圓錐曲線 橢圓 雙曲線 拋物線 知識點總結 例題習題精講 詳細答案.doc
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知能梳理 【橢圓】 一、橢圓的定義 1、橢圓的第一定義：平面內一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù) ，這個動點的軌跡叫橢圓。這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距。 注意：若，則動點的軌跡為線段； 若，則動點的軌跡無圖形。 二、橢圓的方程 1、橢圓的標準方程（端點為a、b，焦點為c） （1）當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中； （2）當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中； 2、兩種標準方程可用一般形式表示： 或者 mx2+ny2=1 三、橢圓的性質（以為例） 1、對稱性： 對于橢圓標準方程：是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形；并且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。 2、范圍： 橢圓上所有的點都位于直線和所圍成的矩形內，所以橢圓上點的坐標滿足，。 3、頂點： ①橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。 ②橢圓與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為，，，。 ③線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，，。和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。 4、離心率： ① 橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。 ② 因為，所以的取值范圍是。 越接近1，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁； 反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時橢圓就越接近于圓。 當且僅當時，，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。 ③ 離心率的大小只與橢圓本身的形狀有關，與其所處的位置無關。 注意：橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）： 5、橢圓的第二定義： 平面內與一個定點（焦點）和一條定直線（準線）的距離的比為常數(shù)e，（0＜e＜1）的點的軌跡為橢圓（）。 即：到焦點的距離與到準線的距離的比為離心率的點所構成的圖形，也即上圖中有。 ①焦點在x軸上：（a＞b＞0）準線方程： ②焦點在y軸上：（a＞b＞0）準線方程： 6、橢圓的內外部 需要更多的高考數(shù)學復習資料，請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復習資料 高中數(shù)學 知識點總結 例題精講(詳細解答)” 或者搜.店.鋪..“龍奇跡【學習資料網(wǎng)】” （1）點在橢圓的內部 （2）點在橢圓的外部 四、橢圓的兩個標準方程的區(qū)別和聯(lián)系 標準方程 圖形 性質 焦點 ， ， 焦距 范圍 ， ， 對稱性 關于軸、軸和原點對稱 頂點 ， ， 軸長 長軸長=，短軸長= 離心率 準線方程 焦半徑 ， ， 五、其他結論 需要更多的高考數(shù)學復習資料，請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復習資料 高中數(shù)學 知識點總結 例題精講(詳細解答)” 或者搜.店.鋪..“龍奇跡【學習資料網(wǎng)】” 1、若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是 2、若在橢圓外 ，則過Po作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是 3、橢圓 (a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點P為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為 4、橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式：,( , ) 5、設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結AP 和AQ分別交相應于焦點F的橢圓準線于M、N兩點，則MF⊥NF。 6、過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF。 7、AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。 8、若在橢圓內，則被Po所平分的中點弦的方程是 9、若在橢圓內，則過Po的弦中點的軌跡方程是 【雙曲線】 一、雙曲線的定義 1、第一定義：到兩個定點F1與F2的距離之差的絕對值等于定長（＜|F1F2|）的點的軌跡（（為常數(shù)））。這兩個定點叫雙曲線的焦點。 要注意兩點：（1）距離之差的絕對值。（2）2a＜|F1F2|。 當|MF1|－|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點F2所對應的一支； 當|MF1|－|MF2|=－2a時，曲線僅表示焦點F1所對應的一支； 當2a=|F1F2|時，軌跡是一直線上以F1、F2為端點向外的兩條射線； 當2a＞|F1F2|時，動點軌跡不存在。 2、第二定義：動點到一定點F的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數(shù)e(e＞1)時，這個動點的軌跡是雙曲線。這定點叫做雙曲線的焦點，定直線l叫做雙曲線的準線。 二、雙曲線的標準方程（，其中||=2c） 需要更多的高考數(shù)學復習資料，請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復習資料 高中數(shù)學 知識點總結 例題精講(詳細解答)” 或者搜.店.鋪..“龍奇跡【學習資料網(wǎng)】” 三、點與雙曲線的位置關系，直線與雙曲線的位置關系 1、點與雙曲線 2、直線與雙曲線 四、雙曲線與漸近線的關系 五、雙曲線與切線方程 六、雙曲線的性質 七、 弦長公式 1、若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標， 則，， 若分別為A、B的縱坐標，則。 2、通徑的定義：過焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于A、B兩點，則弦長。 3、若弦AB所在直線方程設為，則＝。 4、特別地，焦點弦的弦長的計算是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解 八、焦半徑公式 九、等軸雙曲線 十、共軛雙曲線 需要雙曲線的詳細資料，請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復習資料 高中數(shù)學 知識點總結 例題精講(詳細解答)” 或者搜.店.鋪..“龍奇跡【學習資料網(wǎng)】” 【拋物線】 一、拋物線的概念 平面內與一定點F和一條定直線l (l不經(jīng)過點F) 距離相等的點的軌跡叫做拋物線。定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線。 二、拋物線的性質 三、相關定義 1、通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦H1H2稱為通徑；通徑：|H1H2|=2P 2、弦長公式： 3、焦點弦：過拋物線焦點的弦，若，則 (1) x0+， (2)，－p2 (3) 弦長,，即當x1=x2時,通徑最短為2p (4) 若AB的傾斜角為θ，則= （5）+= 四、點、直線與拋物線的位置關系 需要詳細的拋物線的資料，請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復習資料 高中數(shù)學 知識點總結 例題精講(詳細解答)” 或者搜.店.鋪..“龍奇跡【學習資料網(wǎng)】” 【圓錐曲線與方程】 一、圓錐曲線的統(tǒng)一定義 平面內的動點P(x,y)到一個定點F(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線的距離之比是一個常數(shù)e(e＞0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點F(c,0)稱為焦點，定直線稱為準線，正常數(shù)e稱為離心率。 當0＜e＜1時，軌跡為橢圓；當e=1時，軌跡為拋物線；當e＞1時，軌跡為雙曲線。 特別注意：當時，軌跡為圓（，當時）。 二、橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程與幾何性質 三、曲線與方程 四、坐標變換 1、坐標變換： 2、坐標軸的平移： 3、中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程 需要更多的高考數(shù)學復習資料，請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復習資料 高中數(shù)學 知識點總結 例題精講(詳細解答)” 或者搜.店.鋪..“龍奇跡【學習資料網(wǎng)】” 精講精練 【例】以拋物線的焦點為右焦點,且兩條漸近線是的雙曲線方程為___________________. 解： 拋物線的焦點為，設雙曲線方程為，，雙曲線方程為 【例】雙曲線=1(b∈N)的兩個焦點F1、F2，P為雙曲線上一點，|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列，則b2=_________。 解：設F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y)，則|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2)，即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2， 又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|，依雙曲線定義，有|PF1|－|PF2|=4， 依已知條件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2 ∴16+8c2＜50+2c2，∴c2＜, 又∵c2=4+b2＜，∴b2＜，∴b2=1。 【例】當取何值時，直線：與橢圓相切，相交，相離？ 解： ①代入②得化簡得 當即時，直線與橢圓相切； 當，即時，直線與橢圓相交； 當，即或時，直線與橢圓相離。 【例】已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，它的一個焦點為F，M是橢圓上的任意點，|MF|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2，橢圓上存在著以y=x為軸的對稱點M1和M2，且|M1M2|=，試求橢圓的方程。 解：|MF|max=a+c，|MF|min=a－c，則(a+c)(a－c)=a2－c2=b2， ∴b2=4，設橢圓方程為 ① 設過M1和M2的直線方程為y=－x+m ② 將②代入①得：(4+a2)x2－2a2mx+a2m2－4a2=0 ③ 設M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，M1M2的中點為(x0，y0)， 則x0= (x1+x2)=，y0=－x0+m=。 代入y=x，得， 由于a2＞4，∴m=0，∴由③知x1+x2=0，x1x2=－，又|M1M2|=， 代入x1+x2，x1x2可解a2=5，故所求橢圓方程為： =1。 【例】某拋物線形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長的支柱的長。需要更多的高考數(shù)學復習資料，請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復習資料 高中數(shù)學 知識點總結 例題精講(詳細解答)” 或者搜.店.鋪..“龍奇跡【學習資料網(wǎng)】” 解：以拱頂為原點，水平線為x軸，建立坐標系， 如圖，由題意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐標分別為(－10，－4）、(10，－4） 設拋物線方程為x2=－2py，將A點坐標代入，得100=－2p×(－4)，解得p=12。5， 于是拋物線方程為x2=－25y。 由題意知E點坐標為(2，－4)，E′點橫坐標也為2，將2代入得y=－0。16，從而|EE′|=(－0.16)－(－4)=3.84。 故最長支柱長應為3.84米。 【例】已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，直線y=x+1與橢圓交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求橢圓方程。 解：設橢圓方程為mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2) 由 得(m+n)x2+2nx+n－1=0，Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0，即m+n－mn＞0， 由OP⊥OQ，所以x1x2+y1y2=0，即2x1x2+(x1+x2)+1=0，∴+1=0，∴m+n=2 ① 又22，將m+n=2，代入得m·n= ② 由①、②式得m=，n=或m=，n= 故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1。 【例】已知圓C1的方程為，橢圓C2的方程為，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程。 解：由設橢圓方程為 設 又 兩式相減，得 又即 將 需要更多的高考數(shù)學復習資料，請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復習資料 高中數(shù)學 知識點總結 例題精講(詳細解答)” 或者搜.店.鋪..“龍奇跡【學習資料網(wǎng)】” 由得 解得 故所有橢圓方程 【例】過點(1，0)的直線l與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點，直線y=x過線段AB的中點，同時橢圓C上存在一點與右焦點關于直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程。 解法一：由e=，得，從而a2=2b2，c=b。設橢圓方程為x2+2y2=2b2，A(x1，y1)，B(x2，y2)在橢圓上。 則x12+2y12=2b2，x22+2y22=2b2，兩式相減得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0， 設AB中點為(x0，y0)，則kAB=－，又(x0，y0)在直線y=x上，y0=x0，于是－=－1，kAB=－1， 設l的方程為y=－x+1。右焦點(b，0)關于l的對稱點設為(x′，y′)， 由點(1，1－b)在橢圓上，得1+2(1－b)2=2b2，b2=。 ∴所求橢圓C的方程為 =1，l的方程為y=－x+1。 解法二：需要更多的高考數(shù)學復習資料，請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復習資料 高中數(shù)學 知識點總結 例題精講(詳細解答)” 或者搜.店.鋪..“龍奇跡【學習資料網(wǎng)】”由e=，從而a2=2b2，c=b。設橢圓C的方程為x2+2y2=2b2，l的方程為y=k(x－1)， 將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0， 則x1+x2=，y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－。 直線l：y=x過AB的中點()，則，解得k=0，或k=－1。 若k=0，則l的方程為y=0，焦點F(c，0)關于直線l的對稱點就是F點本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=－1，直線l的方程為y=－(x－1)，即y=－x+1，以下同解法一。 解法三：設橢圓方程為 直線不平行于y軸，否則AB中點在x軸上與直線中點矛盾。故可設直線 ， ，，， ，， ，， ，，， ，， 則， ，， ， 所以所求的橢圓方程為： 【例】如圖，已知△P1OP2的面積為，P為線段P1P2的一個三等分點，求以直線OP1、OP2為漸近線且過點P的離心率為的雙曲線方程。 解：以O為原點，∠P1OP2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標系。 設雙曲線方程為=1(a＞0，b＞0)，由e2=，得。 ∴兩漸近線OP1、OP2方程分別為y=x和y=－x 設點P1(x1， x1)，P2(x2，－x2)(x1＞0，x2＞0)， 則由點P分所成的比λ==2，得P點坐標為()， 又點P在雙曲線=1上，所以=1， 即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2，整理得8x1x2=9a2 ① 即x1x2= ② 由①、②得a2=4，b2=9。 故雙曲線方程為=1。 【例】需要更多的高考數(shù)學復習資料，請在淘.寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復習資料 高中數(shù)學 知識點總結 例題精講(詳細解答)” 或者搜.店.鋪..“龍奇跡【學習資料網(wǎng)】”過橢圓C：上一動點P引圓O：x2 +y2 =b2的兩條切線PA、PB，A、B為切點，直線AB與x軸，y軸分別交于M、N兩點。(1) 已知P點坐標為(x0，y0 )并且x0y0≠0，試求直線AB方程；(2) 若橢圓的短軸長為8，并且，求橢圓C的方程；(3) 橢圓C上是否存在點P，由P向圓O所引兩條切線互相垂直？若存在，請求出存在的條件；若不存在，請說明理由。 解：(1)設A(x1，y1)，B(x2， y2) 切線PA：，PB： ∵P點在切線PA、PB上，∴ ∴直線AB的方程為 (2)在直線AB方程中，令y=0，則M(，0)；令x=0，則N(0，) ∴ ① ∵2b=8 ∴b=4 代入①得a2 =25， b2 =16 ∴橢圓C方程： (3) 假設存在點P(x0，y0)滿足PA⊥PB，連接OA、OB由|PA|=|PB|知， 四邊形PAOB為正方形，|OP|=|OA| ∴ ① 又∵P點在橢圓C上 ∴ ② 由①②知x ∵a>b>0 ∴a2 －b2>0 (1)當a2－2b2>0，即a>b時，橢圓C上存在點，由P點向圓所引兩切線互相垂直； (2)當a2－2b2<0，即b
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