高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 13.2直接證明與間接證明課件 理 蘇教版.ppt
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數(shù)學(xué) 蘇 (理),,§13.2 直接證明與間接證明,第十三章 推理與證明、算法、復(fù)數(shù),基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí),題型分類·深度剖析,思想方法·感悟提高,練出高分,1.直接證明 (1)綜合法 ①定義:從 出發(fā),以已知的定義、公理、定理為依據(jù),逐步下推,直到推出要證明的結(jié)論為止,這種證明方法常稱為綜合法.,已知條件,③思維過(guò)程:由因?qū)Ч?,(2)分析法 ①定義:從 出發(fā),追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件,逐步上溯,直到使結(jié)論成立的條件和已知條件或已知事實(shí)吻合為止.這種證明方法常稱為分析法.,③思維過(guò)程:執(zhí)果索因.,問(wèn)題的結(jié)論,2.間接證明,思考辨析,判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”) (1)綜合法是直接證明,分析法是間接證明.( ) (2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.( ) (3)用反證法證明結(jié)論“ab”時(shí),應(yīng)假設(shè)“ab”.( ) (4)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定,推出矛盾.( ) (5)在解決問(wèn)題時(shí),常常用分析法尋找解題的思路與方法,再用綜合法展現(xiàn)解決問(wèn)題的過(guò)程.( ) (6)證明不等式 + + 最合適的方法是分析法.( ),×,√,√,×,×,×,p≤q,④,②,a≥0,b≥0且a≠b,,解析,例1 對(duì)于定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x),如果同時(shí)滿足: ①對(duì)任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0; ②f(1)=1; ③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù). (1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù),證明:f(0)=0;,題型一 綜合法的應(yīng)用,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,取特殊值代入計(jì)算即可證明;,例1 對(duì)于定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x),如果同時(shí)滿足: ①對(duì)任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0; ②f(1)=1; ③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù). (1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù),證明:f(0)=0;,題型一 綜合法的應(yīng)用,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,證明 取x1=x2=0,則x1+x2=0≤1,,∴f(0+0)≥f(0)+f(0),∴f(0)≤0.,又對(duì)任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0,,∴f(0)≥0.于是f(0)=0.,例1 對(duì)于定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x),如果同時(shí)滿足: ①對(duì)任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0; ②f(1)=1; ③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù). (1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù),證明:f(0)=0;,題型一 綜合法的應(yīng)用,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法,它是一種從已知到未知(從題設(shè)到結(jié)論)的邏輯推理方法,即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷(命題)出發(fā),經(jīng)過(guò)一系列中間推理,最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實(shí)性.,例1 對(duì)于定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x),如果同時(shí)滿足: ①對(duì)任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0; ②f(1)=1; ③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù). (1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù),證明:f(0)=0;,題型一 綜合法的應(yīng)用,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,例1 (2)試判斷函數(shù)f(x)=2x(x∈[0,1]),f(x)=x2(x∈[0,1]),f(x)= (x∈[0,1])是不是理想函數(shù).,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,對(duì)照新定義中的3個(gè)條件,逐一代入驗(yàn)證,只有滿足所有條件,才能得出“是理想函數(shù)”的結(jié)論,否則得出“不是理想函數(shù)”的結(jié)論.,例1 (2)試判斷函數(shù)f(x)=2x(x∈[0,1]),f(x)=x2(x∈[0,1]),f(x)= (x∈[0,1])是不是理想函數(shù).,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,解 對(duì)于f(x)=2x,x∈[0,1],f(1)=2不滿足新定義中的條件②,,∴f(x)=2x,(x∈[0,1])不是理想函數(shù).,對(duì)于f(x)=x2,x∈[0,1],顯然f(x)≥0,且f(1)=1.,例1 (2)試判斷函數(shù)f(x)=2x(x∈[0,1]),f(x)=x2(x∈[0,1]),f(x)= (x∈[0,1])是不是理想函數(shù).,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,任意的x1,x2∈[0,1],x1+x2≤1,,f(x1+x2)-f(x1)-f(x2) =(x1+x2)2-x -x =2x1x2≥0,,即f(x1)+f(x2)≤f(x1+x2).,∴f(x)=x2(x∈[0,1])是理想函數(shù).,例1 (2)試判斷函數(shù)f(x)=2x(x∈[0,1]),f(x)=x2(x∈[0,1]),f(x)= (x∈[0,1])是不是理想函數(shù).,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,對(duì)于f(x)= ,x∈[0,1],顯然滿足條件①②.,對(duì)任意的x1,x2∈[0,1],x1+x2≤1,,例1 (2)試判斷函數(shù)f(x)=2x(x∈[0,1]),f(x)=x2(x∈[0,1]),f(x)= (x∈[0,1])是不是理想函數(shù).,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,即f2(x1+x2)≤[f(x1)+f(x2)]2.,∴f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),不滿足條件③.,∴f(x)= (x∈[0,1])不是理想函數(shù).,例1 (2)試判斷函數(shù)f(x)=2x(x∈[0,1]),f(x)=x2(x∈[0,1]),f(x)= (x∈[0,1])是不是理想函數(shù).,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,綜上,f(x)=x2(x∈[0,1])是理想函數(shù), f(x)=2x(x∈[0,1])與f(x)= (x∈[0,1])不是理想函數(shù).,例1 (2)試判斷函數(shù)f(x)=2x(x∈[0,1]),f(x)=x2(x∈[0,1]),f(x)= (x∈[0,1])是不是理想函數(shù).,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理.,例1 (2)試判斷函數(shù)f(x)=2x(x∈[0,1]),f(x)=x2(x∈[0,1]),f(x)= (x∈[0,1])是不是理想函數(shù).,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,跟蹤訓(xùn)練1 (2013·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)設(shè)a、b、c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明: (1)ab+bc+ac≤ ;,,證明 由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca.,由題設(shè)得(a+b+c)2=1,,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.,所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤ .,跟蹤訓(xùn)練1 (2013·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)設(shè)a、b、c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明: (2) + + ≥1.,,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,題型二 分析法的應(yīng)用,用分析法,移項(xiàng),平方,化簡(jiǎn).,題型二 分析法的應(yīng)用,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,題型二 分析法的應(yīng)用,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,題型二 分析法的應(yīng)用,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,題型二 分析法的應(yīng)用,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,題型二 分析法的應(yīng)用,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想,通過(guò)反推,逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問(wèn)題順利獲解的關(guān)鍵.,題型二 分析法的應(yīng)用,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,(2)證明較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí),可以采用兩頭湊的辦法,即通過(guò)分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論,然后通過(guò)綜合法證明這個(gè)中間結(jié)論,從而使原命題得證.,題型二 分析法的應(yīng)用,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,,證明 因?yàn)閍,b∈(0,+∞),所以要證原不等式成立,,即證(a3+b3)2(a2+b2)3,,即證a6+2a3b3+b6a6+3a4b2+3a2b4+b6,,只需證2a3b33a4b2+3a2b4.,,因?yàn)閍,b∈(0,+∞),,所以即證2ab3(a2+b2).,而a2+b2≥2ab,3(a2+b2)≥6ab2ab成立,,,例3 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+Sn=2. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;,題型三 反證法的應(yīng)用,解 當(dāng)n=1時(shí),a1+S1=2a1=2,則a1=1.,又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2,,兩式相減得an+1= an,,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,例3 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+Sn=2. (2)求證:數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列.,證明(2)用反證法,假設(shè)存在三項(xiàng),符合條件推出矛盾.,例3 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+Sn=2. (2)求證:數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列.,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,證明 反證法:假設(shè)存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列,記為ap+1,aq+1,ar+1(pqr,且p,q,r∈N*),,又因?yàn)閜qr,所以r-q,r-p∈N*.,例3 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+Sn=2. (2)求證:數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列.,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,所以(*)式左邊是偶數(shù),右邊是奇數(shù),等式不成立.,所以假設(shè)不成立,原命題得證.,例3 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+Sn=2. (2)求證:數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列.,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,(1)當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí),可用反證法來(lái)證,反證法關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾,矛盾可以是與已知條件矛盾,與假設(shè)矛盾,與定義、公理、定理矛盾,與事實(shí)矛盾等.,例3 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+Sn=2. (2)求證:數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列.,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,(2)用反證法證明不等式要把握三點(diǎn):①必須否定結(jié)論;②必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理;③推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.,例3 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+Sn=2. (2)求證:數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列.,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,,跟蹤訓(xùn)練3 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1+ ,S3=9+3 . (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn;,,(2)設(shè)bn= (n∈N*),求證:數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列.,,∵p,q,r∈N*,,∴p=r,與p≠r矛盾.,∴假設(shè)不成立,即數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列.,典例:(14分)已知數(shù)列{xn}滿足x1= ,xn+1= ,求證: 0xn+1-xn .,思想與方法系列20 放縮有“度”,巧證不等式,,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,思 維 點(diǎn) 撥,,思 維 點(diǎn) 撥,溫 馨 提 醒,先證0xn1,再求xn+1-xn的表達(dá)式,利用不等式放縮得出結(jié)論.,規(guī) 范 解 答,,證明 由條件可知數(shù)列{xn}的各項(xiàng)均為正數(shù),,故由基本不等式,得xn+1= ≤ =1,,若xn+1=1,則xn=1,,這與已知條件x1= 矛盾.,所以0xn1,,思 維 點(diǎn) 撥,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,,思 維 點(diǎn) 撥,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,,因上述兩個(gè)不等式中等號(hào)不可能同時(shí)成立,,思 維 點(diǎn) 撥,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,,(1)所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性,根據(jù)證題目標(biāo)進(jìn)行合情合理的放大或縮小,在使用放縮法證題時(shí)要注意放和縮的“度”,否則就不能同向傳遞了,此法既可以單獨(dú)用來(lái)證明不等式,也可以是其他方法證題時(shí)的一個(gè)重要步驟.,思 維 點(diǎn) 撥,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,,(2)本題技巧性較強(qiáng),經(jīng)過(guò)了兩次放縮,關(guān)鍵是放縮后的式子要盡可能地接近原式,減小放縮度,以避免運(yùn)算上的麻煩.第一次是利用基本不等式,將xn+1-xn轉(zhuǎn)化為常數(shù),根據(jù)已知驗(yàn)證可判定出0xn1;第二次放縮法是證明不等式經(jīng)常利用的方法,多采用添項(xiàng)或去項(xiàng),分子、分母擴(kuò)大或縮小,應(yīng)用基本不等式進(jìn)行放縮,放縮時(shí)要注意放縮的方向保持一致.在此步驟中,因兩個(gè)等式中的等號(hào)不可能同時(shí)成立,所以兩式相乘后不取等號(hào),這是易錯(cuò)之處,必須加以警惕.,思 維 點(diǎn) 撥,溫 馨 提 醒,規(guī) 范 解 答,,方 法 與 技 巧,1.分析法的特點(diǎn):從未知看需知,逐步靠攏已知.,3.分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn).分析法思考起來(lái)比較自然,容易尋找到解題的思路和方法,缺點(diǎn)是思路逆行,敘述較繁;綜合法從條件推出結(jié)論,較簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題,但不便于思考.實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用,先用分析法探索證明途徑,然后再用綜合法敘述出來(lái).,,2.綜合法的特點(diǎn):從已知看可知,逐步推出未知.,,失 誤 與 防 范,1.用分析法證明時(shí),要注意書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性,常常用“要證(欲證)……”“即證……”“只需證……”等,逐步分析,直至一個(gè)明顯成立的結(jié)論.,2.利用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤,并用假設(shè)的命題進(jìn)行推理,如果沒(méi)有用假設(shè)的命題推理而推出矛盾結(jié)果,其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的.,,,,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,,,,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,即ab.,答案 ab,,,3,4,5,6,7,,8,9,10,1,2,∴P2Q2,∴PQ.,PQ,,,2,4,5,6,7,8,9,10,1,,3,③欲證a2+b2=(a+b)2-2ab≥2,即證4-2ab≥2,,,,2,4,5,6,7,8,9,10,1,,3,即ab≤1,由①知成立.,答案 ①③④,,,2,3,5,6,7,8,9,10,1,,4,,,2,3,5,6,7,8,9,10,1,,4,即a=b=1時(shí),取“=”.,答案 4,,,2,3,4,6,7,8,9,10,1,,5,5.(2014·山東改編)用反證法證明命題:“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是_________________________.,解析 方程x3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根的反面是方程x3+ax+b=0沒(méi)有實(shí)根.,方程x3+ax+b=0沒(méi)有實(shí)根,6.下列條件: ①ab0;②ab0,b0;④a0,b0. 其中能使 + ≥2成立的條件的個(gè)數(shù)是________.,,,2,3,4,5,7,8,9,10,1,,6,3,7.已知“整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,則第60個(gè)“整數(shù)對(duì)”是________.,,,2,3,4,5,6,8,9,10,1,,7,解析 依題意,把“整數(shù)對(duì)”的和相同的分為一組,不難得知每組中每個(gè)“整數(shù)對(duì)”的和為n+1,且每組共有n個(gè)“整數(shù)對(duì)”,這樣的前n組一共有 個(gè)“整數(shù)對(duì)”,,注意到 60 ,因此第60個(gè)“整數(shù)對(duì)”處于第11組(每個(gè)“整數(shù)對(duì)”的和為12的組)的第5個(gè)位置,結(jié)合題意可知每個(gè)“整數(shù)對(duì)”的和為12的組中的各數(shù)對(duì)依次為(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),…,因此第60個(gè)“整數(shù)對(duì)”是(5,7).,,,2,3,4,5,6,8,9,10,1,,7,答案 (5,7),,,2,3,4,5,6,7,9,10,1,,8,解析 ∵f(x)=sin x在區(qū)間(0,π)上是凸函數(shù),且A、B、C∈(0,π).,,,2,3,4,5,6,7,9,10,1,,8,,,2,3,4,5,6,7,8,10,1,,9,證明 ∵a⊥b,∴a·b=0.,平方得:|a|2+|b|2+2|a||b|≤2(|a|2+|b|2-2a·b), 只需證:|a|2+|b|2-2|a||b|≥0, 即(|a|-|b|)2≥0,顯然成立.故原不等式得證.,10.已知四棱錐S-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,又SB=SD= ,SA=1. (1)求證:SA⊥平面ABCD;,,,2,3,4,5,6,7,8,9,1,,10,證明 由已知得SA2+AD2=SD2, ∴SA⊥AD.同理SA⊥AB. 又AB∩AD=A, ∴SA⊥平面ABCD.,,,2,3,4,5,6,7,8,9,1,,10,(2)在棱SC上是否存在異于S,C的點(diǎn)F,使得BF∥平面SAD?若存在,確定F點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.,解 假設(shè)在棱SC上存在異于S,C的點(diǎn)F,使得BF∥平面SAD. ∵BC∥AD,BC?平面SAD. ∴BC∥平面SAD.而B(niǎo)C∩BF=B, ∴平面FBC∥平面SAD. 這與平面SBC和平面SAD有公共點(diǎn)S矛盾, ∴假設(shè)不成立. 故不存在這樣的點(diǎn)F,使得BF∥平面SAD.,,,2,3,4,5,,1,A≤B≤C,2.(2013·廣東)設(shè)整數(shù)n≥4,集合X={1,2,3,…,n},令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三條件xyz,yzx,zxy恰有一個(gè)成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在S中,則下列選項(xiàng)正確的是________. ①(y,z,w)∈S,(x,y,w)?S ②(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S ③(y,z,w)?S,(x,y,w)∈S ④(y,z,w)?S,(x,y,w)?S,,,3,4,5,1,,2,解析 因?yàn)?x,y,z)∈S,則x,y,z的大小關(guān)系有3種情況,同理,(z,w,x)∈S,則z,w,x的大小關(guān)系也有3種情況,如圖所示,由圖可知,x,y,w,z的大小關(guān)系有4種可能,均符合(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S.故②正確.,答案 ②,,,3,4,5,1,,2,,,2,4,5,1,,3,4.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),若f(c)=0,且00. (1)證明: 是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn);,,,2,3,5,1,,4,證明 ∵f(x)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),,∴f(x)=0有兩個(gè)不等實(shí)根x1,x2,,∵f(c)=0,∴x1=c是f(x)=0的根,,,,2,3,5,1,,4,(2)試用反證法證明 c.,,,2,3,5,1,,4,,,2,3,4,1,,5,,,2,3,4,1,,5,,,2,3,4,1,,5,(2)證明:數(shù)列{bn}中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列.,證明 用反證法證明.,假設(shè)數(shù)列{bn}存在三項(xiàng)br,bs,bt(rst)按某種順序成等差數(shù)列,,于是有brbsbt,則只能有2bs=br+bt成立.,,,2,3,4,1,,5,兩邊同乘以3t-121-r,化簡(jiǎn)得3t-r+2t-r=2·2s-r3t-s.,由于rst,∴上式左邊為奇數(shù),右邊為偶數(shù),,故上式不可能成立,導(dǎo)致矛盾.,故數(shù)列{bn}中任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列.,,,2,3,4,1,,5,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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