2019-2020年高一數(shù)學 3.4《函數(shù)的奇偶性與周期性》學案 滬教版.doc
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2019-2020年高一數(shù)學 3.4《函數(shù)的奇偶性與周期性》學案 滬教版 高考要求： 了解函數(shù)奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性的方法掌握函數(shù)的奇偶性的定義及圖象特征，并能判斷和證明函數(shù)的奇偶性，能利用函數(shù)的奇偶性解決問題 知識點歸納： 1函數(shù)的奇偶性的定義； 2奇偶函數(shù)的性質(zhì)： （1）定義域關(guān)于原點對稱；（2）偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱； 3為偶函數(shù) 4若奇函數(shù)的定義域包含，則 5判斷函數(shù)的奇偶性，首先要研究函數(shù)的定義域，有時還要對函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響； 6牢記奇偶函數(shù)的圖象特征，有助于判斷函數(shù)的奇偶性； 7判斷函數(shù)的奇偶性有時可以用定義的等價形式： ， 8設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上： 奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇 1判斷函數(shù)的奇偶性，必須按照函數(shù)的奇偶性定義進行，為了便于判斷，常應(yīng)用定義的等價形式：f(-x)= ±f(x)óf(-x) f(x)=0； 2討論函數(shù)的奇偶性的前提條件是函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，要重視這一點； 3若奇函數(shù)的定義域包含0，則f(0)=0,因此，“f(x)為奇函數(shù)”是"f(0)=0"的非充分非必要條件； 4奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，因此根據(jù)圖象的對稱性可以判斷函數(shù)的奇偶性 5若存在常數(shù)T，使得f(x+T)=f(x)對f(x)定義域內(nèi)任意x恒成立，則稱T為函數(shù)f(x)的周期，一般所說的周期是指函數(shù)的最小正周期周期函數(shù)的定義域一定是無限集 對函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個等式上，要明確對定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對稱性的反映 這部分的難點是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運用根據(jù)已知條件，調(diào)動相關(guān)知識，選擇恰當?shù)姆椒ń鉀Q問題，是對學生能力的較高要求 （5）函數(shù)的周期性 定義：若T為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任一x，使恒成立 則f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做這個函數(shù)的一個周期 例：（1）若函數(shù)在R上是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，且 則①關(guān)于 對稱；②的周期為 ； ③在（1，2）是 函數(shù)（增、減）； ④=，則 （2）設(shè)是定義在上，以2為周期的周期函數(shù)，且為偶函數(shù)，在區(qū)間[2，3]上，=,則= 題型講解： 1對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的理解 例4下面四個結(jié)論：①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；②奇函數(shù)的圖象一定通過原點；③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(x∈R)，其中正確命題的個數(shù)是 （ ） A1 B2 C3 D4 分析：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，但不一定相交，因此③正確，①錯誤 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，但不一定經(jīng)過原點，因此②不正確 若y=f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，由定義可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④錯誤，選A 說明：既奇又偶函數(shù)的充要條件是定義域關(guān)于原點對稱且函數(shù)值恒為零 2復合函數(shù)的性質(zhì) 復合函數(shù)y=f[g(x)]是由函數(shù)u=g(x)和y=f(u)構(gòu)成的，因變量y通過中間變量u與自變量x建立起函數(shù)關(guān)系，函數(shù)u=g(x)的值域是y=f(u)定義域的子集 復合函數(shù)的性質(zhì)由構(gòu)成它的函數(shù)性質(zhì)所決定，具備如下規(guī)律： (1)單調(diào)性規(guī)律 如果函數(shù)u=g(x)在區(qū)間［m，n］上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)y=f(u)在區(qū)間[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是單調(diào)函數(shù)，那么 若u=g(x)，y=f(u)增減性相同，則復合函數(shù)y=f[g(x)]為增函數(shù)；若u=g(x)，y= f(u)增減性不同，則y=f[g(x)]為減函數(shù) (2)奇偶性規(guī)律 若函數(shù)g(x)，f(x)，f[g(x)]的定義域都是關(guān)于原點對稱的，則u=g(x)，y=f(u)都是奇函數(shù)時，y=f[g(x)]是奇函數(shù)；u=g(x)，y=f(u)都是偶函數(shù)，或者一奇一偶時，y= f[g(x)]是偶函數(shù) 例6甲、乙兩地相距Skm，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c km／h，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(km／h)的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元 (1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(km／h)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域； (2)為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛 分析：(1)難度不大，抓住關(guān)系式：全程運輸成本=單位時間運輸成本×全程運輸時間，而全程運輸時間=(全程距離)÷(平均速度)就可以解決 故所求函數(shù)及其定義域為 但由于題設(shè)條件限制汽車行駛速度不超過ckm／h，所以(2)的解決需要 論函數(shù)的增減性來解決 由于vv＞0，v-v＞0，并且 又S＞0，所以即 則當v=c時，y取最小值 說明：此題是1997年全國高考試題由于限制汽車行駛速度不得超過c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使難度有所增大 例1判斷下列各函數(shù)的奇偶性： （1）；（2）； （3） 解：（1）由，得定義域為，關(guān)于原點不對稱，∴為非奇非偶函數(shù) （2）由得定義域為， ∴， ∵ ∴為偶函數(shù) （3）當時，，則， 當時，，則， 綜上所述，對任意的，都有，∴為奇函數(shù) 例2已知函數(shù)對一切，都有， （1）求證：是奇函數(shù)；（2）若，用表示 解：（1）顯然的定義域是，它關(guān)于原點對稱在中， 令，得，令，得， ∴，∴，即， ∴是奇函數(shù) （2）由，及是奇函數(shù)， 得 例3（1）已知是上的奇函數(shù)，且當時，， 則的解析式為 （2） （《高考計劃》考點3“智能訓練第4題”）已知是偶函數(shù)，，當時，為增函數(shù)，若，且，則 （ ） 例4設(shè)為實數(shù)，函數(shù)， （1）討論的奇偶性； （2）求 的最小值 解：（1）當時，，此時為偶函數(shù)； 當時，，， ∴ 此時函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) （2）①當時，函數(shù)， 若，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在上的最小值為； 若，函數(shù)在上的最小值為，且 ②當時，函數(shù)， 若，則函數(shù)在上的最小值為，且； 若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在上的最小值 綜上，當時，函數(shù)的最小值是，當時，函數(shù)的最小值是， 當，函數(shù)的最小值是 例4已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù)又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時函數(shù)取得最小值 ①證明：；②求的解析式；③求在上的解析式 解：∵是以為周期的周期函數(shù)，∴， 又∵是奇函數(shù)，∴， ∴ ②當時，由題意可設(shè)， 由得，∴， ∴ ③∵是奇函數(shù)，∴， 又知在上是一次函數(shù)，∴可設(shè)，而， ∴，∴當時，， 從而當時，，故時， ∴當時，有，∴ 當時，，∴ ∴ 學生練習 1函數(shù)f(x)=x2/(x2+bx+1)是偶函數(shù)，則b= 2函數(shù)F(x)=(1+2/(2x-1))f(x)(x≠0)是偶函數(shù)，且f(x)不恒等于零，則f(x) ( A ) (A)是奇函數(shù) (B)是偶函數(shù) (C)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù) (D)非奇非偶函數(shù) 3已知函數(shù)f(x)=x2+lg(x+),若f(a)=M,則f(-a)等于 （ A ） (A)2a2-M (B)M-2a2 (C)2M-a2 (D)a2-2M 5若對正常數(shù)m和任意實數(shù)x,等式成立,則下列說法正確的是 ( ) A 函數(shù)是周期函數(shù),最小正周期為2m B 函數(shù)是奇函數(shù),但不是周期函數(shù) C 函數(shù)是周期函數(shù),最小正周期為4 m D 函數(shù)是偶函數(shù),但不是周期函數(shù) (利用周期函數(shù)的定義證明答案:C) 4已知f(x) 是奇函數(shù)，且當x?(0,1)時，f(x)=ln(1/(1+x)),那么當x?(-1,0)時，f(x)= ln(1-x) 5試將函數(shù)y=2x表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和 6判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)（非奇非偶函數(shù)）;(2)f(x)=x/(ax-1)+x/2 (a>0且a≠1)(偶函數(shù)） (3)f(x)=（偶函數(shù)）說明奇偶性的對稱條件和分段函數(shù)奇偶性的判別方法 7已知f(x),g(x)都是奇函數(shù)，f(x)>0的解集是(a2,b),g(x)>0的解集是(a2/2,b/2),則f(x)g(x)>0的解集是 8定義在區(qū)間(-￥,+￥)的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,+￥)上的圖象與f(x)的圖象重合，設(shè)a>b>0,給出下列不等式①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a)下載提示(請認真閱讀)
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