4.4 解直角三角形的應(yīng)用 第2課時(shí)

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4.4 解直角三角形的應(yīng)用 第2課時(shí) 教學(xué)目標(biāo) 【知識(shí)與能力】 1．了解測(cè)量中坡度、坡角的概念； 2．掌握坡度與坡角的關(guān)系，能利用解直角三角形的知識(shí)，解決與坡度、與弧長(zhǎng)的有關(guān)實(shí)際問(wèn)題． 【過(guò)程與方法】 通過(guò)對(duì)例題的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題． 【情感態(tài)度價(jià)值觀】 進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力． 教學(xué)重難點(diǎn) 【教學(xué)重點(diǎn)】 能利用解直角三角形的知識(shí)，解決與坡度、與弧長(zhǎng)有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題． 【教學(xué)難點(diǎn)】 能利用解直角三角形的知識(shí)，解決與坡度、與弧長(zhǎng)的有關(guān)實(shí)際問(wèn)題． 課前準(zhǔn)備 無(wú) 教學(xué)過(guò)程 一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知 如圖所示，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一個(gè)傾斜程度比較大？顯然，斜坡A1B1的傾斜程度比較大，說(shuō)明∠A1＞∠A. 從圖形可以看出，＞，即tanA1＞tanA. 【教學(xué)說(shuō)明】通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的引入，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣． 二、思考探究，獲取新知 1．坡度的概念，坡度與坡角的關(guān)系． 如上圖，這是一張水庫(kù)攔水壩的橫斷面的設(shè)計(jì)圖，坡面的鉛垂高度與水平前進(jìn)的距離的比叫作坡度(或坡比)，記作i，即i＝，坡度通常用l∶m的形式，例如上圖中的1∶2的形式．坡面與水平面的夾角叫作坡角，記作α.從三角函數(shù)的概念可以知道，坡度與坡角的關(guān)系是i＝tanB，顯然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡． 2．如圖，一山坡的坡度為i＝1∶2，小剛從山腳A出發(fā)，沿山坡向上走了240米到達(dá)點(diǎn)C，這座山坡的坡角是多少度？小剛上升了多少米？(角度精確到0.01°，長(zhǎng)度精確到0.1米) 3．如圖，一艘船以40km/h的速度向正東航行，在A處測(cè)得燈塔C在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1h到達(dá)B處，這時(shí)測(cè)得燈塔C在北偏東30°方向上，已知在燈塔C的四周30km內(nèi)有暗礁．問(wèn)這艘船繼續(xù)向東航行是否安全？ 【教學(xué)說(shuō)明】教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中的已知條件分別代表的是什么，將圖形中的信息轉(zhuǎn)化為圖形中的已知條件，再分析圖形求出問(wèn)題．學(xué)生獨(dú)立完成． 三、運(yùn)用新知，深化理解 1．如圖，在山坡上種樹，要求株距(相鄰兩樹間的水平距離)是5.5m，測(cè)得斜坡的傾斜角是24°，求斜坡上相鄰兩樹的坡面距離是多少(精確到0.1m)． 分析：引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題畫出圖形． 解：已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5.5，∠A＝24°，求AB. 在Rt△ABC中，cosA＝， ∴AB＝＝≈6.0(米)． 答：斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離約是6.0米． 2．同學(xué)們，如果你是修建三峽大壩的工程師，現(xiàn)在有這樣一個(gè)問(wèn)題請(qǐng)你解決：如圖水庫(kù)大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，壩底寬AD和斜坡AB的長(zhǎng)(精確到0.1m)． 解：作BE⊥AD，CF⊥AD， 在Rt△ABE和Rt△CDF中， ＝，＝ ∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)． FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)． ∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m)． 因?yàn)樾逼翧B的坡度i＝tanα＝≈0.3333， 所以α≈18°26′. ∵＝sinα， ∴AB＝＝≈72.7(m)． 答：斜坡AB的坡角α約為18°26′，壩底寬AD為132.5米，斜坡AB的長(zhǎng)約為72.7米． 3．龐亮和李強(qiáng)相約周六去登山，龐亮從北坡山腳C處出發(fā)，以24米/分鐘的速度攀登，同時(shí)，李強(qiáng)從南坡山腳B處出發(fā)．如圖，已知小山北坡的坡度i＝1∶，山坡長(zhǎng)為240米，南坡的坡角是45°.問(wèn)李強(qiáng)以什么速度攀登才能和龐亮同時(shí)到達(dá)山頂A？(將山路AB、AC看成線段，結(jié)果保留根號(hào)) 解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D， 在Rt△ADC中，由i＝1∶得tanC＝＝， ∴∠C＝30°.∴AD＝AC＝×240＝120(米)． 在Rt△ABD中，∠B＝45°， ∴AB＝AD＝120(米)． 120÷(240÷24)＝120÷10＝12(米/分鐘) 答：李強(qiáng)以12米/分鐘的速度攀登才能和龐亮同時(shí)到達(dá)山頂A. 4．某公園有一滑梯，橫截面如圖所示，AB表示樓梯，BC表示平臺(tái)，CD表示滑道．若點(diǎn)E，F(xiàn)均在線段AD上，四邊形BCEF是矩形，且sin∠BAF＝，BF＝3米，BC＝1米，CD＝6米．求： (1)∠D的度數(shù)；(2)線段AE的長(zhǎng)． 解：(1)∵四邊形BCEF是矩形， ∴∠BFE＝∠CEF＝90°，CE＝BF，BC＝FE， ∴∠BFA＝∠CED＝90°， ∵CE＝BF，BF＝3米， ∴CE＝3米，∵CD＝6米，∠CED＝90°， ∴∠D＝30°. (2)∵sin∠BAF＝， ∴＝，∵BF＝3米，∴AB＝米， ∴AF＝＝米， ∴AE＝米． 5．日本福島發(fā)生核電站事故后，我國(guó)國(guó)家海洋局高度關(guān)注事態(tài)發(fā)展，緊急調(diào)集海上巡邏的海檢船，在相關(guān)海域進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)與海水采樣，針對(duì)核泄漏在極端情況下對(duì)海洋環(huán)境的影響及時(shí)開展分析評(píng)估．如圖，上午9時(shí)，海檢船位于A處，觀測(cè)到某港口城市P位于海檢船的北偏西67.5°方向，海檢船以21海里/時(shí)的速度向正北方向行駛，下午2時(shí)海檢船到達(dá)B處，這時(shí)觀察到城市P位于海檢船的南偏西36.9°方向，求此時(shí)海檢船所在B處與城市P的距離． (參考數(shù)據(jù)：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈) 分析：過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，構(gòu)造直角三角形，設(shè)PC＝x海里，用含有x的式子表示AC，BC的值，從而求出x的值，再根據(jù)三角函數(shù)值求出BP的值即可解答． 解：過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C，設(shè)PC＝x海里． 在Rt△APC中，∵tanA＝， ∴AC＝＝ 在Rt△PCB中，∵tanB＝， ∴BC＝＝ ∵從上午9時(shí)到下午2時(shí)要經(jīng)過(guò)五個(gè)小時(shí)， ∴AC＋BC＝AB＝21×5， ∴＋＝21×5， 解得x＝60. ∵sin∠B＝， ∴PB＝＝＝60×＝100(海里) ∴海檢船所在B處與城市P的距離為100海里． 【教學(xué)說(shuō)明】通過(guò)練習(xí)，鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容． 四、師生互動(dòng)、課堂小結(jié) 先小組內(nèi)交流收獲和感想而后以小組為單位派代表進(jìn)行總結(jié)．教師作以補(bǔ)充． 課后作業(yè) 布置作業(yè)：教材“習(xí)題4.1”中第1、6、7題． 教學(xué)反思 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知識(shí)解決與坡度、坡角有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，特別是與梯形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，懂得通過(guò)添加輔助線把梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形來(lái)解決． 5