普通物理學(xué)教程力學(xué)第二版課后題答案第四、十章.doc

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第四章 動(dòng)能和勢(shì)能 思 考 題 4.1 起重機(jī)起重重物。問(wèn)在加速上升、勻速上升、減速上升以及加速下降、勻速下降、減速下降六種情況下合力之功的正負(fù)。又：在加速上升和勻速上升了距離h這兩種情況中，起重機(jī)吊鉤對(duì)重物的拉力所做的功是否一樣多？ [解 答] 在加速上升、勻速上升、減速上升以及加速下降、勻速下降、減速下降六種況下合力之功的正負(fù)分別為：正、0、負(fù)、正、0、負(fù)。 在加速上升和勻速上升了距離h這兩種情況中，起重機(jī)吊鉤對(duì)重物的拉力所做的功不一樣多。加速上升 ；勻速上升 。 4.2 彈簧A和B，勁度系數(shù)，(1)將彈簧拉長(zhǎng)同樣的距離；(2)拉長(zhǎng)兩個(gè)彈簧到某一長(zhǎng)度時(shí)，所用的力相同。在這兩種情況下拉伸彈簧的過(guò)程中，對(duì)那個(gè)彈簧做的功更多？ [解 答] (1) 拉長(zhǎng)同樣距離 ｝,. (2) , , ｝, 4.3 “彈簧拉伸或壓縮時(shí)，彈簧勢(shì)能總是正的?！边@一論斷是否正確？如果不正確，在什么情況下，彈簧勢(shì)能會(huì)是負(fù)的。 [解 答] 與零勢(shì)能的選取有關(guān)。 4.4 一同學(xué)問(wèn)：“二質(zhì)點(diǎn)相距很遠(yuǎn)，引力很小，但引力勢(shì)能大；反之，相距很近，引力勢(shì)能反而小。想不通”。你能否給他解決這個(gè)疑難？ [解 答] 設(shè)兩物體（質(zhì)點(diǎn)）相距無(wú)限遠(yuǎn)處為零勢(shì)能。 4.5 人從靜止開(kāi)始步行，如鞋底不在地面上打滑，作用于鞋底的摩擦力是否做了功？人體的動(dòng)能是哪里來(lái)的？分析這個(gè)問(wèn)題用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理還是用能量守恒定律分析較為方便？ [解 答] （1）作用于鞋底的摩擦力沒(méi)有做功。 （2）人體的動(dòng)能是內(nèi)力做功的結(jié)果。 （3）用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理分析這個(gè)問(wèn)題較為方便。 4.6 一對(duì)靜摩擦力所做功的代數(shù)和是否總是負(fù)的？正的？為零？ [解 答] 不一定。 4.7 力的功是否與參考系有關(guān)？一對(duì)作用力與反作用力所做功的代數(shù)和是否和參考系有關(guān)？ [解 答] （1）有關(guān)。 如圖：木塊相對(duì)桌面位移（s-l）木板對(duì)木塊的滑動(dòng)摩擦力做功f(s-l)若以木板為參照系，情況不一樣。 （2）無(wú)關(guān)。相對(duì)位移與參照系選取有關(guān)。（代數(shù)和不一定為零） 4.8 取彈簧自由伸展時(shí)為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，畫(huà)出勢(shì)能曲線(xiàn)。再以彈簧拉伸或壓縮到某一程度時(shí)為勢(shì)能零點(diǎn)，畫(huà)出勢(shì)能曲線(xiàn)。根據(jù)不同勢(shì)能零點(diǎn)可畫(huà)出若干條勢(shì)能曲線(xiàn)。對(duì)重力勢(shì)能和萬(wàn)有引力勢(shì)能也可如此作，研究一下。 [解 答] （1）彈簧原長(zhǎng)為勢(shì)能零點(diǎn) 設(shè)處勢(shì)能為零。 （2）重力勢(shì)能：處勢(shì)能為零 處勢(shì)能為零 處勢(shì)能為零 萬(wàn)有引力勢(shì)能與上雷同。兩質(zhì)點(diǎn)距離無(wú)限遠(yuǎn)處勢(shì)能為零 習(xí) 題 4.2.2 本題圖表示測(cè)定運(yùn)動(dòng)體能的裝置。繩拴在腰間沿水平展開(kāi)跨過(guò)理想滑輪，下懸重物50kg。人用力向后登傳送帶而人的質(zhì)心相對(duì)于地面不動(dòng)。設(shè)傳送帶上側(cè)以2m/s的速率向后運(yùn)動(dòng)。問(wèn)運(yùn)動(dòng)員對(duì)傳送帶做功否？功率如何？ [解 答] 人作用到傳送帶上水平方向的力，大小為50g，方向向左。因?yàn)槭芰c(diǎn)有位移，所以運(yùn)動(dòng)員對(duì)傳送帶做功。 N=F=mg=50kg9.8N/kg2m/s=980w 4.2.3 一非線(xiàn)性拉伸彈簧的彈性力的大小為，表示彈簧的伸長(zhǎng)量，為正。（1）研究當(dāng)和時(shí)彈簧的勁度有何不同；（2）求出將彈簧由拉伸至?xí)r彈簧對(duì)外做的功。 [解 答] （1）根據(jù)題意 所以彈簧勁度為 當(dāng)時(shí)，由于，所以，彈簧的勁度隨彈簧的伸長(zhǎng)量的增加而增加。 當(dāng)時(shí)，彈簧的勁度隨彈簧的伸長(zhǎng)量的增加而減小。 當(dāng)時(shí)，彈簧的勁度不變。 以上三種情況的彈簧勁度系數(shù)如右圖所示： （2）將彈簧由拉伸至?xí)r，彈簧對(duì)外界所做的功是： 當(dāng)時(shí)，拉伸，外界做功，彈性力做負(fù)功。 當(dāng)時(shí)，縮短，彈性力做正功。 4.2.4 一輕細(xì)線(xiàn)系一小球，小球在光滑水平面上沿螺線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，繩穿過(guò)桌中心光滑圓孔，用力向下拉繩。證明力對(duì)線(xiàn)做的功等于線(xiàn)作用與小球的拉力所做的功。線(xiàn)不可伸長(zhǎng)。 [解 答] 設(shè)為繩作用在小球上的力。力對(duì)小球所做的功為 將分解為沿方向和與垂直方向的兩個(gè)分位移(為對(duì)點(diǎn)的位矢) 如圖： 又 ∵繩子不可伸長(zhǎng) ∴ （是力的作用點(diǎn)的位移） ∵ 4.2.5 一輛卡車(chē)能夠沿著斜坡以的速率向上行使，斜坡與水平的夾角的正切，所受的阻力等于卡車(chē)重量的0.04，如果卡車(chē)以同樣的功率勻速下坡，卡車(chē)的速率是多少？ [解 答] 取卡車(chē)為隔離體，卡車(chē)上下坡時(shí)均受到重力mg、牽引力F、地面支持力N和阻力f作用。受力分析如圖所示： 上坡受力分析 下坡受力分析 上坡時(shí)： ∵卡車(chē)作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng) ∴ 卡車(chē)的功率 下坡時(shí)： ∵卡車(chē)作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng) ∴ 卡車(chē)的功率 由題意： 4.3.1 質(zhì)量為m=0.5kg的木塊可在水平光滑直桿上滑動(dòng)。木塊與一不可伸長(zhǎng)的輕繩相連。繩跨過(guò)一固定的光滑小環(huán)。繩端作用著大小不變的力T=50N.木塊在A點(diǎn)時(shí)具有向右的速率。求力T將木塊自A拉至B點(diǎn)的速度。 [解 答] T A B A B o 做功為零 由動(dòng)能定理： 式中 利用積分公式： 則上式 注：關(guān)于T做功還有一種解法: 其中T為常量，其受力點(diǎn)的位移可利用三角形求。 4.3.2 質(zhì)量為1.2kg的木塊套在光滑鉛直桿上。不可伸長(zhǎng)的輕繩跨過(guò)固定的光滑小環(huán)，孔的直徑遠(yuǎn)小于它到桿的距離。繩端作用以恒力F，F(xiàn)=60N.木塊在處有向上的速度，求木塊被拉至B時(shí)的速度。 [解 答] 重力做功 方向向上 4.3.3 質(zhì)量為m的物體與輕彈簧相連，最初，m處于使彈簧既未壓縮也為伸長(zhǎng)的位置，并以速度向右運(yùn)動(dòng)。彈簧的勁度系數(shù)為，物體與支撐面之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為。求證物體能達(dá)到的最遠(yuǎn)距離為。 [解 答] 由： 所以： 解一元二次方程： 由 舍去負(fù)號(hào)： 4.3.4 圓柱形容器內(nèi)裝有氣體，容器內(nèi)壁光滑。質(zhì)量為m的活塞將氣體密封。氣體膨脹后的體積各為和，膨脹前的壓強(qiáng)為?；钊跛俣葹?。（1）求氣體膨脹后活塞的末速率，已知?dú)怏w膨脹時(shí)氣體壓強(qiáng)與體積滿(mǎn)足恒量。（2）若氣體壓強(qiáng)與體積的關(guān)系為恒量，為常量，活塞末速率又如何？（本題用積分） [解 答] （1） （2） 4.3.5 坐標(biāo)系與坐標(biāo)系各對(duì)應(yīng)軸平行。相對(duì)于沿x軸以作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。對(duì)于系，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理為，,沿x軸。根據(jù)伽利略變換證明：相對(duì)于系，動(dòng)能定理也取這種形式。 [解 答] ∵ ∴ ∵ ∴ 由動(dòng)能定理得： ∴ 最后可得： 說(shuō)明相對(duì)于系，動(dòng)能定理的形式不變。 4.3.6 帶電量為e的粒子在均勻磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)。A表示發(fā)射帶電粒子的離子源，發(fā)射的粒子在加速管道B中加速，得到一定速率后與C處在磁場(chǎng)洛侖茲力作用下偏轉(zhuǎn)，然后進(jìn)入漂移管道D。若粒子質(zhì)量不同或電量不同或速率不同，在一定磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的程度也不同。在本題裝置中，管道C中心軸線(xiàn)偏轉(zhuǎn)的半徑一定，磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度一定，粒子的電荷和速率一定，則只有一定質(zhì)量的離子能自漂移管道D中引出。這種裝置能將特定的粒子引出，稱(chēng)為“質(zhì)量分析器”。各種正離子自離子源A引出后，在加速管中受到電壓為V的電場(chǎng)加速。設(shè)偏轉(zhuǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，偏轉(zhuǎn)半徑為R.求證在管中得到的離子質(zhì)量為 . [解 答] 正離子從離子源引出后，在加速器中受到電壓V的電場(chǎng)加速。 正離子獲得的動(dòng)能為(電勢(shì)能) 正離子的速度 由于正離子在磁場(chǎng)受到洛侖茲力的作用而發(fā)生偏轉(zhuǎn) ∴ 即： 4.3.7 輕且不可伸長(zhǎng)的線(xiàn)懸掛質(zhì)量為500g的圓柱體。圓柱體又套在可沿水平方向移動(dòng)的框架內(nèi)，框架槽沿鉛直方向?？蚣苜|(zhì)量為200g。自懸線(xiàn)靜止于鉛直位置開(kāi)始，框架在水平力F=20.0N作用下移至圖中位置，球圓柱體的速度，線(xiàn)長(zhǎng)20cm，不計(jì)摩擦。 [解 答] 以輕繩，圓柱體和框架組成的質(zhì)點(diǎn)組所受外力有：圓柱體重力，框架重力，輕繩拉力和作用在框架上的水平力。其中輕繩的拉力和不做功。質(zhì)點(diǎn)組所受內(nèi)力：框架槽和小球的相互作用力、，由于光滑，所以、做功之和為零。質(zhì)點(diǎn)組所力情況如圖： 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能定理： （1） 為圓柱體的絕對(duì)速度 為框架的絕對(duì)速度。 由于（見(jiàn)下圖） 將此式投影到圖中所示的沿水平方向的ox軸上，得： 帶入（1）式中 解得： 4.4.1 二僅可壓縮的彈簧組成一可變勁度系數(shù)的彈簧組，彈簧1和2的勁度系數(shù)分別各為和。它們自由伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度相差。坐標(biāo)原點(diǎn)置于彈簧2自由伸展處。求彈簧組在和時(shí)彈性勢(shì)能的表示式。 [解 答] 彈性力 外力為 當(dāng)時(shí)，無(wú)勢(shì)能，只有有勢(shì)能。外界壓縮彈簧做功使勢(shì)能增加。設(shè)原點(diǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)，則： 時(shí)：原點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn) 對(duì)于：外力做功 對(duì)于：外力做功 4.5.1 滑雪運(yùn)動(dòng)員自A自由下滑，經(jīng)B越過(guò)寬為d的橫溝到達(dá)平臺(tái)C時(shí)，其速度剛好在水平方向，已知兩點(diǎn)的垂直高度為25m。坡道在B點(diǎn)的切線(xiàn)方向與水平面成300角，不計(jì)摩擦。求（1）運(yùn)動(dòng)員離開(kāi)B處的速率為，（2）B,C的垂直高度差h及溝寬d，（3）運(yùn)動(dòng)員到達(dá)平臺(tái)時(shí)的速率。 [解 答] （1）運(yùn)動(dòng)員在A到B的滑動(dòng)過(guò)程中，受到了重力和地面支持力作用。（忽略摩擦）。重力為保守力，支持力不做功，所以機(jī)械能守恒。 以B點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，得到運(yùn)動(dòng)員離開(kāi)B處的速率： （2）運(yùn)動(dòng)員從B到C做拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)竭_(dá)C點(diǎn)時(shí)，由題意知：沿水平方向，說(shuō)明正好到達(dá)拋物線(xiàn)的最高點(diǎn)。所以B、C的垂直高度 （3）因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)員做拋物運(yùn)動(dòng)時(shí)在水平方向不受力，所以水平方向的動(dòng)量守恒： （4）d的高度:水平射程的一半 4.5.2 裝置如圖所示：球的質(zhì)量為5kg，桿AB長(zhǎng)1cm，AC長(zhǎng)0.1m，A點(diǎn)距O點(diǎn)0.5m，彈簧的勁度系數(shù)為800N/m，桿AB在水平位置時(shí)恰為彈簧自由狀態(tài)，此時(shí)釋放小球，小球由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。球小球到鉛垂位置時(shí)的速度。不及彈簧質(zhì)量及桿的質(zhì)量，不計(jì)摩擦。 [解 答] 包含球桿彈簧的質(zhì)點(diǎn)組受力如圖所示： 不做功。 重力和彈性力為保守力（不計(jì)摩擦） 系統(tǒng)機(jī)械能守恒 設(shè)桿水平時(shí)勢(shì)能為零 （1） ∵（水平位置） （2） 將（2）式代入（1）式 4.5.3 物體Q與一勁度系數(shù)為24N/m的橡皮筋連結(jié)，并在一水平圓環(huán)軌道上運(yùn)動(dòng)，物體Q在A處的速度為1.0m/s，已知圓環(huán)的半徑為0.24m，物體Q的質(zhì)量為5kg，由橡皮筋固定端至B為0.16m，恰等于橡皮筋的自由長(zhǎng)度。求（1）物體Q的最大速度；（2）物體Q能否達(dá)到D點(diǎn)，并求出在此點(diǎn)的速度。 [解 答] （1）取物體Q為隔離體 在豎直方向上Q所受的力的矢量和為零。 而在水平方向只受到彈力和光滑圓弧的水平方向的作用力作用，為保守力，不做功。所以機(jī)械能守恒。 設(shè)彈簧勢(shì)能零點(diǎn)為彈簧原點(diǎn)處： （B點(diǎn)速度最大） （2）在D點(diǎn)彈性勢(shì)能為： 因?yàn)? 所以 4.6.1 盧瑟福在一篇文章中寫(xiě)道：可以預(yù)言，當(dāng)粒子與氫原子相碰時(shí)，可使之迅速運(yùn)動(dòng)起來(lái)。按正碰撞考慮很容易證明，氫原子速度可達(dá)粒子碰撞前速度的1.6倍，即占入射粒子能量的64%。試證明此結(jié)論（碰撞是完全彈性的，且粒子質(zhì)量接近氫原子質(zhì)量的四倍）。 [解 答] 設(shè)粒子的質(zhì)量為4，氫原子的質(zhì)量為；粒子的初速度為，氫原子的初速度為； 正碰后，粒子的速度為，氫原子的速度為。 由公式: 將以上數(shù)據(jù)代入： 入射粒子的能量： 氫原子碰后的能量： 則： 4.6.2 m為靜止車(chē)廂的質(zhì)量，質(zhì)量為M的機(jī)車(chē)在水平軌道上自右方以速率滑行并與m碰撞掛鉤。掛鉤后前進(jìn)了距離s然后靜止。求軌道作用于車(chē)的阻力。 [解 答] 選取機(jī)車(chē)和車(chē)廂為質(zhì)點(diǎn)組 掛鉤時(shí)為完全非彈性碰撞。因?yàn)闆_擊力大于阻力，可視為動(dòng)量守恒。 撞后：由動(dòng)能定理 4.6.3 兩球具有相同的質(zhì)量和半徑，懸掛于同一高度。靜止時(shí)，兩球恰能接觸且懸線(xiàn)平行。碰撞的恢復(fù)系數(shù)為e。若球A自高度釋放，求該球彈回后能達(dá)到的高度。又問(wèn)若兩球發(fā)生完全彈性碰撞，會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象，試描述之。 [解 答] （1）A球碰前的速度，由機(jī)械能守恒： （1） A與B發(fā)生非彈性碰撞 （2） 又知： （3） 由（1）（2）（3）式得： （4） A球上升高度：機(jī)械能守恒 （2）若兩球發(fā)生完全彈性碰撞 由（4）式 再由（2）式 即A球靜止，B球以A球碰前的速度開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。當(dāng)B球上升后（高度）又落下與A球再次發(fā)生完全彈性碰撞。 ，A球以速度開(kāi)始向上運(yùn)動(dòng)。如此往復(fù)。 4.6.4 質(zhì)量為2g的子彈以500m/s的速度射向質(zhì)量為1kg、用1m長(zhǎng)的繩子懸掛著的擺。子彈穿過(guò)擺后仍然有100m/s的速度。問(wèn)擺沿鉛直方向升起若干。 [解 答] 第一階段，動(dòng)量守恒 第二階段，機(jī)械能守恒 4.6.5 一質(zhì)量為200g的框架，用一彈簧懸掛起來(lái)使彈簧伸長(zhǎng)10cm。今有一質(zhì)量為200g的鉛塊在高30cm處從靜止開(kāi)始落入框架。秋此框架向下移動(dòng)的最大距離。彈簧質(zhì)量不計(jì)?？諝庾枇Σ挥?jì)。 [解 答] 鉛塊下落到框底速度為 （1） 接下來(lái)，鉛塊與框架底發(fā)生完全非彈性碰撞。由于沖擊力大于重力、彈性力，可視為動(dòng)量守恒。 （2） （由于碰撞時(shí)間短，下降距離為零） 以后以共同速度下降：機(jī)械能守恒 設(shè)彈簧自由伸長(zhǎng)處框架底板的位置為重力、彈性勢(shì)能零點(diǎn)。碰撞前彈簧伸長(zhǎng)為，碰撞后質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)的最大距離為。 （3） 依題意 （4） （2）（4）式代入（3）式： 舍去負(fù)號(hào)項(xiàng)， 4.6.6 質(zhì)量為=0.790kg和=0.800kg的物體以勁度系數(shù)為10N/m的輕彈簧相連，置于光滑水平桌面上。最初彈簧自由伸張。質(zhì)量為0.01kg的子彈以速率=100m/s沿水平方向射于內(nèi)，問(wèn)彈簧最多壓縮了多少？ [解 答] 第一階段：完全非彈性碰撞 （1） 第二階段：彈簧被壓縮最甚，動(dòng)量守恒。 （2） （為共同速度） 再由機(jī)械能守恒： （3） 有（1）（2）（3）式解出： 4.6.7 一10g的子彈沿水平方向以速率110m/s擊中并嵌入質(zhì)量為100g小鳥(niǎo)體內(nèi)。小鳥(niǎo)原來(lái)站在離地面4.9m高的樹(shù)枝上，求小鳥(niǎo)落地處與樹(shù)枝的水平距離。 [解 答] 第一階段是子彈擊中小鳥(niǎo)，兩者發(fā)生完全非彈性碰撞 水平方向動(dòng)量守恒： （為子彈、小鳥(niǎo)共同速度） 第二階段是子彈和小鳥(niǎo)一起做平拋運(yùn)動(dòng) 小鳥(niǎo)落地時(shí)間： 水平距離： 4.6.8 在一鉛直面內(nèi)有一個(gè)光滑軌道，左面是一個(gè)上升的曲線(xiàn)，右邊是足夠長(zhǎng)的水平直線(xiàn)，二者平滑連接，現(xiàn)有A、B兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，B在水平軌道上靜止，A在曲線(xiàn)部分高h(yuǎn)處由靜止滑下，與B發(fā)生完全彈性碰撞。碰后仍可返回上升到曲線(xiàn)軌道某處，并再度下滑，已知A、B兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為和。求至少發(fā)生兩次碰撞的條件。 [解 答] 分三個(gè)階段： 第一階段，A第一次與B完全彈性碰撞。 設(shè)，A撞前速度為，撞后速度為； B撞前速度為零，撞后速度為。 由公式： 得： 要使質(zhì)點(diǎn)返回，必須，即 第二階段，A返回上升到軌道某處，并再度下滑到平面軌道。 由機(jī)械能守恒： （是再度下滑到平面軌道的速度） 得 第三階段，A，B再次碰撞。 要求，即將上面的，代入此式 即 這是A，B至少發(fā)生兩次碰撞的條件。 4.6.9 一鋼球靜止地放在鐵箱的光滑底面上，如圖示。CD長(zhǎng)。鐵箱與地面間無(wú)摩擦。鐵箱被加速至?xí)r開(kāi)始做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。后來(lái)，鋼球與箱壁發(fā)生完全彈性碰撞。問(wèn)碰后再經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間鋼球與BD壁相碰？ [解 答] 選取鐵箱和鋼球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)組，以地面為參考系，坐標(biāo)系。 第一階段，鋼球與AC發(fā)生完全彈性碰撞。 設(shè)為鐵箱碰撞前后速度， 為小球碰撞前后速度。 由完全彈性碰撞： 即碰撞前后鋼球相對(duì)鐵箱的速度為。 第二階段，是鋼球在箱內(nèi)運(yùn)動(dòng)，直至與BD相碰。 取鋼球?yàn)檠芯繉?duì)象，選取鐵箱為參照系，由于鐵箱表面光滑，所以小球在箱內(nèi)作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)?？傻娩撉蚺龊笤倥c壁相碰的時(shí)間間隔為 4.6.10 兩車(chē)廂質(zhì)量均為M。左邊車(chē)廂與其地板上質(zhì)量為M的貨箱共同向右以運(yùn)動(dòng)。另一車(chē)廂以2從相反方向向左運(yùn)動(dòng)并與左車(chē)廂碰撞掛鉤，貨箱在地板上滑行的最大距離為。求： （1）貨箱與地板間的摩擦系數(shù)； （2）車(chē)廂在掛鉤后走過(guò)的距離，不計(jì)車(chē)地間摩擦。 [解 答] （1）第一步：兩車(chē)廂完全非彈性碰撞， 第二步：內(nèi)力作功，使體系動(dòng)能改變，由動(dòng)能定理以地面為參照系; （2）碰撞后系統(tǒng)在水平方向的動(dòng)能守恒。 系統(tǒng)的動(dòng)量： 系統(tǒng)總動(dòng)量為零，質(zhì)心不動(dòng)。 (常量) （1） （2） （3） 解（2）（3）式得： 4.7.1 質(zhì)量為m的氘核的速率u與靜止的質(zhì)量為2m的粒子發(fā)生完全彈性碰撞，氘核以與原方向成角散射。（1）求粒子的運(yùn)動(dòng)方向，（2）用u表示粒子的末速度，（3）百分之幾的能量由氘核傳給粒子？ [解 答] （1）由動(dòng)量守恒： 即： 由（完全彈性碰撞） 在方向上有關(guān)系式： （3） （1）（2）式代入（3）式得： （2） 由（1）式 （3） 動(dòng)能比： 4.7.2 參考3.8.7題圖。桑塔娜空車(chē)質(zhì)量為，載質(zhì)量為70kg一人，向北行駛。另一質(zhì)量為的切諾基汽車(chē)向東行駛。而車(chē)相撞后連成一體，沿東偏北滑出d=16m而停止。路面摩擦系數(shù)為。該地段規(guī)定車(chē)速不得超過(guò)80km/。問(wèn)那輛車(chē)違背交通規(guī)則？又問(wèn)因相撞損失多少動(dòng)能？ [解 答] 碰后的共同速度 （1） （2） （3） 解得： 切諾基超速。 碰撞損失的動(dòng)能： 第十章 波動(dòng)和聲 習(xí)題 10.2.1 頻率在20至20000Hz的彈性波能使人耳產(chǎn)生聽(tīng)到聲音的感覺(jué).0時(shí)，空氣中的聲速為331.5m/s，求這兩種頻率聲波的波長(zhǎng). [解 答] ∵ ∴ 10.2.2 一平面簡(jiǎn)諧聲波的振幅為0.001m，頻率為1483Hz，在20的水中傳播，寫(xiě)出其波方程. [解 答] 已知表P309知波速1483m/s。 設(shè)O-x軸沿波傳播方向，x表示質(zhì)元平衡位置坐標(biāo)，y表示質(zhì)心相對(duì)平衡位置的位移，選坐標(biāo)原點(diǎn)處位相為零的時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)。即原點(diǎn)處初相為零。則位于處的體元相位落后。即： 10.2.3 已知平面簡(jiǎn)諧波的振幅，波長(zhǎng)1m，周期為，寫(xiě)出波方程（最簡(jiǎn)形式）.又距波源9m和10m兩波面上的相位差是多少？ [解 答] 選坐標(biāo)原點(diǎn)處位相為零刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)。O-x軸沿波傳播方向，則可得波的最簡(jiǎn)形式： 代入已知數(shù)據(jù)得 設(shè)波源處為，則 因此位相差是： 10.2.4 寫(xiě)出振幅為A，，波速為，沿Ox軸正方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波方程.波源在原點(diǎn)O，且當(dāng)t=0時(shí)，波源的振動(dòng)狀態(tài)被稱(chēng)為零，速度沿Ox軸正方向. [解 答] 波源振動(dòng)方程： 因此波源振動(dòng)方程為： 任一處的位相比波源的相位落后，得波方程為 將已知量代入得： 10.2.5 已知波源在原點(diǎn)（）的平面簡(jiǎn)諧波方程為 ， A,b,c均為常量。試求：（1）振幅，頻率，波速和波長(zhǎng)；（2）寫(xiě)出在傳播方向上距波源處一點(diǎn)的振動(dòng)方程式，此質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的初位相如何？ [解 答] 與平面簡(jiǎn)諧波方程的標(biāo)準(zhǔn)形式比較可得： （1） 振幅為A，頻率：； 波速，波長(zhǎng) （2）時(shí)，該點(diǎn)的振動(dòng)方程式為： 此質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的初位相為 。 10.2.6 一平面簡(jiǎn)諧波逆軸傳播，波方程為 ， 試?yán)酶淖冇?jì)時(shí)起點(diǎn)的方法將波方程化成最簡(jiǎn)形式。 [解 答] ，最簡(jiǎn)形式應(yīng)為 如改變計(jì)時(shí)起點(diǎn)后的新計(jì)時(shí)系統(tǒng)以應(yīng)滿(mǎn)足 ，因此 即將計(jì)時(shí)起點(diǎn)提前3秒，就可將波方程化成最簡(jiǎn)形式 10.2.7 平面簡(jiǎn)諧波方程，試用兩種方法畫(huà)出時(shí)的波形圖。（SI） [解 答] 的波形圖。 方法一：有方程求得。 找出對(duì)應(yīng)于方程的各（x,y）點(diǎn),例如： 通過(guò)各點(diǎn)描繪出所求波形圖（右圖）。 方法二：由方程求得， 先畫(huà)出的圖形，在將縱坐標(biāo)軸向右移動(dòng)： 即向右移動(dòng)，就可以得到所求的波形圖。 10.2.8 對(duì)于平面簡(jiǎn)諧波畫(huà)出處體元的位移-時(shí)間曲線(xiàn)。畫(huà)出時(shí)的波形圖。 [解 答] （1） 可求得T=12s,t=0時(shí)； （2）t=3s、6s時(shí)波形圖 其相位與t=3s時(shí)相差，所以將t=3s的波形圖向右移，即得t=6s時(shí)的波形圖。 10.2.9 二圖分別表示向右和向左傳的兩列平面簡(jiǎn)諧波在某瞬時(shí)的波形圖，說(shuō)明此時(shí)以及各質(zhì)元的位移和速度為正還是為負(fù)？它們的相位如何？（對(duì)于和只要求說(shuō)明其相位在第幾象限） [解 答] 若波用余弦函數(shù)表示,則所求結(jié)果如下表. 橫坐標(biāo) 位移 速度 相位 正最大 0 負(fù) 負(fù) Ⅱ象限 0 負(fù)最大 正最大 0 負(fù) 正 Ⅲ象限 0 正最大 10.2.10 圖（a）、（b）分別表示和時(shí)的某一平面簡(jiǎn)諧波的波形圖。試寫(xiě)出此平面簡(jiǎn)諧波波方程。 (a) (b) [解 答] 由圖知 由圖(a)知,原點(diǎn)處質(zhì)元t=0時(shí),位移最大,速度為零,因此原點(diǎn)處質(zhì)元初相. 比較t=0和t=2s的(a)(b)圖知, 因此 取, 將之值代入波方程的一般表示式就可以得到所求波方程的一個(gè)表達(dá)式: 10.3.1 有一圓形橫截面的銅絲，手張力1.0N，橫截面積為1.0.求其中傳播橫波和縱波時(shí)的波速各多少？銅的密度為，銅的楊氏模量為. [解 答] 可把很細(xì)的銅絲看作柔軟的弦線(xiàn)(設(shè)弦線(xiàn)的密度為),計(jì)算在其中傳播的橫波的波速. 10.3.2 已知某種溫度下水中聲速為，求水的體變模量. [解 答] 已知 10.4.1 在直徑為14cm管中傳播的平面簡(jiǎn)諧聲波.平均能流密度，，.（1）求最大能量密度和平均能量密度，（2）求相鄰?fù)辔徊骈g的總能量. [解 答] (1) 能量密度 最大能量密度 能流密度 已知 平均能流密度 (2) 由于相鄰?fù)幌嗖骈g的距離為.一周期內(nèi)單位體積媒質(zhì)具有的平均能量為,因此相鄰?fù)幌嗖骈g的總能量為 10.4.3 面向街道的窗口面積約，街道上的噪聲在窗口的聲強(qiáng)級(jí)為60dB，問(wèn)有多少聲功率傳入室內(nèi)（即單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)入多少聲能）？ [解 答] 聲功率 10.4.4 距一點(diǎn)聲源10m的地方，聲音的聲強(qiáng)級(jí)為20dB.求（1）距聲源5m處的聲強(qiáng)級(jí)；（2）距聲源多遠(yuǎn)，就聽(tīng)不到1000Hz的聲音了？ [解 答] (1) (2) 設(shè)距聲源時(shí),剛好聽(tīng)不到聲音 10.5.1 聲音干涉儀用于顯示聲波的干涉,見(jiàn)圖.薄膜S在電磁鐵的作用下振動(dòng).D為聲音檢測(cè)器,SBD長(zhǎng)度可變,SAD長(zhǎng)度固定.聲音干涉儀內(nèi)充滿(mǎn)空氣.當(dāng)B處于某一位置時(shí),在D處聽(tīng)到強(qiáng)度為100單位的最小聲音,將B移動(dòng)則聲音加大,當(dāng)B移動(dòng)1.65時(shí)聽(tīng)到強(qiáng)度為900單位的最強(qiáng)音. (1)求聲波的頻率,(2)求到達(dá)D處二聲波振幅之比.已知聲速為342.4. [解 答] (1)由最小聲音到相鄰的最強(qiáng)音,經(jīng)SAD,SBD管內(nèi)穿到D處的二相干波,傳播距離差應(yīng)改變,此改變量是由B管的移動(dòng)引起的,因此 (2) 10.5.2 兩個(gè)聲源發(fā)出橫波,振動(dòng)方向與紙面垂直,二波源具有相同的位相,波長(zhǎng). (1)至少求出三個(gè)數(shù)值使得在P點(diǎn)合振動(dòng)最強(qiáng),(2) 求出三個(gè)數(shù)值使得在P點(diǎn)合振動(dòng)最弱. [解 答] 此二橫波振動(dòng)方向相同,波長(zhǎng)相同,在同一種媒質(zhì)中傳播,波速相同,因此其周期相同,圓頻率也相同,傳到P點(diǎn)的此二橫波的方程可寫(xiě)成: (1)在P點(diǎn)合振動(dòng)最強(qiáng)時(shí),二橫波在該點(diǎn)引起的多振動(dòng)位相相同,即 由此得, . 已知 取 時(shí)得 10.5.3 試證明兩列頻率相同,振動(dòng)方向相同,傳播方向相反而振幅大小不同的平面簡(jiǎn)諧波相疊加可形成一駐波與一行波的疊加. [解 答] 設(shè)滿(mǎn)足題目要求的二平面簡(jiǎn)諧波為: 則: 此結(jié)果的前一項(xiàng)表示一行波,后一項(xiàng)表示一駐波,可見(jiàn)滿(mǎn)足題目要求的二平面簡(jiǎn)諧波疊加后形成了一駐波與一行波的疊加. 10.5.4 入射波在固定端反射,坐標(biāo)原點(diǎn)與固定端相距,寫(xiě)出反射波方程.無(wú)振幅損失.(SI) [解 答] 反射波的振幅,頻率,波速均與入射波相同,傳播方向與入射波傳播方向相反,初位相也不同,因入射波在坐標(biāo)原點(diǎn)的初位相為零.故反射波在原點(diǎn)的初位相為: 其中為落后位相,為半波損失. 入射波 可見(jiàn) 由以上各條件可寫(xiě)出所求反射波在原點(diǎn)的振動(dòng)方程: 反射波的振動(dòng)方程為: 10.5.5 入射波方程為,在X=0處的自由端反射,求反射波的波方程.無(wú)振幅損失. [解 答] 由入射波方程 知 反射波振幅為A,周期為T(mén),波長(zhǎng)為,傳播方向沿坐標(biāo)軸O-X正方向.因在X=0處自由端反射,故反射波與入射波在原點(diǎn)處位相相同. 因此反射波方程為: 10.5.6 圖示某一瞬時(shí)入射波的波形圖, 在固定端反射.試畫(huà)出此瞬時(shí)反射波的波形圖.無(wú)振幅損失. [解 答] 因?yàn)榉瓷洳ㄅc入射波傳播方向相反,在固定端反射時(shí),二者位相差為,所以可以按以下方法作出反射波波形圖: 以界面處質(zhì)元平衡位置為原點(diǎn)如圖建立坐標(biāo)系. 設(shè)入射波波方程為 先作出入射波波形圖,以軸為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)波形圖,并畫(huà)出該波形圖在固定端左側(cè)的部分.設(shè)此波是逆X軸正方向傳播的,則其方程可寫(xiě)為 因?yàn)楣潭ǘ朔瓷洳ㄔ诮缑嫣幱邪氩〒p失,所以反射波方程應(yīng)為: 其波形應(yīng)比前述的入射波對(duì)稱(chēng)波形圖向右移動(dòng)半個(gè)波長(zhǎng).可見(jiàn)這兩個(gè)波形圖是以X軸為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)圖形.因此,再作出以X軸為對(duì)稱(chēng)軸的前述波形圖的對(duì)稱(chēng)圖形.即得所求反射波的波形圖. 10.5.7 若10.5.6題圖中為自由端反射,畫(huà)出反射波波形圖. [解 答] 因?yàn)槿肷洳ㄔ谧杂啥朔瓷鋾r(shí),沒(méi)有半波損失,即反射波和入射波在界面處位相相同,而傳播方向相反,所以反射波波形圖是入射波波形圖以界面為對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)圖形,其圖形如圖所示 10.5.8 一平面簡(jiǎn)諧波自左向右傳播,在波射線(xiàn)上某質(zhì)元A的振動(dòng)曲線(xiàn)如圖示.后來(lái)此波在前進(jìn)方向上遇儀障礙物而反射,并與該入射平面簡(jiǎn)諧波疊加形成駐波,相鄰波節(jié)波腹距離為,以質(zhì)元A的平衡位置為軸原點(diǎn),寫(xiě)出該入射波波方程. [解 答] 振動(dòng)的一般方程可寫(xiě)為 由題意知 因此,質(zhì)元A的振動(dòng)方程為: 這就是所求波方程中原點(diǎn)處質(zhì)心的振動(dòng)方程. 已知相鄰波節(jié),波腹間距離為 由以上諸條件可寫(xiě)出以質(zhì)元A的平衡位置為OY軸原點(diǎn)的入射波方程為: 10.5.9 同一媒質(zhì)中有兩個(gè)平面簡(jiǎn)諧波波源作同頻率,同方向,同振幅的振動(dòng).二波相對(duì)傳播,波長(zhǎng).波射線(xiàn)上A,B兩點(diǎn)相距.一波在A處為波峰時(shí),另一波在B處位相為.求AB連線(xiàn)上因干涉而靜止的各點(diǎn)的位置. [解 答] 由已知條件可知,此二平面簡(jiǎn)諧波為相干波,在二波源間的連線(xiàn)上形成駐波. 以A為原點(diǎn)建立OX坐標(biāo)軸,以甲波在點(diǎn)位相為零時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn).在A,B間, 甲波方程為: 乙波方程為: 由題知,甲波在A處質(zhì)點(diǎn)位移為正最大時(shí),在處的B點(diǎn)位相為,因此當(dāng)時(shí),在處 當(dāng)AB間的點(diǎn)因干涉而靜止時(shí),甲乙二波在該點(diǎn)的位相差應(yīng)滿(mǎn)足: 當(dāng) 時(shí), ,這就是AB間靜止各點(diǎn)的位置坐標(biāo). 10.5.10 一提琴弦長(zhǎng)50,兩端固定.不用手指按時(shí),發(fā)出的聲音是A調(diào):440.若欲發(fā)出C調(diào):528,手指應(yīng)按在何處? [解 答] 音調(diào)決定了基頻,弦的基頻為 一定, 已知 因此 10.5.11 張緊的提琴弦能發(fā)出某一種音調(diào),若欲使它發(fā)生的頻率比原來(lái)提高一倍,問(wèn)弦內(nèi)張力應(yīng)增加多少倍? [解 答] 因此,弦內(nèi)張力應(yīng)增加3倍. 10.7.1 火車(chē)以速率駛過(guò)一個(gè)在車(chē)站上的觀察者,火車(chē)發(fā)出的汽笛聲頻率為.求觀察者聽(tīng)到的聲音的變化.設(shè)聲速是 [解 答] 近似認(rèn)為靜止的觀察者和火車(chē)軌道在同一直線(xiàn)上,則當(dāng)火車(chē)駛向觀察者時(shí),觀察者聽(tīng)到的聲音的頻率為 當(dāng)火車(chē)駛離觀察者時(shí),觀察者聽(tīng)到的聲音的頻率為: 因此,火車(chē)駛過(guò)觀察者時(shí), 觀察者聽(tīng)到的聲音頻率的變化為: 10.7.2 兩個(gè)觀察者A和B攜帶頻率均為1000的聲源.如果A靜止,而B(niǎo)以的速度向A運(yùn)動(dòng),那么A和B聽(tīng)到的拍是多少?設(shè)聲速是340. [解 答] 對(duì)A來(lái)說(shuō),系觀察者靜止,聲源運(yùn)動(dòng),因此A聽(tīng)到的頻率為: A聽(tīng)到的拍頻為 對(duì)B來(lái)說(shuō),系觀察者運(yùn)動(dòng),聲源靜止,因此B聽(tīng)到的頻率為: B聽(tīng)到的拍頻為 10.7.3 一音叉以速率接近墻壁,觀察者在音叉后面聽(tīng)到拍音頻率,求音叉振動(dòng)頻率. 設(shè)聲速是340. [解 答] 若音叉后的觀察者直接聽(tīng)到音叉的頻率為,聽(tīng)到經(jīng)玻璃反射的頻率為,因波源(音叉)在運(yùn)動(dòng),所以: 拍頻 因此 10.7.4在醫(yī)學(xué)診斷上用多普勒效應(yīng)測(cè)內(nèi)臟器壁或血球的運(yùn)動(dòng)速度.設(shè)將頻率為的超聲脈沖垂直射向蠕動(dòng)的膽囊壁,得到回聲頻率,求膽囊壁的運(yùn)動(dòng)速率.設(shè)膽內(nèi)聲速為. [解 答] 設(shè)膽囊內(nèi)聲速為,膽運(yùn)動(dòng)速度為