高中數(shù)學(xué) 2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程課件 北師大版選修1-1.ppt

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成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大 版· 選修1-1,圓錐曲線與方程,第二章,§1 橢圓 1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程,第二章,1.了解橢圓的實(shí)際背景，經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡過程． 2．掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何圖形，會(huì)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.,1.我們已知平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡為______________________________．也曾討論過到兩定點(diǎn)距離之比為某個(gè)常數(shù)的點(diǎn)的軌跡的情形．那么平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離的和(或差)等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么呢？ 2．平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的_____等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡(或集合)叫作橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫作橢圓的_____，________間的距離叫作橢圓的焦距．當(dāng)常數(shù)等于|F1F2|時(shí)軌跡為__________，當(dāng)常數(shù)小于|F1F2|時(shí)，軌跡________.,橢圓的定義,連結(jié)這兩點(diǎn)的線段的垂直平分線,和,焦點(diǎn),兩焦點(diǎn),線段|F1F2|,不存在,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,1.如何建立坐標(biāo)系才能使橢圓的方程比較簡單． 求橢圓的方程，首先要建立直角坐標(biāo)系，由于曲線上同一個(gè)點(diǎn)在不同的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)不同，曲線的方程也不同，為了使方程簡單，必須注意坐標(biāo)系的選擇．一般情況下，應(yīng)使已知點(diǎn)的坐標(biāo)和直線(或曲線)的方程盡可能簡單，在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，選擇x軸經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2，并且使坐標(biāo)原點(diǎn)為線段F1F2的中點(diǎn)，這樣兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)比較簡單，便于推導(dǎo)方程．,2．在推導(dǎo)橢圓方程時(shí)，為何要設(shè)|F1F2|＝2c，常數(shù)為2a？為何令a2－c2＝b2， 在求方程時(shí)，設(shè)橢圓的焦距為2c(c0)，橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和為2a(a0)，這是為了使推導(dǎo)出的橢圓的方程形式簡單．令a2－c2＝b2是為了使方程的形式整齊而便于記憶． 3．推導(dǎo)橢圓方程時(shí)，需化簡無理式，應(yīng)注意什么？ (1)方程中只有一個(gè)根式時(shí)，需將它單獨(dú)留在方程的一側(cè)，把其他項(xiàng)移到另一側(cè)；(2)方程中有兩個(gè)根式時(shí)，需將它們放在方程的兩側(cè)，并使其中一側(cè)只有一個(gè)根式，然后兩邊平方．,1.已知F1、F2是兩點(diǎn)，|F1F2|＝8， (1)動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝10，則點(diǎn)M的軌跡是________ ____． (2)動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝8，則點(diǎn)M的軌跡是_______． [答案] 以F1、F2為焦點(diǎn)，焦距為8的橢圓 線段F1F2,[答案] B [解析] ∵169144，∴焦點(diǎn)在y軸上， 又∵c2＝a2－b2＝169－144＝25， ∴c＝5，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±5)．,3．(2014·山西曲沃中學(xué)期中)對(duì)于常數(shù)m、n，“mn0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲線是橢圓”的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案] B [解析] 本題考查了充分必要條件及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，由mn0，若m＝n0，則方程 mx2＋ny2＝1表示圓，故mn0?/方程mx2＋ny2＝1表示橢圓，若mx2＋ny2＝1表示橢圓?mn0，故mn0是方程表示橢圓的必要不充分條件．,[分析] 根據(jù)題意，先判斷橢圓的焦點(diǎn)位置，再設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而確定a、b的值．,待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的焦點(diǎn)三角形,,[方法規(guī)律總結(jié)] 1.橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形，解關(guān)于橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題時(shí)要充分利用橢圓的定義、三角形中的正弦定理、余弦定理等知識(shí)．對(duì)于求焦點(diǎn)三角形的面積，結(jié)合橢圓定義，建立關(guān)于|PF1|(或|PF2|)的方程求得|PF1|(或|PF2|)的長度；有時(shí)把|PF1|·|PF2|看成一個(gè)整體，運(yùn)用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而無需單獨(dú)求出，這樣可以減少運(yùn)算量． 2．焦點(diǎn)三角形的周長等于2a＋2c.,橢圓定義的應(yīng)用,已知B、C是兩個(gè)定點(diǎn)，|BC|＝8，且△ABC的周長等于18，求這個(gè)三角形的頂點(diǎn)A的軌跡方程． [分析] 由△ABC的周長等于18，|BC|＝8，可知點(diǎn)A到B、C兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和是10，所以點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，但點(diǎn)A與點(diǎn)B、C不能在同一直線上．適當(dāng)建立平面直角坐標(biāo)系，可以求出這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．,[方法規(guī)律總結(jié)] 本題用到了定義法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程． 利用橢圓的定義求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，應(yīng)先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)具有的條件，驗(yàn)證是否符合橢圓的定義，即動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和是否是一常數(shù)，且該常數(shù)(定值)大于兩點(diǎn)的距離，若符合，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，然后確定橢圓的方程．,考慮問題要全面,[辨析] 錯(cuò)解1只注意了焦點(diǎn)在y軸上，而沒有考慮到m20且(m－1)20，這是經(jīng)常出現(xiàn)的一種錯(cuò)誤，一定要避免． 錯(cuò)解2中，由a2＝(m－1)2及b2＝m2，應(yīng)得a＝|m－1|及b＝|m|，m－1與m不一定是正值，上述解法誤認(rèn)為m－1與m是正值而導(dǎo)致錯(cuò)誤．,,[解析] 上述解答過程有錯(cuò)誤． 橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上主要看標(biāo)準(zhǔn)方程中x2和y2項(xiàng)分母的大小，如果x2項(xiàng)的分母大于y2項(xiàng)的分母，則橢圓的焦點(diǎn)在x軸上；反之，焦點(diǎn)在y軸上．由于本題中x2和y2項(xiàng)分母的大小不確定，因此需要進(jìn)行分類討論． 正確解答為：∵2c＝6，∴c＝3. (1)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知a2＝25，b2＝m2， ∵a2＝b2＋c2，∴25＝m2＋9，∴m2＝16， 又∵m0，故m＝4.,