高考數(shù)學(xué) 熱點專題突破系列(五)圓錐曲線的綜合問題課件.ppt

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熱點專題突破系列(五) 圓錐曲線的綜合問題,考點一 圓錐曲線中的定點問題 【考情分析】以直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線為背景,通過巧妙設(shè)計和整合命題,常與一元二次方程、向量、斜率、距離等知識交匯考查.,【典例1】(2014·西安模擬)已知橢圓C: 經(jīng)過點 一個焦點是F(0,-1). (1)求橢圓C的方程. (2)設(shè)橢圓C與y軸的兩個交點為A1,A2,點P在直線y=a2上,直線PA1,PA2 分別與橢圓C交于M,N兩點.試問:當(dāng)點P在直線y=a2上運動時,直線MN是 否恒過定點Q?證明你的結(jié)論.,【解題提示】(1)由點 在橢圓C上及F(0,-1)可求橢圓C的方程. (2)先利用P的特殊位置，即P在y軸上時，確定若直線MN恒過定點，則該定點一定在y軸上，然后利用三點共線的條件解決.,【規(guī)范解答】(1)由題意知c=1,可設(shè)橢圓方程為 因為 在橢圓上，所以 解得b2=3, 所以橢圓的方程為 (2)假設(shè)存在定點Q. 當(dāng)點P在y軸上時,M,N分別與A1,A2重合, 若直線MN經(jīng)過定點Q,則Q必在y軸上,設(shè)Q(0,m), 當(dāng)點P不在y軸上時, 設(shè)P(t,4),M(x1,y1),N(x2,y2),,因為A1(0,2),A2(0,-2), 所以直線PA1的方程為 直線PA2的方程為 將 代入 得(3+t2)x2+6tx=0, 解得 所以 將 代入 得(27+t2)x2-18tx=0,,解得 所以 因為 所以 所以(1-m)(9+t2)=0,所以m=1, 所以當(dāng)點P在直線y=a2上運動時，直線MN恒經(jīng)過定點Q(0,1).,【規(guī)律方法】圓錐曲線中定點問題的兩種解法 (1)引進參數(shù)法:引進動點的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量,再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系,找到定點. (2)特殊到一般法:根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點,再證明該定點與變量無關(guān).,【變式訓(xùn)練】(2015·南京模擬)如圖，已知 橢圓C: 的上頂點為A，右焦 點為F，直線AF與圓M:x2+y2-6x-2y+7=0相切. (1)求橢圓C的方程. (2)若不過點A的動直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，且 求證：直線l過定點，并求出該定點N的坐標(biāo).,【解析】(1)將圓M的一般方程x2+y2-6x-2y+7=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x-3)2 +(y-1)2=3, 圓M的圓心為M(3,1),半徑 由A(0,1),F(c,0) 得直線AF: 即x+cy-c=0, 由直線AF與圓M相切，得 (舍去). 當(dāng) 時,a2=c2+1=3,故橢圓C的方程為C:,(2)由 知AP⊥AQ, 從而直線AP與坐標(biāo)軸不垂直， 由A(0,1)可設(shè)直線AP的方程為y=kx+1, 直線AQ的方程為 將y=kx+1代入橢圓C的方程 并整理得： (1+3k2)x2+6kx=0, 解得x=0或,因此P的坐標(biāo)為 即 將上式中的k換成 得 直線l的方程為 化簡得直線l的方程為 因此直線l過定點,【加固訓(xùn)練】(2015·保定模擬)設(shè)橢圓E： 的離心率為 且過點 (1)求橢圓E的方程. (2)設(shè)橢圓E的左頂點是A，若直線l:x-my-t=0與橢圓E相交于不同的兩點M，N(M，N與A均不重合)，若以MN為直徑的圓過點A，試判定直線l是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標(biāo).,【解析】(1)由 可得a2=2b2， 橢圓方程為 代入點 可得b2=2,a2=4, 故橢圓E的方程為 (2)由x-my-t=0得x=my+t, 把它代入E的方程得:(m2+2)y2+2mty+t2-4=0, 設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)得：,x1+x2=m(y1+y2)+2t= x1x2=(my1+t)(my2+t) =m2y1y2+tm(y1+y2)+t2= 因為以MN為直徑的圓過點A， 所以AM⊥AN, 所以 =(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2,因為M，N與A均不重合，所以t≠-2, 所以 直線l的方程是 直線l過定點 由于點T在橢圓內(nèi)部，故滿足判別式大于0， 所以直線l過定點,考點二 圓錐曲線中的定值問題 【考情分析】該問題常涉及直線、圓錐曲線、向量等問題,是高考熱點: (1)定值問題一般考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系,考查斜率、向量的運算以及運算能力. (2)解決這類問題常通過取參數(shù)和特殊值來確定“定值”是多少,或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式,證明該式為定值.,【典例2】(2013·江西高考)橢圓C: 的離心率 (1)求橢圓C的方程. (2)如圖，A,B,D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意點，直線DP交x軸于點N,直線AD交BP于點M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m，證明:2m-k為定值.,【解題提示】(1)借助橢圓中a2=b2+c2的關(guān)系及兩個已知條件即可求解.(2)可以寫出BP的直線方程,分別聯(lián)立橢圓方程及AD的方程表示出點P,M的坐標(biāo),再利用DP與x軸表示點N的坐標(biāo),最終把m表示成k的形式,就可求出定值;另外也可設(shè)點P的坐標(biāo),把k與m都用點P的坐標(biāo)來表示.,【規(guī)范解答】(1) 因為 所以 又由a2=b2+c2得 代入a+b=3， 得 故橢圓C的方程為 (2)因為B(2,0)，P不為橢圓頂點， 則直線BP的方程為 ①， 將①代入 解得 直線AD的方程為： ②.,聯(lián)立①②解得 由D(0,1), N(x,0)三點共線可知 即 所以點 所以MN的斜率為 則 (定值).,【一題多解】解決本例(2)，你知道幾種解法？ 解答本題，還有如下方法： 設(shè)P(x0,y0)(x0≠0,±2)， 則 直線AD的方程為 直線BP的方程為 直線DP的方程為 令y=0，由于y0≠1，可得 解,所以MN的斜率為 故,【規(guī)律方法】圓錐曲線中定值問題的特點及兩大解法 (1)特點:待證幾何量不受動點或動線的影響而有固定的值. (2)兩大解法:①從特殊入手,求出定值,再證明這個值與變量無關(guān). ②引進變量法:其解題流程為,【變式訓(xùn)練】(2015·廣州模擬)已知橢圓C： 的短半軸長為1,動點M(2,t)(t0)在直線 (c為半焦距)上. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程. (3)設(shè)F是橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值.,【解析】(1)由點M(2,t)在直線 上，得 故 所以c=1,從而 所以橢圓方程為,(2)以O(shè)M為直徑的圓的方程為x(x-2)+y(y-t)=0. 即 其圓心為 半徑 因為以O(shè)M為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2， 所以圓心到直線3x-4y-5=0的距離 所以 解得t=4. 所求圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=5.,(3)設(shè)N(x0,y0), 則 因為 所以2(x0-1)+ty0=0,所以2x0+ty0=2. 又因為 所以x0(x0-2)+y0(y0-t)=0, 所以x02+y02=2x0+ty0=2, 所以 為定值.,【加固訓(xùn)練】已知拋物線x2＝4y的焦點為F，A，B是拋物線上的兩動 點，且 過A，B兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點 為M. (1)證明： 為定值. (2)設(shè)△ABM的面積為S，寫出S＝f(λ)的表達式，并求S的最小值．,【解析】(1)由已知條件，得F(0,1)，λ＞0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由 即得(－x1,1－y1)＝λ(x2，y2－1)． 所以 將①式兩邊平方并把 代入得y1＝λ2y2，③ 解②③式得 且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4. 拋物線方程為,求導(dǎo)得 所以過拋物線上A，B兩點的切線方程分別是 即 解出兩條切線的交點M的坐標(biāo)為 所以， 所以 為定值，其值為0.,(2)由(1)知在△ABM中，F(xiàn)M⊥AB，因而,因為|AF|，|BF|分別等于A，B到拋物線準(zhǔn)線y＝－1的距離， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y(tǒng)1＋y2＋2 ＝ 于是 由 知S≥4， 且當(dāng)λ＝1時，S取得最小值4.,考點三 圓錐曲線中的最值與取值范圍問題 【考情分析】常涉及不等式恒成立、求函數(shù)的值域問題和解不等式問題,是高考熱點: (1)恒成立問題一般考查整式不等式、分式、絕對值不等式在某個區(qū)間上恒成立,求參數(shù)取值范圍. (2)求函數(shù)的值域,一般是利用二次函數(shù)、基本不等式或求導(dǎo)的方法求解,有時也利用數(shù)形結(jié)合思想求解. (3)解不等式一般是轉(zhuǎn)化為解一元一次、一元二次不等式.,【典例3】(2014·浙江高考)如圖，設(shè)橢圓C: 動直線l與橢圓C只有一個公共點P，且點P在第一象限. (1)已知直線l的斜率為k，用a,b,k表示點P的坐標(biāo)． (2)若過原點O的直線l1與l垂直，證明：點P到直線l1的距離的最大值為a－b.,【解題提示】(1)將直線與橢圓方程聯(lián)立,解得P點坐標(biāo). (2)表示出點到直線的距離,利用a,b,k之間的關(guān)系和基本不等式求出最大值.,【規(guī)范解答】(1)設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k0), 由 消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0, 由于l與C只有一個公共點,故Δ=0, 即b2-m2+a2k2=0, 所以,解得點P的坐標(biāo)為 又點P在第一象限，故點P的 坐標(biāo)為,(2)由于直線l1過原點O且與直線l垂直，故直線l1的方程為x+ky=0， 所以點P到直線l1的距離d= 因為 所以,當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立. 所以，點P到直線l1的距離的最大值為a－b.,【規(guī)律方法】 1.解決圓錐曲線中的取值范圍問題的五種常用解法 (1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍. (2)利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系.,(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍. (4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍. (5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù),求其值域,從而確定參數(shù)的取值范圍.,2.圓錐曲線中常見最值問題及解題方法 (1)兩類最值問題:①涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題;②求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時確定與之有關(guān)的一些問題. (2)兩種常見解法:①幾何法,若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決;②代數(shù)法,若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可先建立起目標(biāo)函數(shù),再求這個函數(shù)的最值,最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解.,提醒:求最值問題時,一定要注意對特殊情況的討論.如直線斜率不存在的情況,二次三項式最高次項的系數(shù)的討論等.,【變式訓(xùn)練】(2015·杭州模擬)已知圓M： 若橢圓C： 的右頂點為圓M的圓心， 離心率為 (1)求橢圓C的方程. (2)若存在直線l:y=kx,使得直線l與橢圓C分別交于A，B兩點，與圓M分別交于G，H兩點，點G在線段AB上，且|AG|=|BH|，求圓M半徑r的取值范圍.,【解析】(1)設(shè)橢圓的焦距為2c, 因為 所以c=1,所以b=1, 所以橢圓C：,(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 由直線l與橢圓C交于兩點A，B，則 所以(1+2k2)x2-2=0, 則x1+x2=0, 所以|AB|= 點 到直線l的距離 則|GH|=,顯然，若點H也在線段AB上，則由對稱性可知，直線y=kx就是y軸， 矛盾，所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|， 所以 當(dāng)k=0時， 當(dāng)k≠0時，,又顯然 所以 綜上，,【加固訓(xùn)練】已知拋物線C:y=x2.過點M(1,2)的直線l交C于A,B兩點.拋物線C在點A處的切線與在點B處的切線交于點P. (1)若直線l的斜率為1,求|AB|. (2)求△PAB的面積的最小值.,【解析】(1)設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2), 由題意知，直線l的方程為y=x+1, 由 消去y得x2-x-1=0,解得, 所以|AB|=,(2)易知直線l的斜率存在， 設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)+2, 設(shè)點A(x3,y3),B(x4,y4). 由 消去y, 整理得x2-kx+k-2=0, x3+x4=k,x3x4=k-2, 又y′=(x2)′=2x, 所以拋物線y=x2在點A，B處的切線方程分別為y=2x3x-x32,y=2x4x-x42.,得兩切線的交點 所以點P到直線l的距離 又|AB|= = 設(shè)△PAB的面積為S， 所以 (當(dāng)k=2時取得等號). 所以△PAB面積的最小值為2.,