .（12分） 當x3=1時, 得對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系x=(-1, 1, 1, 0)T. （15分） 31. 解 　　　?。?分） 　　　　 （4分） 　　　　 （6分） 　　　　 　　　　 　　　　 （8分） 　　對應(yīng)的特征向量 　　　， ， （10分） 　　標準化 　　　， ，（12分） 　　∴ 正交變換陣為 　　　 　　　CTAC 　　　 　　　 　　　 （15分） 32. 解 　?。?） 　　　 　　　　　　　　 　　　∴ A的特征值是 ．（2分） 　　　得A的正交相似的對角陣 　　　　（4分） 　?。?）對于 ，由 　　　　 　　　得基礎(chǔ)解系 　　　　（6分） 　　　對于 ，由 　　　　 　　　得基礎(chǔ)解系 　　　　　（8分） 　　　對于 ，由 　　　　 　　　得基礎(chǔ)解系 　　　　（10分） 　　?。?）由于 屬于A的3個不同特征值 的特征向量，它們必正交．將其標準化，得 　　　　 　　　　 　　　　 （12分） 　　?。?）寫出正交變換陣 　　　　　 　　　　　　 （14分） 　　?。?）有 　　　　 （15分） 33. 解 二次型的矩陣為. 由 , 得A的特征值為l1=2, l2=5, l3=1. （3分） 當l1=2時, 解方程(A-2E)x=0, 由 , 得特征向量(1, 0, 0)T. 取p1=(1, 0, 0)T.（6分） 當l2=5時, 解方程(A-5E)x=0, 由 , 得特征向量(0, 1, 1)T. 取. （9分） 當l3=1時, 解方程(A-E)x=0, 由 , 得特征向量(0, -1, 1)T. 取. （12分） 于是有正交矩陣T=(p1, p2, p3)和正交變換x=Ty, 使 f=2y12+5y22+y32.（15分） 34. 解 二次型矩陣為. 由 ,（3分） 得A的特征值為l1=-1, l2=3, l3=l4=1. 當l1=-1時, 可得單位特征向量. （6分） 當l2=3時, 可得單位特征向量. （9分） 當l3=l4=1時, 可得線性無關(guān)的單位特征向量 , .（12分） 于是有正交矩陣T=( p1, p2, p3, p4)和正交變換x=Ty, 使 f=-y12+3y22+y32+y42.（15分） 35. 解:將所給矩陣記為A. 由 =(1-l)(l-4)(l+2), 得矩陣A的特征值為l1=-2, l2=1, l3=4. （3分） 對于l1=-2, 解方程(A+2E)x=0, 即 , 得特征向量(1, 2, 2)T , 單位化得. （6分） 對于l2=1, 解方程(A-E)x=0, 即 , 得特征向量(2, 1, -2)T , 單位化得. （9分） 對于l3=4, 解方程(A-4E)x=0, 即 , 得特征向量(2, -2, 1)T , 單位化得. （12分） 于是有正交陣P=(p1, p2, p3), 使P-1AP=diag(-2, 1, 4). （15分） 五、計算題5 （略）…… 第 25 頁 共 25 頁