高考數(shù)學(xué) 3.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)課件.ppt

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第三節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),,【知識(shí)梳理】 1.必會(huì)知識(shí) 教材回扣 填一填 (1)周期函數(shù): ①周期函數(shù):對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)__________,使得當(dāng)x取___ _____內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期 函數(shù),__________叫做這個(gè)函數(shù)的周期. ②最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)_________ ___,那么這個(gè)_________就叫做f(x)的最小正周期.,非零常數(shù)T,定,義域,非零常數(shù)T,最小的正,數(shù),最小正數(shù),(2)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì):,R,R,[-1，1],[-1，1],R,{x|x∈R且x≠ + kπ，k∈Z},(k∈Z),(k∈Z),[2kπ-π，,2kπ](k∈Z),[2kπ，2kπ+,π](k∈Z),(k∈Z),2kπ(k∈Z),π+2kπ(k∈Z),(kπ，0)，,k∈Z,x=kπ，k∈Z,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 對(duì)稱(chēng)與周期 ①正弦曲線(xiàn)、余弦曲線(xiàn)相鄰兩對(duì)稱(chēng)中心、相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是半周期,相鄰的對(duì)稱(chēng)中心與對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是 周期. ②正切曲線(xiàn)相鄰兩對(duì)稱(chēng)中心之間的距離是半周期.,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:數(shù)形結(jié)合法. (2)數(shù)學(xué)思想:函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合. (3)記憶口訣:正(余)弦曲線(xiàn),都是一條波浪線(xiàn) 波峰取得最大值,波谷處見(jiàn)最小值 波峰、波谷相連間,要么遞增要么減 兩條曲線(xiàn)很完美,中心對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng),【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)正弦函數(shù)y=sin x在其任一周期內(nèi)都只有一個(gè)增區(qū)間,一個(gè)減區(qū)間.( ) (2)余弦函數(shù)y=cos x的對(duì)稱(chēng)軸是y軸.( ) (3)正切函數(shù)y=tan x在定義域內(nèi)是增函數(shù).( ) (4)若非零實(shí)數(shù)T是函數(shù)f(x)的周期,則kT(k是非零整數(shù))也是函數(shù)f(x)的周期.( ),【解析】(1)錯(cuò)誤.如正弦函數(shù)y=sin x在［0,2π)上有兩個(gè)增區(qū)間 [0, ]和[ ,2π)．(2)錯(cuò)誤．余弦函數(shù)y=cos x的對(duì)稱(chēng)軸有無(wú)窮多 條，y軸只是其中的一條.(3)錯(cuò)誤．正切函數(shù)y=tan x在每一個(gè)區(qū)間 (kπ- ,kπ+ )(k∈Z)上都是增函數(shù)，但在定義域內(nèi)不是單調(diào)函 數(shù)，故不是增函數(shù).(4)正確.周期函數(shù)的周期不只一個(gè)，其某一周期 的非零整數(shù)倍全是其周期． 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修4P40T3(2)改編)函數(shù)f(x)=4-2cos x的最小值是_____，取得最小值時(shí)，x的取值集合為_(kāi)_____. 【解析】f(x)min=4-2=2,此時(shí)， x=2kπ(k∈Z),x=6kπ(k∈Z),所以x的取值集合為{x|x=6kπ,k∈Z} 答案：2 {x|x=6kπ,k∈Z},(2)(必修4P44例6改編)函數(shù)y=tan( )的最小正周期是______,單調(diào)增區(qū)間是_________. 【解析】 由 ,得 x ,即函數(shù)的增區(qū)間是 答案：,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014·陜西高考)函數(shù)f(x)=cos(2x+ )的最小正周期是( ) 【解析】選B.由 ,故B正確.,(2)(2014·福建高考)將函數(shù)y=sin x的圖象向左平移 個(gè)單位，得到函數(shù)y=f(x)的函數(shù)圖象，則下列說(shuō)法正確的是( ) A.y=f(x)是奇函數(shù) B.y=f(x)的周期是π C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x= 對(duì)稱(chēng) D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(- ，0)對(duì)稱(chēng),【解析】選D.將函數(shù)y=sin x的圖象向左平移 個(gè)單位, 得到函數(shù) y=sin(x+ )=cos x的圖象．該函數(shù)是偶函數(shù)，故A錯(cuò)；周期為2π， 故B錯(cuò)；該函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=kπ(k∈Z)，故C錯(cuò)；對(duì)稱(chēng)中心為 ( +kπ,0)(k∈Z)，故D正確．,(3)(2015·長(zhǎng)春模擬)已知ω0,0φπ，直線(xiàn)x= 和x= 是函數(shù)f(x)=sin(ωx＋φ)圖象的兩條相鄰的對(duì)稱(chēng)軸，則φ=( ) 【解析】選A.由于直線(xiàn)x= 和x= 是函數(shù)f(x)=sin(ωx＋φ)圖象的兩條相鄰的對(duì)稱(chēng)軸，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π，所以ω=1，所以 ＋φ=kπ＋ (k∈Z).又0φπ，所以φ=,考點(diǎn)1 三角函數(shù)的定義域及簡(jiǎn)單的三角不等式 【典例1】(1)函數(shù)f(x)=-2tan(2x+ )的定義域是( ) (2)不等式 +2cos x≥0的解集是_________. (3)函數(shù)f(x)= +log2(2sin x-1)的定義域是___________.,【解題提示】(1)利用正切函數(shù)的定義域求解. (2)利用余弦函數(shù)的圖象求解. (3)由題意列不等式組求解.,【規(guī)范解答】(1)選D.由正切函數(shù)的定義域，得 即 (k∈Z)，故選D. (2)由 +2cos x≥0, 得cos x≥ 由余弦函數(shù)的圖象，得 在一個(gè)周期［-π,π］上，不等式cos x≥ 的解集為{x|- ≤x ≤ 故原不等式的解集為 答案：,(3)由題意，得 由①得-8≤x≤8,由②得sin x ,由正弦曲線(xiàn)得 +2kπx +2kπ(k∈Z). 所以不等式組的解集為 答案：,【易錯(cuò)警示】解答本例(3)有三點(diǎn)容易出錯(cuò)： (1)考慮問(wèn)題不全面致錯(cuò). (2)列錯(cuò)不等式2sin x-1≥0,或解錯(cuò)不等式2sin x-10. (3)不知道辨析大小而取錯(cuò)交集，導(dǎo)致答案錯(cuò)誤.,【互動(dòng)探究】本例(2)改為求不等式 +2cos x0的解集，如何求？ 【解析】由 +2cos x0,得cos x 由余弦函數(shù)的圖象得，其解集為,【規(guī)律方法】 1.三角函數(shù)定義域的求法 (1)應(yīng)用正切函數(shù)y=tan x的定義域求函數(shù)y=Atan (ωx+φ)的定義域. (2)轉(zhuǎn)化為求解簡(jiǎn)單的三角不等式求復(fù)雜函數(shù)的定義域. 2.簡(jiǎn)單三角不等式的解法 (1)利用三角函數(shù)線(xiàn)求解. (2)利用三角函數(shù)的圖象求解.,【變式訓(xùn)練】(2015·深圳模擬)函數(shù) 的定義域?yàn)開(kāi)__. 【解析】要使函數(shù)有意義，必須使sin x-cos x≥0. 利用圖象.在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出［0,2π］上y=sin x和y=cos x的圖象，如圖所示.,在［0,2π］內(nèi)，滿(mǎn)足sin x=cos x的x為 再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2π，所以定義域?yàn)?答案：,【加固訓(xùn)練】函數(shù) 的定義域是_______. 【解析】由1-tan2x≥0得tan2x≤1,即-1≤tan x≤1,由正切函數(shù)的圖象得不等式的解集為 答案：,考點(diǎn)2 三角函數(shù)的最值與值域 【典例2】(1)函數(shù)y=-2sin x-1,x∈[ )的值域是( ) A.［-3,1］ B.［-2,1］ C.(-3,1］ D.(-2,1］ (2)(2015·成都模擬)函數(shù)y=cos2x-2sin x的最大值與最小值分別 為( ) A.3,-1 B.3,-2 C.2,-1 D.2,-2,【解題提示】(1)弄清角x的取值范圍，結(jié)合正弦曲線(xiàn)求解. (2)換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值. 【規(guī)范解答】(1)選D.由正弦曲線(xiàn)知y=sin x在[ )上，-1≤ sin x ,所以函數(shù)y=-2sin x-1,x∈[ )的值域是(-2,1］.,(2)選D.y=cos2x-2sin x=1-sin2x-2sin x =-sin2x-2sin x+1, 令t=sin x,則t∈［-1,1］, y=-t2-2t+1 =-(t+1)2+2, 所以ymax=2,ymin=-2.,【互動(dòng)探究】本例(2)中，若x∈[ ]，試求函數(shù)的值域. 【解析】因?yàn)閥=cos2x-2sin x =-sin2x-2sin x+1. 令t=sin x,則t∈[ ], y=-t2-2t+1 =-(t+1)2+2, 所以ymax= ,ymin= 故函數(shù)的值域是[ ].,【規(guī)律方法】三角函數(shù)最值或值域的三種求法 (1)直接法：利用sin x，cos x的值域. (2)化一法：化為y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，確定ωx＋φ的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫(xiě)出函數(shù)的值域. (3)換元法：把sin x或cos x看作一個(gè)整體，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，求給定區(qū)間上的值域(最值)問(wèn)題.,【變式訓(xùn)練】1.(2015·青島模擬)函數(shù)y=2sin( )(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為( ) 【解析】選A.利用三角函數(shù)的性質(zhì)先求出函數(shù)的最值. 因?yàn)?≤x≤9，所以 所以 所以y∈［- ，2］，所以ymax＋ymin=2- .,2.函數(shù)y=-2cos( )+1的最大值是__________,此時(shí)x的取值集合為_(kāi)_________. 【解析】ymax=-2×(-1)+1=3， 此時(shí)， =2kπ+π,即x=4kπ+ (k∈Z). 答案：,【加固訓(xùn)練】1.函數(shù)y=sin x-cos x＋sin xcos x，x∈［0，π］的最小值是_________. 【解析】設(shè)sin x-cos x=t， 因?yàn)閤∈［0，π］，所以 所以t∈［-1， ］，sin xcos x= 所以 當(dāng)t=-1時(shí)，ymin=-1. 答案：-1,2.函數(shù) 的值域?yàn)開(kāi)_______. 【解析】由 ，得 因?yàn)?1≤cos x≤1，所以-1≤ ≤1，解得 因此，原函數(shù)的值域?yàn)?答案：,【一題多解】本題還可如下求解： 因?yàn)?1≤cos x≤1,所以1≤2-cos x≤3. 即原函數(shù)的值域?yàn)?答案：,考點(diǎn)3 三角函數(shù)的性質(zhì) 知·考情 求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，或已知函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)求參數(shù)的取值范圍，以及對(duì)三角函數(shù)奇偶性的考查是高考的重點(diǎn)，每年必考，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).,明·角度 命題角度1：三角函數(shù)的奇偶性與周期性 【典例3】(2015·吉林模擬)函數(shù) 是( ) A.最小正周期為π的奇函數(shù) B.最小正周期為π的偶函數(shù) C.最小正周期為 的奇函數(shù) D.最小正周期為 的偶函數(shù) 【解題提示】利用二倍角公式降冪化簡(jiǎn)再判斷.,【規(guī)范解答】選A. 則函數(shù)為最小正周期為π的奇函數(shù).,命題角度2：三角函數(shù)的單調(diào)性 【典例4】(2015·石家莊模擬)若f(x)=2sin ωx+1(ω0)在區(qū)間 [ ]上是增函數(shù)，則ω的取值范圍是________. 【解題提示】根據(jù)[ ]是相應(yīng)增區(qū)間的子集構(gòu)造不等式求解.,【規(guī)范解答】由 得f(x)的增區(qū)間是 因?yàn)閒(x)在[ ]上是增函數(shù)， 所以 所以 且 ，所以ω∈ 答案：,【一題多解】解答本題，還有以下兩種解法: 方法一：因?yàn)閤∈[ ],ω0. 所以ωx∈[ ], 又f(x)在區(qū)間[ ]上是增函數(shù)， 所以 則 又ω＞0， 得0ω≤,方法二：因?yàn)閒(x)在區(qū)間[ ]上是增函數(shù)，故原點(diǎn)到 的距離不超過(guò) ，即 得T≥ ,即 ≥ ,又ω＞0， 得0ω≤ 答案：(0, ],悟·技法 1.奇偶性與周期性的判斷方法 (1)奇偶性：由正、余弦函數(shù)的奇偶性可判斷y=Asin ωx和 y=Acos ωx分別為奇函數(shù)和偶函數(shù). (2)周期性：利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)，y=Acos(ωx+φ)(ω0)的周 期為 ,函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(ω0)的周期為 求解.,2.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法 (1)代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角ｕ(或t)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解. (2)圖象法：畫(huà)出三角函數(shù)的正、余弦曲線(xiàn)，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間. 提醒：求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)若x的系數(shù)為負(fù)應(yīng)先化為正，同時(shí)切莫漏掉考慮函數(shù)自身的定義域.,3.已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍的三種方法 (1)子集法：求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解. (2)反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解. (3)周期法：由所給區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)到其相應(yīng)對(duì)稱(chēng)中心的距離不超 過(guò) 周期列不等式(組)求解.,通·一類(lèi) 1.(2015·臨沂模擬)已知函數(shù)f(x)=4sin( -2x),x∈［-π,0］,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是( ),【解析】選C.f(x)= 由 (k∈Z)，得 所以函數(shù)f(x)的減區(qū)間是[ ](k∈Z). 因?yàn)閤∈［-π,0］, 所以函數(shù)f(x)的減區(qū)間是,2.(2015·福州模擬)函數(shù)f(x)=sin(x- )的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是( ) 【解析】選C.方法一：(圖象特征) 因?yàn)檎液瘮?shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)， 故令x- =kπ＋ ，k∈Z，所以x=kπ＋ ，k∈Z. 取k=-1，則,方法二：(驗(yàn)證法) x= 時(shí)，sin( - )=0，不合題意，排除A；x= 時(shí)， sin( - )= ，不合題意，排除B；x=- 時(shí)，sin(- - )=-1，符合題意，C項(xiàng)正確；而x=- 時(shí)，sin(- - )= 不合題意，故D項(xiàng)也不正確.,3.(2015·銀川模擬)已知函數(shù)f(x)=sin( )(x∈R),下面結(jié)論錯(cuò)誤的是( ) A.函數(shù)f(x)的最小正周期為π B.函數(shù)f(x)是偶函數(shù) C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x= 對(duì)稱(chēng) D.函數(shù)f(x)在區(qū)間[0, ]上是增函數(shù),【解析】選C.f(x)=sin(2x+ )=-cos 2x,故其最小正周期為π,故A 正確；易知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，B正確；由函數(shù)f(x)=-cos 2x的圖象 可知，函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于直線(xiàn)x= 對(duì)稱(chēng)，C錯(cuò)誤；由函數(shù)f(x)的 圖象易知，函數(shù)f(x)在[0, ]上是增函數(shù)，D正確.,4.(2015·承德模擬)若函數(shù)f(x)=sin ωx(ω0)在[0, ]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[ ]上單調(diào)遞減，則ω=_____. 【解析】方法一：由于函數(shù)f(x)=sin ωx(ω0)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，由已知并結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知， 為函數(shù)f(x)的 周期， 故 ,解得 方法二：由題意，得f(x)max=f( )=sin ω=1. 由已知并結(jié)合正弦函數(shù)圖象可知， 解得 答案：,巧思妙解6 巧用誘導(dǎo)公式解決奇偶性問(wèn)題 【典例】(2015·合肥模擬)把函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(0φπ)的圖象向右平移 個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)，則φ的值 為( ),【常規(guī)解法】選D.平移后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是g(x)= sin[2(x- )+φ]=sin(2x+φ- ),由題意得，g(x)是偶函數(shù)，所以對(duì)x∈R,g(-x)=g(x)恒成立， 因此sin(-2x+φ- )=sin(2x+φ- ), 即-sin 2xcos(φ- )+cos 2xsin(φ- ) =sin 2xcos(φ- )+cos 2xsin(φ- )， 整理得sin 2xcos(φ- )=0.,因?yàn)閤∈R,所以cos(φ- )=0.又因?yàn)?φπ, 故φ- = .所以φ=,【巧妙解法】選D.平移后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是g(x)= sin[2(x- )+φ]=sin(2x+φ- )， 由題意，g(x)是偶函數(shù). 所以φ- = +kπ(k∈Z) 即φ= π+kπ(k∈Z)， 因?yàn)?φπ， 所以φ= π.,,【方法指導(dǎo)】 1.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 (1)應(yīng)用誘導(dǎo)公式把正弦化為余弦，如sin( +x)=cos x,sin( -x)=cos x,sin( +kπ+x)= (2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式把余弦化為正弦，如cos( +x)=-sin x, cos( -x)=sin x,cos( +kπ+x)=,2.正、余弦型函數(shù)奇偶性的判斷技巧 函數(shù)y=sin(x+φ)，當(dāng)φ=kπ+ 時(shí)是偶函數(shù). 函數(shù)y=cos(x+φ),當(dāng)φ=kπ+ 時(shí)是奇函數(shù).,【類(lèi)題試解】(2015·昆明模擬)若函數(shù)f(x)=cos(2x+φ- ) (0φπ)是奇函數(shù)，則φ=______. 【常規(guī)解法】因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)， 所以對(duì)x∈R,f(-x)=-f(x)恒成立， 因此cos(-2x+φ- )=-cos(2x+φ- ). 即cos 2xcos(φ- )＋sin 2xsin(φ- )= -cos 2x cos(φ- )+sin 2xsin(φ- ),,整理得cos 2xcos(φ- )=0. 因?yàn)閤∈R,所以cos(φ- )=0. 又因?yàn)?＜φ＜π，故φ- = ，所以φ= 答案：,【巧妙解法】因?yàn)閒(x)為奇函數(shù), 所以φ- = +kπ,φ= +kπ,k∈Z. 又因?yàn)?φπ,故φ= . 答案：,