題型五 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題.doc
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目錄 題型五 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題 2 類型一 與特殊三角形形狀有關(guān) .2 類型二 與特殊四邊形形狀有關(guān) .8 類型三 與三角形相似有關(guān) .18 類型四 與圖形面積函數(shù)關(guān)系式、最值有關(guān) .23 類型五 與線段、周長(zhǎng)最值有關(guān) .29 題型五 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題 類型一 與特殊三角形形狀有關(guān) 針對(duì)演練 1. (’16 原創(chuàng))如圖,已知拋物線 y=-x2+bx+c 的對(duì)稱軸為 x=1,與 y 軸的交點(diǎn)第 1 題 圖 C 為( 0,3) ,與 x 軸交于點(diǎn) A、B,頂點(diǎn)為 D. (1)求拋物線的解析式; (2)求 A、B、D 的坐標(biāo),并確定四邊形 ABDC 的面積; (3)點(diǎn) P 是 x 軸上的動(dòng)點(diǎn),連接 CP,若△CBP 是等腰三角形,求點(diǎn) P 的坐標(biāo). 2. (’15 長(zhǎng)沙模擬)如圖,拋物線 y=ax2+bx+c 的圖象過點(diǎn) M(-2, ) ,頂點(diǎn)為3 N(-1, ) ,與 x 軸交于點(diǎn) A、B (點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的右側(cè)) ,與 y 軸交于點(diǎn) C.43 (1)求拋物線解析式; (2)判斷△ABC 的形狀,并說明理由; (3)若點(diǎn) Q 是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),當(dāng)△QBC 是直角三角形時(shí),求點(diǎn) Q 的坐 標(biāo). 3. (’16 原創(chuàng))如圖,拋物線 y = - x2+mx+n 與 x 軸交于點(diǎn) A、B 兩點(diǎn),與 y 軸1 交于點(diǎn) C,其對(duì)稱軸與 x 軸的交點(diǎn)為 D,已知 A(-1,0) ,C(0,2). (1)求拋物線的解析式; (2)判斷△ACD 的形狀,并說明理由; (3)在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn) P,使得△ PBC 是以 P 為直角頂點(diǎn)的直 角三角形,若存在,求點(diǎn) P 的坐標(biāo);若不存在,說明理由 . 4. 如圖,已知二次函數(shù) L1:y=x2-4x+3 與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)(點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左 邊) ,與 y 軸交于點(diǎn) C. (1)寫出 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo); (2)二次函數(shù) L2:y=kx2-4kx+3k(k≠0),頂點(diǎn)為 P. ①直接寫出二次函數(shù) L2 與二次函數(shù) L1 有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì); ②是否存在實(shí)數(shù) k,使△ ABP 為等邊三角形?如果存在,請(qǐng)求出 k 的值;如不 存在,請(qǐng)說明理由; ③若直線 y=8k 與拋物線 L2 交于 E、F 兩點(diǎn),問線段 EF 的長(zhǎng)度是否會(huì)發(fā)生變化? 如果不會(huì),請(qǐng)求出 EF 的長(zhǎng)度;如果會(huì),請(qǐng)說明理由. 答案 1. 解:(1)∵拋物線 y =-x2+bx+c 的對(duì)稱軸為 ,12bx??? 解得 b=2,∵ 拋物線過點(diǎn) C(0,3) ,∴c=3 , ∴拋物線解析式為 y=-x2+2x+3; (2)由拋物線 y=-x2+2x+3,令 y =0 得,-x 2+2x+3=0, 解得 x1=-1,x2=3,∴點(diǎn) A(-1,0 ) ,點(diǎn) B(3,0) , 當(dāng) x=1 時(shí),y=-1 2+2+3=4,∴點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(1,4). 如解圖,過 D 作 DM⊥AB 于 M,則 OM =1,DM =4, ∴S 四邊形 ABDC =S△AOC +S 四邊形 OMDC+S△BMD = AO·OC + (OC+ MD)·OM + BM·DM1212 = ×1×3+ ×(3+4 )×1+ ×4×2 =9. (3)設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(t,0) ,則 PC 2=t 2+32,PB 2=(3-t)2, ∴BC 2=32+32=18, 若△PBC 是等腰三角形, 則有①PC 2=PB 2,即 t 2+9=(3-t)2,解得 t =0,此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(0,0) ; ②PC 2=BC 2,則 t 2+9=18,解得 t =3(舍)或 t =-3,此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(-3,0) ; ③PB 2=BC 2 則(3-t) 2=18,解得 t =3+ 或 t =3- ,32 此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(3+ ,0)或(3- ,0). 2. 解:(1)由拋物線的頂點(diǎn)為 N(-1, ) ,故設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式為 y=a(x+1)43 2+ ,43 將點(diǎn) M(-2, )代入解析式得, a×(-2+1)2+ =3,43 解得 a = ,? ∴拋物線的解析式為 y = - (x+1)2+ .343 即 y= x2 x + .3? (2)對(duì)于拋物線 y= x2- x + ,令 y = 0,3?3 得 x2- x + =0,3? 解得 x1=1,x2=-3, ∴點(diǎn) A(1,0) ,點(diǎn) B(-3,0) , 令拋物線 x=0,得 y= ,3 ∴點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(0, ). ∴AB 2=42=16,AC 2=12+( )2=4,BC 2=32+( )2=12,3 ∴AB 2=AC 2+BC 2, ∴△ABC 是直角三角形. (3)由拋物線頂點(diǎn) N(-1, )知拋物線的對(duì)稱軸為 x =-1,43 設(shè)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為(-1,t) , 則 BQ 2=(-3+1)2+t 2=4+t 2,CQ 2=(-1)2+(t- )2=t 2- t+4,BC 2=12.3 要使△BQC 是直角三角形, (ⅰ) 當(dāng)∠BQC =90°,則 BQ 2+QC 2=BC 2, 即 4+t 2+t 2- t+4=12,3 解得 t1= + ,t2= - ,此時(shí)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為(-1, + )或(-1,3321 - ) ;32 (ⅱ)當(dāng)∠QBC=90° ,則 BQ 2+BC 2=QC 2, 即 4+t 2+12=t 2- t+4,解得 t=- ,此時(shí)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為(-1,- ) ;3323 (ⅲ)當(dāng)∠BCQ = 90°時(shí),則 QC 2+BC 2=BQ 2, 即 t 2- t+4+12=4+t 2,解得 t = ,此時(shí)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為(-1, ). 綜上,當(dāng)△QBC 是直角三角形時(shí),點(diǎn) Q 坐標(biāo)為( -1, ) , (-312? 1,± )23 3. 解:(1)∵點(diǎn) A(-1,0) ,C(0,2)在拋物線上, ∴ ,解得02mn ???????32n????? ∴拋物線解析式為 y=- x2+ x+2;1 (2)△ACD 是等腰三角形. 理由:∵拋物線 y=- x2+ x+2 的對(duì)稱軸為直線 x = ,332 ∴點(diǎn) D( ,0) ,3 ∵A(-1,0) , C(0,2) , ∴AC = , AD =1+ = ,CD = ,5325235()?? ∴AD=CD≠ AC, ∴△ACD 是等腰三角形; (3)令拋物線 y=- x2+ x+2=0,得 x1=-1,x2=4,13 ∴點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(4,0) ,則 BC = ,5 取 BC 的中點(diǎn)為 S,則點(diǎn) S 的坐標(biāo)為(2,1) ; 設(shè)點(diǎn) P( ,t) ,32 則 PS = BC = ,即(2- )2+(t-1)2=5,153 解得 t1=1+ ,t2=1- ,91 ∴存在這樣的點(diǎn) P,其坐標(biāo)為( ,1+ )或( ,1- ).32193219 4. 解:(1)當(dāng) y=0 時(shí),x 2-4x+3=0, ∴x 1=1,x 2=3, 即:A(1,0),B(3,0); (2) ①二次函數(shù) L2 與 L1 有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì): (Ⅰ)對(duì)稱軸都為直線 x=2 或頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為 2; (Ⅱ)都經(jīng)過 A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn); ②存在實(shí)數(shù) k,使△ABP 為等邊三角形. ∵y=kx 2-4kx+3k=k(x -2) 2-k, ∴頂點(diǎn) P(2,- k). ∵A(1,0),B(3,0) ,∴AB = 2, 要使△ABP 為等邊三角形,必滿足|-k|=3,∴k=±3; ③線段 EF 的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化. ∵直線 y=8k 與拋物線 L2 交于點(diǎn) E、F 兩點(diǎn), ∴kx 2-4kx+3k=8k, ∵k≠0, ∴x 2-4x+3=8, ∴x 1=-1,x 2=5, ∴EF =x 2-x1=6, ∴線段 EF 的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化且 EF=6. 類型二 與特殊四邊形形狀有關(guān) 針對(duì)演練 1. 拋物線 y=x2+bx+c 經(jīng)過 A(0,2) ,B(3,2)兩點(diǎn),點(diǎn) D 在 x 軸的正半軸. (1)求拋物線與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo); (2)若點(diǎn) C 為拋物線與 x 軸的交點(diǎn),是否存在點(diǎn) D,使 A、B 、C、D 四點(diǎn)圍 成的四邊形是平行四邊形?若存在,求點(diǎn) D 的坐標(biāo);若不存在,說明理由 . 2. 如圖,已知平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,O 是坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線 y=- x2+bx+c(c>0)的頂點(diǎn) D 在第二象限,與 y 軸的交點(diǎn)為 C,過點(diǎn) C 作 CA∥x 軸交拋物線于點(diǎn) A,在 AC 延長(zhǎng)線上取點(diǎn) B,使 AC =2BC,連接 OA,OB ,BD 和 AD. (1)若點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(-4,4) ,求拋物線的解析式; (2)在(1)的條件下,求直線 BD 的解析式; (3)是否存在 b、c 使得四邊形 AOBD 是矩形,若存在,直接寫出 b 與 c 的關(guān) 系式;若不存在,說明理由. 3. 如圖,已知直線 y = x+8 與 x 軸交于點(diǎn) A,與 y 軸交于點(diǎn) B,C 是線段 AB43? 的中點(diǎn),拋物線 y=ax2+bx+c(a0)過 O、A 兩點(diǎn),且其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 .43? (1)分別寫出 A、B、C 三點(diǎn)的坐標(biāo); (2)求拋物線的函數(shù)解析式; (3)在拋物線上是否存在點(diǎn) P,使得以 O、P 、B、C 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若 存在,求所有滿足條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由 . 4. (’15 畢節(jié) 16 分)如圖,拋物線 y=x 2+bx+c 與 x 軸交于 A(-1,0) , B(3,0)兩點(diǎn),頂點(diǎn) M 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)是 M′.第 4 題圖 (1)求拋物線的解析式; (2)若直線 AM′與此拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為 C,求 △CAB 的面積; (3)是否存在過 A、B 兩點(diǎn)的拋物線,其頂點(diǎn) P 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 Q,使得 四邊形 APBQ 為正方形?若存在,求出此拋物線的解析式; 若不存在,請(qǐng)說明理 由. 5. (’15 黃岡 14 分)如圖,在矩形 OABC 中,OA=5,AB=4,點(diǎn) D 為邊 AB 上一 點(diǎn),將△BCD 沿直線 CD 折疊,使點(diǎn) B 恰好落在 OA 邊上的點(diǎn) E 處,分別以 OC,OA 所在的直線為 x 軸,y 軸建立平面直角坐標(biāo)系. (1)求 OE 的長(zhǎng); (2)求經(jīng)過 O,D,C 三點(diǎn)的拋物線的解析式; (3)一動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) C 出發(fā),沿 CB 以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng),同 時(shí)動(dòng)點(diǎn) Q 從 E 點(diǎn)出發(fā),沿 EC 以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn) P 到 達(dá)點(diǎn) B 時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒,當(dāng) t 為何值時(shí),DP =DQ; (4)若點(diǎn) N 在(2)中的拋物線的對(duì)稱軸上,點(diǎn) M 在拋物線上,是否存在這樣 的點(diǎn) M 與點(diǎn) N,使得以 M,N,C,E 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在, 請(qǐng)求出 M 點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由. 答案 1. 解:( 1)把 A(0,2),B(3,2)代入 y=x2+bx+c,得 ,解得 ,293cb?????3bc????? ∴拋物線的解析式為:y =x2-3x+2, 當(dāng) y =0 時(shí),x 2-3x+2=0,解得 x1=1,x 2=2, ∴拋物線與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,0)、(2,0). (2)存在. 理由:∵A(0 ,2),B(3, 2), ∴AB∥x 軸,且 AB =3, 要使 A、B 、C、D 四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形, 則只要 CD =AB =3. ①當(dāng) C 點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)時(shí),D 坐標(biāo)為(4,0) ; ②當(dāng) C 點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)時(shí),D 坐標(biāo)為(5,0). ∴存在點(diǎn) D,使以 A,B , C,D 四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,D 點(diǎn)的坐 標(biāo)為(4,0)或(5,0). 2. 解:(1)∵CA∥x 軸,點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(-4,4 ) , ∴點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(0,4) , 將點(diǎn) A 與點(diǎn) C 代入 y=-x2+bx+c 得 ,解得 ,164bc??????4b???? ∴拋物線的解析式為 y=-x2-4x+4; (2)∵AC =2BC,∴BC =2, ∴點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(2,4) , 由拋物線 y=-x2-4x+4 得頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(-2,8) , 設(shè)直線 BD 的解析式為 y=kx+m, 則 ,解得 ,824km??????16k????? ∴直線 BD 的解析式為 y =-x+6. (3)存在,b 與 c 的關(guān)系式為 b=- c.2 【解法提示】∵點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(0,c) ,拋物線的對(duì)稱軸為 x = <0,即2b b<0,AC∥x 軸, ∴點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(b,c ) , ∵AC=2 BC, ∴點(diǎn) B 的坐標(biāo)為( - ,c) ,2b 則 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為( ,c) ,4 若四邊形 AOBD 是矩形, 則需①OD 的中點(diǎn)坐標(biāo)為( ,c) ;②OD= AB,b 由①得點(diǎn) D 的坐標(biāo)為( ,2c) ,4 由②得( )2=( )2+(2c)2,整理得 2c2=b2,3b ∵c>0,b< 0, ∴b=- c.2 3. 解:(1)令 y=0,即- x+8=0,得 x=6,∴A 點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0) ,43 令 x=0,則 y=8,∴B 點(diǎn)坐標(biāo)為(0,8) , ∴C 點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4). (2)∵點(diǎn) C 在拋物線的對(duì)稱軸上, ∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,- ).43 依題意有 ,解得 , 036493cab???????27890abc??????? ∴拋物線的函數(shù)解析式為 ;2879yx? (3)存在. ∵∠AOB=90°,A(6,0) 、B(0,8) , ∴ ,2261BO??? ∵C 是 AB 的中點(diǎn), ∴OC = AB=BC=5,12 ∵OB=8, ∴OB> OC,且 OB>BC, ∴當(dāng)以 O、P、B 、C 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí),OB 是菱形的對(duì)角線, 連接 PC,則 OB 是 PC 的垂直平分線, ∴點(diǎn) P 與點(diǎn) C 關(guān)于 y 軸對(duì)稱, ∵C( 3,4) , ∴P(-3,4) , 把點(diǎn) P(-3 , 4)代入拋物線解析式 得:24879yx?? 當(dāng) x=-3 時(shí),y = ×(-3) 2- ×(-3)=4,789 ∴點(diǎn) P(-3 , 4)在拋物線上 . 故在拋物線上存在點(diǎn) P,使以 O、P、B、C 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,且點(diǎn) P 的 坐標(biāo)是(-3 ,4). 4. 解:(1)∵拋物線與 x 軸交于點(diǎn) A(-1,0 ) ,B(3,0), ∴拋物線的解析式為 y=( x+1)(x-3) =x 2-2x-3;……………………(4 分) (2)∵拋物線 y=x 2-2x-3=(x-1)2-4, ∴點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(1,-4 ). ∵點(diǎn) M 與點(diǎn) M′關(guān)于 x 軸對(duì)稱, ∴點(diǎn) M′的坐標(biāo)為(1,4) ,…………………………………………………(6 分) 設(shè)直線 AM′的解析式為 y=kx+m, 將點(diǎn) A(-1,0 ) ,點(diǎn) M′(1,4)代入得, ,解得 ,04km??????2k???? ∴直線 AM′的解析式為 y= 2x+2,…………………………………………(8 分) 將直線 AM′與拋物線 y=x 2-2x-3 聯(lián)立得 ,解得 ,23yx??????10?????251y ∴點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(5,12) ,……………………………………………………(10 分) 又∵AB =3-( -1)=4, ∴S △CAB = ×4×12=24. ……………………………………………………(12 分)12 (3)∵四邊形 APBQ 是正方形, ∴PQ 垂直且平分 AB,且 PQ=AB, 設(shè) PQ 與 x 軸交點(diǎn)為 N,則 PN = AB=2,12 ∵拋物線的對(duì)稱軸為 x= 1, ∴點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(1,2)或(1,-2). …………………………………(13 分) 設(shè)過 A、B 兩點(diǎn)的拋物線的解析式為 y=a(x+1)(x-3), 將點(diǎn)(1,2)代入得 a =- ,12 此時(shí)拋物線解析式為 y =- (x+1)(x-3)=- x2+x + ;………………(15 分)13 將點(diǎn)(1,-2 )代入得 a = , 此時(shí)拋物線解析式為 .……………………(16 分)21()32yxx???? 5. 解:(1)∵四邊形 OABC 為矩形, ∴BC=OA=5,OC=AB=4,∠COA=90°, 又∵△CED 是△BCD 沿直線 CD 折疊得到的,點(diǎn) B 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 點(diǎn) E, ∴CE=BC=5, 在 Rt△ COE 中,OE 2=CE 2-OC 2, ∴OE = ,24? ∴OE= 3. ………………………………………………………………………(2 分) (2)設(shè) AD =m, 則 DE=BD=4-m.∵OE =3, ∴AE=OA- OE=5-3 =2. 在 Rt△ ADE 中,AD 2+AE 2=DE 2,即 m 2+22=(4-m)2, ∴m= ,32 ∴D(- ,-5). ………………………………………………………………(4 分) 又∵C (-4,0) ,O(0,0) , ∴設(shè)過 O,D,C 三點(diǎn)的拋物線的解析式為 y=ax(x+4), ∴-5= - a·(- +4) ,32 ∴a= ,4 ∴經(jīng)過 O,D,C 三點(diǎn)的拋物線的解析式為 y= x2+ x. …………………(6 分)4316 (3)①由于運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒,則 EQ=t,CP=2t, 如解圖①,∵△BCD 沿直線 CD 折疊得到△ECD, ∴BD= DE, 若 DP= DQ, 則 Rt△ PBD≌ Rt△QED(HL), ∴PB=QE,即 CB-CP=EQ. ∴5-2t=t, 解得 t= .………………………………………………………………………(8 分)53 (4) (?。┤缃鈭D②,當(dāng) M 點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè),即為 M1 點(diǎn), M1N∥CE 且 M1N =CE 時(shí),四邊形 ECNM 1 為平行四邊形, 過 M 1 作 M 1F 垂直對(duì)稱軸于點(diǎn) F,則△M 1FN ≌△COE, ∴FM 1=OC ,∵對(duì)稱軸為直線 x=-2 , ∴此時(shí),點(diǎn) M 1 的橫坐標(biāo)為 2, 對(duì)于 y = x2+ x,當(dāng) x=2 時(shí),y=16,436 ∴點(diǎn) M 1 的坐標(biāo)為(2,16). ………………………………………………(10 分) (ⅱ)如解圖③ ,當(dāng) M 點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè),即為 M 2, M 2N∥CE 且 M 2N =CE 時(shí), 四邊形 ECM 2N 為平行四邊形,過 M 2 作 M 2F 垂直對(duì)稱軸于點(diǎn) F,則△M 2FN ≌△COE, ∴FM 2=OC , ∵對(duì)稱軸直線 x=-2, ∴此時(shí),點(diǎn) M 2 的橫坐標(biāo)為-6. 對(duì)于 y = x2+ x,當(dāng) x=-6 時(shí),y=16 ,4316 ∴點(diǎn) M 2 的坐標(biāo)為(-6 ,16). ………………………………………………(12 分) (ⅲ)如解圖④,當(dāng) M 點(diǎn)在拋物線的頂點(diǎn)上,即為 點(diǎn) M 3,CN∥ M 3E 且 CN = M 3E 時(shí),四邊形 EM 3CN 為平行四邊形,CE 與 NM 3 相 交于點(diǎn) O′,則 O′為線段 CE 的中點(diǎn), 又∵點(diǎn) M 3 在對(duì)稱軸上,則 M 3 的橫坐標(biāo)為-2, 對(duì)于 y = x2+ x,當(dāng) x=-2 時(shí),y=- ,41616 ∴點(diǎn) M 3 的坐標(biāo)為(-2 ,- ). 綜上所述,當(dāng)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(2,16) 、 (-6,16) 、 (-2,- )時(shí),以163 M,N,C,E 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形. ……………………………………………(14 分) 類型三 與三角形相似有關(guān) 針對(duì)演練 1. (’15 黔南州 12 分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,拋物線 y=- x2+bx+c16 過點(diǎn) A(0,4)和 C(8,0),P(t,0)是 x 軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),M 是線段 AP 的中點(diǎn), 將線段 MP 繞點(diǎn) P 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°得線段 PB.過點(diǎn) B 作 x 軸的垂線,過點(diǎn) A 作 y 軸的垂線,兩直線相交于點(diǎn) D. (1)求 b、c 的值; (2)當(dāng) t 為何值時(shí),點(diǎn) D 落在拋物線上; (3)是否存在 t,使得以 A、B 、D 為頂點(diǎn)的三角形與 △AOP 相似?若存在,求此 時(shí) t 的值;若不存在,請(qǐng)說明理由. 2. (’15 常德模擬)已知拋物線 y =ax2-2x+c 與 x 軸交于 A(-1,0) 、B 兩點(diǎn), 與 y 軸交于點(diǎn) C,對(duì)稱軸為 x =1,頂點(diǎn)為 E,直線 y =- x+1 交 y 軸于點(diǎn) D.13 (1)求拋物線的解析式; (2)求證:△BCE∽△BOD; (3)點(diǎn) P 是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△BDP 的面積等 于△BOE 的面積? 答案 解:(1)由拋物線 y =- x2+bx+c 過點(diǎn) A(0,4)和 C(8,0)可得,16 ∴ ,解得 4680cbc????????5bc????? 故 b 的值為 ,c 的值為 4;………………………………………………(3 分)5 (2)∵∠AOP =∠PEB=90° ,∠OAP =∠EPB=90°-∠APO, ∴△AOP ∽△ PEB,則 ,2OAPEB? ∵AO =4,P(t,0), ∴PE =2,OE =OP +PE = t+2, 又∵DE =OA =4, ∴點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(t+2,4), ∴點(diǎn) D 落在拋物線上時(shí),有- (t+2)2+ (t+2)+4=4,165 解得 t=3 或 t=-2, ∵t>0, ∴t=3. 故當(dāng) t 為 3 時(shí),點(diǎn) D 落在拋物線上;…………………………………………(6 分) (3)存在,理由: 由(2)知△AOP ∽△PEB, 則 ,2OPABE? ∵P(t,0),即 OP=t. ∴BE = .2 ①當(dāng) 0<t<8 時(shí), 若△POA∽△ ADB,則 ,OPADB? 即 ,412tt??? 整理得 t 2+16=0, ∴t 無解; 若△POA∽△ BDA,則 ,即 ,POABD?412t??? 解得 t1= -2+ 或 t2= -2- (舍去);55 ②當(dāng) t>8 時(shí),如解圖. 若△POA∽△ ADB,則 ,POADB? 即 ,412t??? 解得 t1= 8+ 或 t2= 8- (負(fù)值舍去);55 若△POA∽△ BDA,同理可得 t 無解. 綜上可知,當(dāng) t =-2+ 或 8+ 時(shí),以 A、B 、D 為頂點(diǎn)的三角形與△AOP4 相似. …………………………………………………………………………(12 分) 2. 解:(1)由拋物線 y=ax2-2x+c 得,對(duì)稱軸 ,∴a =1,21bx?? 將點(diǎn) A(-1 , 0)及 a=1,代入 y=ax2-2x+c 中,得 1+2+c=0,c =-3, ∴拋物線的解析式:y =x2-2x-3; (2)由拋物線的解析式 y =x2-2x-3=(x-1)2-4 =(x+1)(x-3),得點(diǎn) C(0,-3) 、 B(3,0) 、E(1,-4 ). 易知點(diǎn) D(0,1) ,則有: OD =1,OB =3,BD = ,CE = ,BC = ,BE = ,102325 ∴ ,ODBCE? ∴△BCE∽△BOD ; (3)S △BOE = ×BO×|yE|= ×3×4=6,12 ∴S △BDP = ×BD×h=S△BOE =6,即 h = ,120 在 y 軸上取點(diǎn) M,過點(diǎn) M 作 MN 1⊥BD 于 N 1,使得 MN 1=h= ,20 在 Rt△ MN 1D 中,sin ∠MDN 1=sin∠BDO= ,3OBD? 且 MN 1= ;20 則 MD= =4;1sinMND? ∴點(diǎn) M(0,-3 )或(0,5). 過點(diǎn) M 作直線 l⊥MN 2,如解圖, 則直線 l:y =- x-3 或 y=- x+5.13 聯(lián)立拋物線的解析式有: 或 ,2 13yx??????2153yx??????? 解得: , 或 ,103xy????? 259?35681y??????468531xy????? ∴當(dāng)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為( 0,-3) , ( , ) , ( , ) , (3296? , )時(shí),△BDP 的面積等于△BOE 的面積.5316?8531? 類型四 與圖形面積函數(shù)關(guān)系式、最值有關(guān) 針對(duì)演練 1.(’15 安順 26 題 14 分)如圖,拋物線 y=ax2+bx+ 與直線 AB 交于點(diǎn) A(-1,0),52 B(4,52).點(diǎn) D 是拋物線 A,B 兩點(diǎn)間部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn) A,B 重合) ,直線 CD 與 y 軸平行,交直線 AB 于點(diǎn) C,連接 AD,BD. (1)求拋物線的解析式; (2)設(shè)點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)為 m,△ADB 的面積為 S,求 S 關(guān)于 m 的函數(shù)關(guān)系式, 并求出當(dāng) S 取最大值時(shí)的點(diǎn) C 的坐標(biāo). 2. (’15 岳陽模擬)如圖,拋物線 y=-x2+bx+c 與 x 軸交于 A(1,0) ,B(- 3,0)兩點(diǎn). (1)求該拋物線的解析式; (2)設(shè)(1)中的拋物線交 y 軸于 C 點(diǎn),在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn) Q,使得△QAC 的周長(zhǎng)最???若存在,求出 Q 點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理 由; (3)在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn) P,使△PBC 的面積最 大?若存在,求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)及△PBC 的面積最大值;若沒有,請(qǐng)說明理由. 3. (’15 永州模擬)如圖,已知平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,拋物線 y=ax2+bx+c 的 對(duì)稱軸為 x=0,點(diǎn) A(m ,6) ,B(n,1)為兩動(dòng)點(diǎn),其中 0<m<3,連接 OA,OB,OA⊥OB. (1)求證:mn=-6; (2)當(dāng) S△AOB =10 時(shí),拋物線經(jīng)過 A,B 兩點(diǎn)且以 y 軸為對(duì)稱軸,求拋物線對(duì) 應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式; (3)在(2)的條件下,設(shè)直線 AB 交 y 軸于點(diǎn) F,過點(diǎn) F 作直線 l 交拋物線于 P,Q 兩點(diǎn),問是否存在直線 l,使 S△POF ∶S △QOF =1∶3?若存在,求出直線 l 對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;若不存在,請(qǐng)說明理由. 答案 1.解:(1)由題意得 ,……………………………………(2 分) 502164ab??????? 解得 ,…………………………………………………………………(4 分) 12ab?????? ∴ .…………………………………………………………(6 分)215yx??? (2)設(shè)直線 AB 為 ,則有 ,ykxb??0542kb??????? 解得 ,……………………………………………………………………(7 12kb????? 分) ∴直線 AB 的解析式為 .…………………………………………(8 分)12yx?? 則 ,…………………………………(9 分)215(,),()DmCm?? 2151()()2CDm????? .………………………………………………………(10 分)3 ∴ (1)(4)ACDBSCDm????△ △ 2153()m???? . …………………………………………………(11 分)2154 ∵ <0,5 ∴拋物線開口向下 故當(dāng) m= 時(shí),S 有最大值. ……………………………………………… (12 分)32 當(dāng) m= 時(shí), ,131524??? ∴點(diǎn) C( , ).54 當(dāng) S 取最大值時(shí)的點(diǎn) C 坐標(biāo)為( , ).…………………………………(14 分) 2. 解:(1)將 A(1,0) ,B(-3,0)代入 y=-x2+bx+c 中, 得 ,∴ ,93bc??????23b???? ∴拋物線解析式為:y=-x 2-2x+3; (2)存在. 理由如下:由題意知 A、B 兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸 x=-1 對(duì)稱, ∴直線 BC 與 x=-1 的交點(diǎn)即為 Q 點(diǎn),此時(shí)△AQC 的周長(zhǎng)最 小, ∵y=-x 2-2x+3, ∴C 的坐標(biāo)為(0,3) , ∴直線 BC 的解析式為 y=x+3. 將 x=-1 代入 y=x+3 中,解得 y=2, ∴Q(-1,2). (3)存在. 理由如下: ∵B(-3,0),C(0,3) , ∴水平寬 a =xC-xB =0-(-3)=3. 設(shè)點(diǎn) P(x ,-x2-2x+3)(-3x0), 過 P 點(diǎn)作 PE⊥x 軸交 x 軸于點(diǎn) E,交 BC 于點(diǎn) F,則 F 點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x +3) , ∴鉛垂高 h=yP-yF=-x 2-2x+3-(x+3)=-x2-3x, ∴S = ah= (-x2-3x)=- (x2+3x+ - )1394 =- (x+ ) 2+ ,78 ∴當(dāng) x=- 時(shí),△BPC 的面積最大,最大為 ,278 當(dāng) x=- 時(shí),-x 2-2x+3 = ,3154 ∴點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(- , ).3 3. (1)證明:作 BC⊥x 軸于點(diǎn) C,AD⊥x 軸于點(diǎn) D, ∵A,B 點(diǎn)坐標(biāo)分別為(m,6),(n,1), ∴BC=1, OC=-n,OD=m,AD=6, 又 OA⊥ OB, 易證△CBO∽△DOA, ∴ ,CBODA? ∴ ,16nm? ∴mn=-6. (2)解:由(1)知,△CBO∽△DOA, ∴ ,即 OA=mBO,1OBCAD? 又∵S △AOB = 10, ∴ OB·OA=10,即 OB·OA=20,32 ∴mBO 2=20, 又 OB 2=BC 2+OC 2=n2+1, ∴m(n 2+1)=20, 又∵mn=-6, ∴m=2,n=-3, ∴A 坐標(biāo)為(2,6) ,B 坐標(biāo)為(-3,1) , 易得拋物線解析式為 y=-x2+10. (3)解:存在. 理由如下: 直線 AB 的解析式為 y=x+4,且與 y 軸交于點(diǎn) F(0,4) , ∴OF= 4, 假設(shè)存在直線 l 交拋物線于 P,Q 兩點(diǎn),使 S△POF ∶ S△QOF =1∶3,如解圖所示, 則有 PF∶FQ =1∶3,作 PM⊥y 軸于點(diǎn) M,QN⊥ y 軸 于點(diǎn) N, 設(shè) P 坐標(biāo)為(x ,-x2+10) ,∴PM =- x,OM =-x 2+10, 則 FM =OM-OF=(-x2+10)-4=-x2+6, 易證△PMF ∽△QNF, ∴ ,13MFQN? ∴QN =3PM =-3x,NF =3MF =-3 x2+18, ∴ON =NF –OF =-3x 2+18-4=-3x2+14, ∴Q 點(diǎn)坐標(biāo)為(-3x ,3x2-14), ∵Q 點(diǎn)在拋物線 y=-x2+10 上, ∴3x 2-14=-9x2+10, 解得:x 1= ,x2=- , ∴P 1( ,8),Q 1(-3 ,-8), P 2(- ,8),Q 2(3 ,-8) ∴易得直線 PQ 的函數(shù)關(guān)系式為 y=2 x+4 或 y=-2 x+4.22 類型五 與線段、周長(zhǎng)最值有關(guān) 針對(duì)演練 1. 如圖 ,已知拋物線 y=ax2+bx+c 與 x 軸交于 O、B 兩點(diǎn),其中 O 為原點(diǎn),且 OB=6, 拋物線的頂點(diǎn)為 A,若點(diǎn) M(1, )是拋物線上一點(diǎn). 09 (1)求拋物線的解析式; (2)若 N 為拋物線對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng) NO +NM 的值最小時(shí) ,求點(diǎn) N 的坐標(biāo). 2. (’15 棗莊 10 分)如圖,直線 y=x+2 與拋物線 y=ax 2+bx+6(a≠0)相交于 A( , )和 B(4,m)兩點(diǎn),點(diǎn) P 是線段 AB 上異于 A,B 的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn) P125 作 PC⊥x 軸于點(diǎn) D,交拋物線于點(diǎn) C. (1)求拋物線的解析式; (2)是否存在這樣的點(diǎn) P,使線段 PC 的長(zhǎng)有最大值?若存在,求出這個(gè)最大 值;若不存在,請(qǐng)說明理由; (3)當(dāng)△PAC 為直角三角形時(shí),求點(diǎn) P 的坐標(biāo). 3. (’15 沈陽 14 分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線 與243yx??? x 軸交于 B、C 兩點(diǎn)( 點(diǎn) B 在點(diǎn) C 的左側(cè)) ,與 y 軸交于點(diǎn) A,拋物線的頂點(diǎn)為 D. (1)填空:點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(___,___),點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (___,___), 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 (___, ___),點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 (___,___); (2)點(diǎn) P 是線段 BC 上的動(dòng)點(diǎn)( 點(diǎn) P 不與點(diǎn) B、C 重合 ). ①過點(diǎn) P 作 x 軸的垂線交拋物線于點(diǎn) E,若 PE=PC,求點(diǎn) E 的坐標(biāo); ②在①的條件下,點(diǎn) F 是坐標(biāo)軸上的點(diǎn),且點(diǎn) F 到 EA 和 ED 的距離相等,請(qǐng) 直接寫出線段 EF 的長(zhǎng); ③若點(diǎn) Q 是線段 AB 上的動(dòng)點(diǎn) (點(diǎn) Q 不與點(diǎn) A、B 重合),點(diǎn) R 是線段 AC 上的動(dòng) 點(diǎn)(點(diǎn) R 不與點(diǎn) A、C 重合),請(qǐng)直接寫出△PQR 周長(zhǎng)的最小值. 溫馨提示:可以根據(jù)題意,在備用圖中補(bǔ)充圖形,以便作答. 答案 解:(1)由對(duì)稱性得拋物線與 x 軸的交點(diǎn)為 O(0,0) ,B(6,0), 設(shè)拋物線的解析式為 y=a(x-0)(x-6), ∵M(jìn)(1, )是拋物線上一點(diǎn),209 ∴ =a×1×(-5),∴a=- ,49 ∴拋物線的解析式為 y=- x2+ x.83 (2)拋物線對(duì)稱軸為:x =3,∵點(diǎn) O、B 關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱, ∴連接 MB 交對(duì)稱軸于 N,如解圖,這時(shí) NO +NM 的值最小. 設(shè) MB 的解析式為: y=k1x+b1, 將 B(6,0) ,M (1, )代入 MB 的解析式中,209 得 ,解得 , 1062=9kb??????14-983k????? 易得直線 MB 的解析式為 ,4-9yx?? 當(dāng) x=3 時(shí),y = ,43 ∴N(3, ). 2.解:(1)∵B(4, m)在直線 y=x+2 上, ∴m=4+2=6, ∴B(4,6), ∵點(diǎn) A( , ),B(4,6)在拋物線 y=ax2+bx+6 上,125 ∴ ,解得 ,2)64ba ??????8ab????? ∴拋物線的解析式為 y=2x2-8x+6. …………………………………………(3 分) (2)設(shè)動(dòng)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為( n,n+2) ,則點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 (n,2n 2-8n+6), ∴PC =(n+2)-(2 n2-8n+6) =-2n2+9n-4 =-2(n- )2+ .948 ∴當(dāng) n= 時(shí),線段 PC 取得最大值 .498 ∴存在這樣的點(diǎn) P,使線段 PC 的長(zhǎng)有最大值,PC 最大值為 .……………(6498 分) (3)如解圖①,顯然, ∠APC ≠90°, 當(dāng)∠PAC=90°時(shí),直線 AB 的解析式為 y=x+2, 設(shè)直線 AC 的解析式為 y=-x+b, 把 A( , )代入得 =- +b,解得 b=3.12521 ∴直線 AC 的解析式為 y=-x+3. 由-x+3=2 x2-8x+6, 解得 x = 3 或 x = (舍去) ,1 當(dāng) x=3 時(shí),x+2=3+2=5,此時(shí),點(diǎn) P 坐標(biāo)為 P 1(3,5);………………………(8 分) 當(dāng)∠PCA=90°時(shí),如解圖 ②,由 A( , )知,點(diǎn) C 的縱坐標(biāo)25 為 y= .52 由 2x2-8x+6= ,得 x1= (舍去) ,x 2= ,27 當(dāng) x= 時(shí),x+2= +2= .7 此時(shí),點(diǎn) P 坐標(biāo)為 P 2( , ).7 綜上所述,滿足條件的點(diǎn) P 有兩個(gè),分別為 P 1(3,5),P 2( , ). …(10 分)71 3. 解:(1)A(0,2),B(-3,0),C(1,0) ,D(-1, )83 【解法提示】∵拋物線 與 x 軸交于 B、C 兩點(diǎn),∴243yx??? ,解得 x1=-3,x2 =1,∵點(diǎn) B 在點(diǎn) C 的左側(cè),∴B(-3,0),C(1,0),2403x?? 又∵拋物線與 y 軸交于點(diǎn) A,∴當(dāng) x=0 時(shí),y=2 ,∴A (0,2). ∵ ,且當(dāng) x=-1 時(shí), .∴頂點(diǎn) D 的12()3ba???? 248(1)()33?????? 坐標(biāo)為(-1 , ).8 (2)①設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(n,0) ,-3<n<1. ∵EP⊥x 軸,點(diǎn) E 在拋物線上, ∴點(diǎn) E 的坐標(biāo)為(n, ) ,243?? 又∵PE =PC,∴ ,2413nn???? ∴n 1=- ,n2=1(不符合題意,舍去), 當(dāng) n=- 時(shí), ,32245()()23??? ∴E(- , ),…………………………………………………………………(7 分)5 ② 或 .…………………………………………………………………… (10 分)32 【解法提示】如解圖①,設(shè)直線 DE 與 x 軸交于 M,與 y 軸交于 N,直線 EA 與 x 軸交于點(diǎn) K,根據(jù) E、D 的坐標(biāo)求得直線 ED 的解析式為 y= x+3,根據(jù)13 E、A 的坐標(biāo)求得直線 EA 的解析式為 y=- x+2,∴△MEK 是以 MK 為底邊的等13 腰三角形, △AEN 是以 AN 為底邊的等腰三角形,∵到 EA 和 ED 的距離相等的點(diǎn) F 在頂角 的平分線上,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知,EF 的長(zhǎng)是 E 點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離, ∴EF = 或 .325 ③ . ………………………………………………………………(14 分)3265 【解法提示】根據(jù)題意得:當(dāng) P 與 O 重合時(shí),周長(zhǎng)最小,如解圖②,作 O 關(guān)于 AB 的對(duì)稱點(diǎn) E,作 O 關(guān)于 AC 的對(duì)稱點(diǎn) F,連接 EF 交 AB 于點(diǎn) Q,交 AC 于點(diǎn) R,此時(shí)△PQR 的周長(zhǎng)=PQ +QR +PR =EF,∵A (0,2),B(-3,0),C(1,0), ∴AB = ,AC = ,∵S △AOB = × OE×AB 231??215??12 = OA·OB,∴OE = ,易得△OEM ∽△ABO,∴ ,即12123OMEAB? ,∴OM = ,EM = ,∴E(- , ),同理可求 F( ,13OME?41362413685 ),∴△ PQR 周長(zhǎng)的最小值為 .45 228()()536F????- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 題型五 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題 題型 二次 函數(shù) 幾何圖形 綜合
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