高一數(shù)學(xué)（人教A版）必修4能力提升：2-5 平面向量應(yīng)用舉例

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能 力 提 升 一、選擇題 1．(2013·煙臺(tái)模擬)若M為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足(－)·(＋－2)＝0，則△ABC為(　　) A．直角三角形　　　　　　 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形 [答案]　B [解析]　由(－)·(＋－2)＝0， 可知·(＋)＝0， 設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則＋＝2， 故·＝0，所以⊥. 又D為BC中點(diǎn)，故△ABC為等腰三角形． 2．(2013·福建文)在四邊形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，則該四邊形的面積為(　　) A.　　 　B．2　　 　C．5　　　　D．10 [答案]　C [解析]　本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積、模等． 由題意知AC，BD為四邊形對(duì)角線， 而·＝1×(－4)＋2×2＝0 ∴AC⊥BD. ∴S四邊形ABCD＝×||×|| ＝×× ＝××＝5. 3．若向量＝(2,2)、＝(－2,3)分別表示兩個(gè)力F1、F2，則|F1＋F2|為(　　) A．(0,5) B．(4，－1) C．2 D．5 [答案]　D [解析]　F1＋F2＝(2,2)＋(－2,3)＝(0,5)， ∴|F1＋F2|＝5. 4．速度|v1|＝10 m/s，|v2|＝12 m/s，且v1與v2的夾角為60°，則合速度的大小是(　　) A．2 m/s B．10 m/s C．12 m/s D．2m/s [答案]　D [解析]　|v|2＝|v1＋v2|2＝|v1|2＋2v1·v2＋|v2|2 ＝100＋2×10×12cos60°＋144＝364. ∴|v|＝2(m/s)． 5．一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1、F2、F3(單位：N)的作用而處于平衡狀態(tài)．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分別為2和4，則F3的大小為(　　) A．2 B．2 C．2 D．6 [答案]　A [解析]　∵F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－F1－F2， ∴|F3|＝|－F1－F2|＝ ＝ ＝＝2. 6．已知向量a表示“向東航行1km”，向量b表示“向北航行km”，則向量a＋b表示(　　) A．向東北方向航行2 km B．向北偏東30°方向航行2 km C．向北偏東60°方向航行2 km D．向東北方向航行(1＋)km [答案]　B [解析]　a與b的夾角為90°，則a·b＝0， 則|a＋b|＝＝ ＝＝＝2， a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝1. 設(shè)a與a＋b的夾角為θ， 則cosθ＝＝＝， ∴θ＝60°，即a＋b表示向北偏東30°方向航行2 km. 二、填空題 7．某人從點(diǎn)O向正東走30 m到達(dá)點(diǎn)A，再向正北走30m到達(dá)點(diǎn)B，則此人的位移的大小是________m，方向是東偏北________． [答案]　60　60° [解析]　如圖所示，此人的位移是＝＋，且⊥， 則||＝＝60(m)，tan∠BOA＝＝.∴∠BOA＝60°. 8．(浙江高考)若平面向量α、β滿足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β為鄰邊的平行四邊形的面積為，則α與β的夾角θ的取值范圍是____________． [答案]　[，π] [解析]　以α，β為鄰邊的平行四邊形的面積為： S＝|α||β|sinθ＝|β|sinθ＝， 所以sinθ＝，又因?yàn)閨β|≤1，所以≥，即sinθ≥且θ∈[0，π]，所以θ∈[，π]． 9．(廣東韶關(guān)模擬)作用于同一點(diǎn)的兩個(gè)力F1、F2的夾角為，且|F1|＝3，|F2|＝5，則F1＋F2的大小為____________． [答案]　 [解析]　|F1＋F2|2＝(F1＋F2)2＝F＋2F1·F2＋F＝32＋2×3×5×cos＋52＝19， 所以|F1＋F2|＝. 三、解答題 10．如圖所示，已知?ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝，求對(duì)角線AC和BD的長(zhǎng)． [解析]　設(shè)＝a，＝b，a與b的夾角為θ， 則|a|＝3，|b|＝1，θ＝. ∴a·b＝|a||b|cosθ＝. 又∵＝a＋b，＝a－b， ∴||＝＝ ＝＝， ||＝＝ ＝＝. ∴AC＝，DB＝. 11．已知：?ABCD中，AC＝BD，求證：四邊形ABCD是矩形． [證明]　設(shè)＝a，＝b， 由于四邊形ABCD是平行四邊形， ∴＝＋＝a＋b， ＝－＝b－a. ∵AC＝BD，∴|a＋b|＝|b－a|. ∴|a＋b|2＝|b－a|2. ∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝|b|2－2a·b＋|a|2. ∴a·b＝0.∴a⊥b，即⊥.∴AB⊥AD. ∴四邊形ABCD是矩形． 12．今有一小船位于d＝60 m寬的河邊P處，從這里起，在下游l＝80 m處河流有一瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(與河岸平行)，水速大小為5 m/s，如圖，為了使小船能安全渡河，船的劃速不能小于多少？當(dāng)劃速最小時(shí)，劃速方向如何？(sin37°＝) [解析]　如圖，由題設(shè)可知，船的實(shí)際速度v＝v劃＋v水，其方向?yàn)榕R界方向. 則最小劃速|(zhì)v劃|＝|v水|·sinθ， sinθ＝＝＝， ∴θ＝37°. ∴最小劃速應(yīng)為v劃＝5×sinθ＝5×＝3(m/s)． 當(dāng)劃速最小時(shí)，劃速的方向與水流方向的夾角為127°.