五年級奧數(shù) 圖形面積.doc

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圖 形 面 積 【基本原則】 各種具有一定綜合性的直線形面積問題，重點是需要利用同底或同高的兩三角形的面積相除的商等于對應高或對應底相除的商這一性質的問題，其中包括四邊形和梯形被兩條對角線分割而成的4個小三角形之間的面積關系． 【典型例題】 1．圖16-1中三角形ABC的面積是180平方厘米，D是BC的中點，AD的長是AE長的3倍， EF的長是BF長的3倍．那么三角形AEF的面積是多少平方厘米? 【分析與解】ABD，ABC等高，所以面積的比為底的比，有,所以=180=90(平方厘米)． 同理有×90=30(平方厘米)，×30=22.5(平方厘米)． 即三角形AEF的面積是22.5平方厘米． 2．如圖16-2，把四邊形ABCD的各邊都延長2倍，得到一個新四邊形EFGH如果ABCD的面積是5平方厘米，則EFGH的面積是多少平方厘米? 【分析與解】 方法一：如下圖，連接BD，ED，BG， 有EAD、ADB同高，所以面積比為底的比，有．同理． 類似的，還可得，有=30平方厘米． 連接AC，AF，HC，還可得，， 有=30平方厘米. 有四邊形EFGH的面積為EAH,FCG,EFB,DHG,ABCD的面積和，即為30+30+5=65(平方厘米.) 方法二：連接BD，有EAH 、△ABD中∠EAD+∠BAD=180°又夾成兩角的邊EA、AH，AB、AD的乘積比，=2×3=6，所以=6． 類似的，還可得=6，有+=6（+)=6=30平方厘米． 連接AC，還可得=6，=6，有+=6（+）=6 =30平方厘米． 有四邊形EFGH的面積為△EAH，△FCG，△EFB，△DHG，ABCD的面積和，即為30+30+5=65平方厘米． 評注：方法二用到了一個比較重要的性質，若兩個三角形的某對夾角相等或互補(和為180°)，那么構成這個角的兩邊乘積的比為面積比． 這個原則，我們可以在中學數(shù)學中的三角部分學到，當然我們也可以簡單的利用比例性質及圖形變換來說明，有興趣的同學可以自己試試． 3．圖16-3中的四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對角線把它分成了4個小三角形，其中2個小三角形的面積分別是6公頃和7公頃．那么最大的一個三角形的面積是多少公頃? 【分析與解】 方法一：如下圖所示，為了方便敘述，將某些點標上字母． 因為△ADE、△DEC高相同，所以面積比為底的比，有=，所以=×6.同理有=，所以=×7． 所以有△ADE與△ABE的面積比為6：7．又有它們的面積和為52-(6+7)=39(公頃.) 所以=×39=18(公頃)，=×39=21(公頃.) 顯然，最大的三角形的面積為21公頃． 方法二：直接運用例2評注中的重要原則，在△ABE，△CDE中有∠AEB=∠CED，所以△ABE，△CDE的面積比為(AE×EB)：(CE×DE)． 同理有△ADE，△BCE的面積比為(AE×DE)：(BE×EC)． 所以有×=×，也就是說在所有凸四邊形中，連接頂點得到2條對角線，有圖形分成上、下、左、右4個部分，有：上、下部分的面積之積等于左右部分的面積之積． 即×6=×7，所以有△ABE與△ADE的面積比為7：6，=×39=21公頃，=×39=18公頃． 顯然，最大的三角形的面積為21公頃． 評注：在方法二中，給出一個很重要的性質：在所有凸四邊形中，連接頂點得到2條對角線，有圖形分成上、下、左、右4個部分，有：上、下部分的面積之積等于左右部分的面積之積．希望大家牢牢記住，并學會在具體問題中加以運用. 4. 如圖16-4，已知．AE=AC，CD=BC，BF=AB，那么等于多少? 【分析與解】 如下圖，連接AD，BE，CF. 有△ABE，△ABC的高相等，面積比為底的比，則有=，所以=×= 同理有=,即==×=. 類似的還可以得到=×=，=×=． 所以有=-(++)=(1---)=． 即為． 5．如圖16-5，長方形ABCD的面積是2平方厘米，EC=2DE，F(xiàn)是DG的中點．陰影部分的面積是多少平方厘米? 【分析與解】 如下圖，連接FC，△DBF、△BFG的面積相等，設為x平方厘米;△FGC、△DFC的面積相等，設為y平方厘米，那么△DEF的面積為y平方厘米． =2x+2y=1，=x+y=l×=． 所以有． 比較②、①式，②式左邊比①式左邊多2x，②式右邊比①式右邊大0.5，有2x=0.5，即x=0.25,y=0.25． 而陰影部分面積為y+y=×0.25=平方厘米． 評注：將這種先利用兩塊獨立的圖形來表達相關圖形的面積，再根據(jù)已知條件列出一個二元一次方程組，最終求出解的方法稱為“凌氏類蝶形法”． 類蝶形問題必須找好兩塊獨立的圖形，還必須將邊的比例關系轉化為面積的比例關系． 類似的還有一道題：△ABC中，G是AC的中點，D、F是BC邊上的四等分點，AD與BG交于M，AF與BG交于N，已△ABM的面積比四邊形FCGN的面積大1.2平方厘米，則△ABC的面積是_______平方厘米? 有興趣的同學可以自己試試． 6．如圖16-6，已知D是BC中點，E是CD的中點，F(xiàn)是AC的中點．三角形ABC由①～⑥這6部分組成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC的面積是多少平方厘米? 【分析與解】 因為E是DC中點，F(xiàn)為Ac中點，有AD=2FE且陽平行于AD，則四邊形ADEF為梯形． 在梯形ADEF中有③=④，②×⑤=③×④，②：⑤=A：F=4． 又已知②-⑤=6，所以⑤=6÷(4-1)=2，②=⑤×4：8，所以②×⑤=④×④：16，而③=④，所以③=④=4，梯形ADEF的面積為②、③、④、⑤四塊圖形的面積和，為8+4+4+2=18． 有△CEF與△ADC的面積比為CE平方與CD平方的比，即為1：4．所以△ADC面積為梯形ADEF面積的=，即為18×=24． 因為D是BC中點，所以△ABD與△ADC的面積相等，而△ABC的面積為△ABD、△ADC的面積和，即為24+24=48平方厘米． 三角形ABC的面積為48平方厘米． 評注：梯形中連接兩條對角線．則分梯形為4部分，稱之為：上、下、左、右．如下圖： 運用比例知識，知道： ①上、下部分的面積比等于上、下邊平方的比． ②左、右部分的面積相等． ③上、下部分的面積之積等于左、右部分的面積之積． 7．圖16-7是一個各條邊分別為5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．如圖16-8，將它的短直角邊對折到斜邊上去與斜邊相重合，那么圖16—8中的陰影部分(即未被蓋住的部分)的面積是多少平方厘米? 【分析與解】 如下圖，為了方便說明，將某些點標上字母． 有∠ABC為直角，而∠CED=∠ABC，所以∠CED也為直角.而CE=CB=5. △ADE與△CED同高，所以面積比為底的比，及===，設△ADE的面積為“8”，則△CED的面積為“5”． △CED是由△CDB折疊而成，所以有△CED、△CDB面積相等，△ABC是由△ADE、△CED、△CDB組成，所以=“8”+“5”+“5”=“18”對應為×5×12=30，所以“1”份對應為，那么△ADE的面積為8×=13平方厘米． 即陰影部分的面積為13平方厘米． 8．如圖16-9，在一個梯形內有兩個三角形的面積分別為10與12，已知梯形的上底長是下底長的．那么余下陰影部分的面積是多少? 【分析與解】 不妨設上底長2，那么下底長3，則上面部分的三角形的高為10÷2×2=10，下面部分的三角形的高為12÷3×2=8，則梯形的高為lO+8=18． 所以梯形的面積為×(2+3)×18=45，所以余下陰影部分的面積為45-10-12=23． 評注：這道題中上下底、梯形的高都不確定，但是余下陰影部分的面積卻是確定的值，所以面積值與上下底、高的確定值無關，所以可以大膽假設，當然也可以謹慎的將上底設為2x下底為3x． 9．圖16-10中ABCD是梯形，三角形ADE面積是1．8，三角形ABF的面積是9,三角形BCF的面積是27．那么陰影部分面積是多少? 【分析與解】 設△ADF的面積為“上”，△BCF的面積為“下”， △ABF的面積為“左”，△DCF的面積為“右”． 左=右=9；上×下=左×右=9×9=81，而下=27，所以上=81÷27=3. △ADE的面積為1.8，那么△AEF的面積為1.2，則EF：DF=：=1.2：3=0.4． △CEF與△CDF的面積比也為EF與DF的比，所以有=0.4×=0.4×(3+9)=4.8． 即陰影部分面積為4.8． 10．如圖16-11，梯形ABCD的上底AD長為3厘米，下底BC長為9厘米，而三角形ABO的面積為12平方厘米．則梯形ABCD的面積為多少平方厘米? 【分析與解】 △ADD與△BCO的面積比為AD平方與BC平方的比，即為9：81=． 而△DCO與△ABO的面積相等為12，又×=×=12×12=144， 因為144÷9=4×4，所以=4，則=4×9=36， 而梯形ABCD的面積為△ADO、△BCO、△ABO、△CDO的面積和，即為4+36+12+12=64平方厘米． 即梯形ABCD的面積為64平方厘米． 11．如圖16-12，BD，CF將長方形ABCD分成4塊，紅色三角形面積是4平方厘米，黃色三角形面積是6平方厘米．問：綠色四邊形面積是多少平方厘米? 【分析與解】 連接BF，四邊形BCDF為梯形，則BFE的面積與黃色CDE的面積相等為6. ，所以. . 又因為BD是長方形ABCD的對角線， 所以. 綠色四邊形面積為11平方厘米． 12．如圖16-13，平行四邊形ABCD周長為75厘米．以BC為底時高是14厘米；以CD為底時高是16厘米．求平行四邊形ABCD的面積． 【分析與解】 因為平行四邊形面積等于底與對應高的積，所以有14×BC=16 ×CD，即BC：CD=8：7，而2(BC+CD)=75，所以BC=20，以BC為底，對應高為14，20×14=280，所以平行四邊形ABCD的面積為280平方厘米． 13．如圖16-14，一個正方形被分成4個小長方形，它們的面積分別是平方米、平方米、平方米和平方米．已知圖中的陰影部分是正方形，那么它的面積是多少平方米? 【分析與解】 為了方便敘述，將某些點標上字母，如下圖： 大正方形的面積為，所以大正方形的邊長應為1. 上面兩個長方形的面積之比為=3：4，所以IG=． 下面兩個長方形的面積之比為=2：l，所以IG=． 那么LI=，那么陰影小正方形的面積為． 14．圖16-15中外側的四邊形是一邊長為10厘米的正方形，求陰影部分的面積． 【分析與解】 如下圖所示，所以陰影部分在圖中為四邊形EFGH．設陰影部分面積為“陰”平方厘米，正方形內的其他部分面積設為“空”平方厘米． DGH、HMG的面積相等，GCF與GPF；FBE與 EOF，HAE與HNE這3對三角形的面積也相等． 陰一空=2×3=6，陰+空=lO×10=100． 陰=(6+100)÷2=53． 即陰影部分的面積為53平方厘米． 15．如圖16-16，長方形被其內的一些直線劃分成了若干塊，已知邊上有3塊面積分別是13，35，49．那么圖中陰影部分的面積是多少? 【分析與解】 如下圖所示，為了方便敘述，將部分區(qū)域標上序號，設陰影部分面積為“陰”： (49+①+35)+(13+②)= 矩形的面積， ①+陰+②=矩形的面積． 比較上面兩個式子可得陰影部分的面積為97． Page 10 of 10