高考數(shù)學人教A版（理）一輪復(fù)習：第五篇 第4講 平面向量應(yīng)用舉例

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第4講 平面向量應(yīng)用舉例 A級　基礎(chǔ)演練(時間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin 2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，則tan x的值等于 (　　)． A．1 B．－1 C. D. 解析　由|a·b|＝|a||b|知，a∥b. 所以sin 2x＝2sin2x，即2sin xcos x＝2sin2x，而x∈(0，π)， 所以sin x＝cos x，即x＝，故tan x＝1. 答案　A 2．(2013·九江模擬)若|a|＝2sin 15°，|b|＝4cos 15°，a與b的夾角為30°，則a·b的值是 (　　)． A. B. C．2 D. 解析　a·b＝|a||b|cos 30°＝8sin 15°cos 15°×＝4×sin 30°×＝. 答案　B 3.(2012·哈爾濱模擬)函數(shù)y＝tanx－的部分圖象如圖所示，則(＋)·＝ (　　)． A．4 B．6 C．1 D．2 解析　由條件可得B(3,1)，A(2,0)， ∴(＋)·＝(＋)·(－)＝2－2＝10－4＝6. 答案　B 4．在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，E，F(xiàn)為邊BC的三等分點，則·＝ (　　)． A. B. C. D. 解析　法一　依題意，不妨設(shè)＝E，＝2， 則有－＝(－)，即＝＋； －＝2(－)，即＝＋. 所以·＝· ＝(2＋)·(＋2) ＝(22＋22＋5·) ＝(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝，選A. 法二　由∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1可得∠ACB＝90°， 如圖建立直角坐標系，則A(0,1)，E，F(xiàn)， ∴·＝·＝·＋(－1)·(－1)＝＋1＝，選A. 答案　A 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(2013·溫州適應(yīng)性測試)在平行四邊形ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點，則·＝________. 解析　·＝·(＋)＝(＋)·(－)＝2－·－2＝1－×1×2cos 60°－×4＝－. 答案?。? 6．(2013·東北三校一模)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若(3b－c)cos A＝acos C，S△ABC＝，則·＝________. 解析　依題意得(3sin B－sin C)cos A＝sin Acos C， 即3sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B>0， 于是有cos A＝，sin A＝＝， 又S△ABC＝·bcsin A＝bc×＝，所以 bc＝3，·＝bccos(π－A)＝－bccos A＝－3×＝－1. 答案?。? 三、解答題(共25分) 7．(12分)(2012·北京海淀模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若·＝·＝k(k∈R)． (1)判斷△ABC的形狀； (2)若c＝，求k的值． 解　(1)∵·＝cbcos A，·＝cacos B， 又·＝·，∴bccos A＝accos B， ∴sin Bcos A＝sin Acos B， 即sin Acos B－sin Bcos A＝0，∴sin(A－B)＝0， ∵－π＜A－B＜π，∴A＝B，即△ABC為等腰三角形． (2)由(1)知，·＝bccos A＝bc·＝＝k， ∵c＝，∴k＝1. 8．(13分)已知A，B，C的坐標分別為A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈. (1)若||＝||，求角α的值； (2)若·＝－1，求的值． 解　(1)∵＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)， ∴2＝(cos α－3)2＋sin2α＝10－6cos α， 2＝cos2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α， 由||＝||，可得2＝2， 即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又α∈，∴α＝. (2)由·＝－1， 得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝.① 又＝＝2sin αcos α. 由①式兩邊分別平方，得1＋2sin αcos α＝， ∴2sin αcos α＝－. ∴＝－. B級　能力突破(時間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對應(yīng)的三角形的邊長，若4a＋2b＋3c＝0，則cos B＝ (　　)． A．－ B. C. D．－ 解析　由4a＋2b＋3c＝0，得 4a＋3c＝－2b＝－2b(－)＝2b＋2b， 所以4a＝3c＝2b. 由余弦定理得cos B＝＝＝－. 答案　A 2．(2013·鄭州三模)△ABC的外接圓圓心為O，半徑為2，＋＋＝0，且||＝||，則在方向上的投影為 (　　)． A．1 B．2 C. D．3 解析　如圖，由題意可設(shè)D為BC的中點，由＋＋＝0，得＋2＝0，即＝2，∴A，O，D共線且||＝2||，又O為△ABC的外心， ∴AO為BC的中垂線， ∴||＝||＝||＝2，||＝1， ∴||＝，∴在方向上的投影為. 答案　C 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，則9x＋3y的最小值為________． 解析　若a⊥b，則4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2. 9x＋3y＝32x＋3y≥2×＝2×＝6. 當且僅當x＝，y＝1時取得最小值． 答案　6 4．(2013·山西大學附中月考)已知|a|＝2|b|≠0，且關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有極值，則a與b的夾角范圍為________． 解析　由題意得：f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b必有可變號零點，即Δ＝|a|2－4a·b>0，即4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉>0，即－1≤cos〈a，b〉<.所以a與b的夾角范圍為. 答案　 三、解答題(共25分) 5．(12分)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(2sin B，－)，n＝且m∥n. (1)求銳角B的大??； (2)如果b＝2，求S△ABC的最大值． 解　(1)∵m∥n，∴2sin B＝－cos 2B， ∴sin 2B＝－cos 2B，即tan 2B＝－. 又B為銳角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝，∴B＝. (2)∵B＝，b＝2，由余弦定理cos B＝， 得a2＋c2－ac－4＝0.又a2＋c2≥2ac，代入上式， 得ac≤4(當且僅當a＝c＝2時等號成立)． S△ABC＝acsin B＝ac≤(當且僅當a＝c＝2時等號成立)，即S△ABC的最大值為. 6．(13分)(2012·南通模擬)已知向量m＝， n＝. (1)若m·n＝1，求cos的值； (2)記f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足(2a－c)cos B＝bcos C，求函數(shù)f(A)的取值范圍． 解　(1)m·n＝sin ·cos ＋cos2 ＝sin ＋＝sin＋， ∵m·n＝1，∴sin＝. cos＝1－2sin2＝， cos＝－cos＝－. (2)∵(2a－c)cos B＝bcos C， 由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， ∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C. ∴2sin Acos B＝sin(B＋C)． ∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A≠0. ∴cos B＝，∵0＜B＜π，∴B＝，∴0＜A＜. ∴＜＋＜，sin∈. 又∵f(x)＝sin＋，∴f(A)＝sin＋. 故函數(shù)f(A)的取值范圍是. 特別提醒：教師配贈習題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計·高考總復(fù)習》光盤中內(nèi)容.