高考數(shù)學人教A版（理）一輪復習：第十篇 第1講 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

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第十篇 計數(shù)原理 第1講 分類加法計數(shù)原理與 分步乘法計數(shù)原理 A級　基礎演練(時間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有 (　　)． A．6種 B．12種 C．24種 D．30種 解析　分步完成．首先甲、乙兩人從4門課程中同選1門，有4種方法，其次甲從剩下的3門課程中任選1門，有3種方法，最后乙從剩下的2門課程中任選1門，有2種方法，于是，甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法共有4×3×2＝24(種)，故選C. 答案　C 2．(2013·瓊海模擬)某食堂每天中午準備4種不同的葷菜，7種不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任選兩種葷菜、兩種蔬菜和白米飯；(2)任選一種葷菜、兩種蔬菜和蛋炒飯．則每天不同午餐的搭配方法總數(shù)是(　　)． A．210 B．420 C．56 D．22 解析　由分類加法計數(shù)原理：兩類配餐方法和即為所求，所以每天不同午餐的搭配方法總數(shù)為：CC＋CC＝210. 答案　A 3．(2013·?？谀M)某省高中學校自實施素質教育以來，學生社團得到迅猛發(fā)展，某校高一新生中的五名同學打算參加“春暉文學社”、“舞者輪滑俱樂部”、“籃球之家”、“圍棋苑”四個社團．若每個社團至少有一名同學參加，每名同學至少參加一個社團且只能參加一個社團．且同學甲不參加“圍棋苑”，則不同的參加方法的種數(shù)為 (　　)． A．72 B．108 C．180 D．216 解析　設五名同學分別為甲、乙、丙、丁、戊，由題意，如果甲不參加“圍棋苑”，有下列兩種情況： (1)從乙、丙、丁、戊中選一人(如乙)參加“圍棋苑”，有C種方法，然后從甲與丙、丁、戊共4人中選2人(如丙、丁)并成一組與甲、戊分配到其他三個社團中，有CA種方法， 故共有CCA種參加方法； (2)從乙、丙、丁、戊中選2人(如乙、丙)參加“圍棋苑”，有C種方法，甲與丁、戊分配到其他三個社團中有A種方法，這時共有CA種參加方法； 綜合(1)(2)，共有CCA＋CA＝180種參加方法． 答案　C 4．如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構成一個“平行線面組”．在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“平行線面組”的個數(shù)是 (　　)． A．60 B．48 C．36 D．24 解析　長方體的6個表面構成的“平行線面組”有6×6＝36個，另含4個頂點的6個面(非表面)構成的“平行線面組”有6×2＝12個，共36＋12＝48個，故選B. 答案　B 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(2013·撫州模擬)從集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3個元素分別作為直線方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C，所得的經過坐標原點的直線有________條(用數(shù)字表示)． 解析　因為直線過原點，所以C＝0，從1,2,3,5,7,11這6個數(shù)中任取2個作為A、B，兩數(shù)的順序不同，表示的直線不同，所以直線的條數(shù)為A＝30. 答案　30 6．數(shù)字1,2,3，…，9這九個數(shù)字填寫在如圖的9個空格中，要求每一行從左到右依次增大，每列從上到下也依次增大，當數(shù)字4固定在中心位置時，則所有填寫空格的方法共有________種． 解析　必有1、4、9在主對角線上，2、3只有兩種不同的填法，對于它們的每一種填法，5只有兩種填法．對于5的每一種填法，6、7、8只有3種不同的填法，由分步計數(shù)原理知共有22×3＝12種填法． 答案　12 三、解答題(共25分) 7．(12分)如圖所示三組平行線分別有m、n、k條，在此圖形中 (1)共有多少個三角形？ (2)共有多少個平行四邊形？ 解　(1)每個三角形與從三組平行線中各取一條的取法是一一對應的，由分步計數(shù)原理知共可構成m·n·k個三角形． (2)每個平行四邊形與從兩組平行線中各取兩條的取法是一一對應的，由分類和分步計數(shù)原理知共可構成CC＋CC＋CC個平行四邊形． 8．(13分)設集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)是坐標平面上的點，a，b∈M. (1)P可以表示多少個平面上的不同的點？ (2)P可以表示多少個第二象限內的點？ (3)P可以表示多少個不在直線y＝x上的點？ 解　(1)分兩步，第一步確定橫坐標有6種，第二步確定縱坐標有6種，經檢驗36個點均不相同，由分步乘法計數(shù)原理得N＝6×6＝36(個)． (2)分兩步，第一步確定橫坐標有3種，第二步確定縱坐標有2種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得N＝3×2＝6個． (3)分兩步，第一步確定橫坐標有6種，第二步確定縱坐標有5種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得N＝6×5＝30個． B級　能力突破(時間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有 (　　)． A．300種 B．240種 C．144種 D．96種 解析　甲、乙兩人不去巴黎游覽情況較多，采用排除法，符合條件的選擇方案有CA－CA＝240. 答案　B 2．(2012·安徽)6位同學在畢業(yè)聚會活動中進行紀念品的交換，任意兩位同學之間最多交換一次，進行交換的兩位同學互贈一份紀念品．已知6位同學之間共進行了13次交換，則收到4份紀念品的同學人數(shù)為 (　　)． A．1或3 B．1或4 C．2或3 D．2或4 解析　利用排列、組合知識求解．設6位同學分別用a，b，c，d，e，f表示．若任意兩位同學之間都進行交換共進行C＝15(次)交換，現(xiàn)共進行13次交換，說明有兩次交換沒有發(fā)生，此時可能有兩種情況：(1)由3人構成的2次交換，如a－b和a－c之間的交換沒有發(fā)生，則收到4份紀念品的有b，c兩人． (2)由4人構成的2次交換，如a－b和c－e之間的交換沒有發(fā)生，則收到4份紀念品的有a，b，c，e四人．故選D. 答案　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．(2013·濰坊期中)如果把個位數(shù)是1，且恰有3個數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1,2,3,4四個數(shù)字組成的有重復數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有________個． 解析　當相同的數(shù)字不是1時，有C個；當相同的數(shù)字是1時，共有CC個，由分類加法計數(shù)原理得共有“好數(shù)”C＋CC＝12個． 答案　12 4．將1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都沒有重復數(shù)字，右面是一種填法，則不同的填寫方法共有________種． 解析　由于3×3方格中，每行、每列均沒有重復數(shù)字，因此可從中間斜對角線填起．如圖中的△，當△全為1時，有2種(即第一行第2列為2或3，當?shù)诙刑?時，第三列只能填3，當?shù)谝恍刑钔旰?，其他行的?shù)字便可確定)，當△全為2或3時，分別有2種，所以共有6種；當△分別為1,2,3時，也共有6種．共12種． 答案　12 三、解答題(共25分) 5．(12分)如圖，用四種不同顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色．則不同的涂色方法共有多少種？ 解　先涂A、D、E三個點，共有4×3×2＝24種涂法，然后再按B、C、F的順序涂色，分為兩類：一類是B與E或D同色，共有2×(2×1＋1×2)＝8種涂法；另一類是B與E或D不同色，共有1×(1×1＋1×2)＝3種涂法．所以涂色方法共有24×(8＋3)＝264(種)． 6．(13分)從1,2,3，…，9這9個數(shù)字中任取2個不同的數(shù)分別作為一個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)．一共可以得到多少個不同的對數(shù)值？其中比1大的有幾個？ 解　在2,3，…，9這8個數(shù)中任取2個數(shù)組成對數(shù)，有A個，在這些對數(shù)值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，重復計數(shù)4個；又1不能作為對數(shù)的底數(shù)，1作為真數(shù)時，不論底數(shù)為何值，其對數(shù)值均為0.所以，可以得到A－4＋1＝53個不同的對數(shù)值． 要求對數(shù)值比1大，分類完成；底數(shù)為2時，真數(shù)從3,4，5，…，9中任取一個，有7種選法；底數(shù)為3時，真數(shù)從4，5，…，9中任取一個，有6種選法……依次類推，當?shù)讛?shù)為8時，真數(shù)只能取9，故有7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28(個)．但其中l(wèi)og24＝log39，log23＝log49，所以，比1大的對數(shù)值有28－2＝26(個). 特別提醒：教師配贈習題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設計·高考總復習》光盤中內容.