畫法幾何與陰影透視例題精講與解題方法.ppt

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2019/11/21,土建2004-1~2,1,點(diǎn)、直線、平面的投影,直線的投影 直角三角形法求線段實(shí)長及傾角 直線上的點(diǎn) 兩直線的相對位置關(guān)系,2019/11/21,土建2004-1~2,2,1．1點(diǎn)的直角坐標(biāo)和投影規(guī)律,Ａa′=aax=a〞az=oy,Aa=a′ax=a〞ay=oz,Aa〞=a′az=aay=ox,,1．點(diǎn)到投影面的距離等于相鄰?fù)队暗耐队暗较鄬?yīng)的投影軸上的距離。,a′a⊥ox,a′a〞⊥oz,aax=a〞az=oy,2．點(diǎn)的投影連線垂直于所對應(yīng)的軸線。,,,,2019/11/21,土建2004-1~2,3,根據(jù)兩點(diǎn)相對于投影面的距離(坐標(biāo))不同，即可確定兩點(diǎn)的相對位置。 圖中A 點(diǎn)的橫標(biāo)小于B 點(diǎn)的橫標(biāo)，點(diǎn)A 在點(diǎn)B 的右方。 同樣，可以判斷點(diǎn)A 在點(diǎn)B上方；點(diǎn)A 在點(diǎn)B 前方(規(guī)定距 V 面遠(yuǎn)為前，距V 面近為后)。,1.2 兩點(diǎn)的相對位置和重影點(diǎn),1.3.1 兩點(diǎn)的相對位置,2019/11/21,4,土建2004-1~2,例8：已知點(diǎn)A在點(diǎn)B之前5，之上9，之右8，求點(diǎn)A的投影。,,,,,,直線的投影,兩點(diǎn)決定一條直線。,分別將兩點(diǎn)的同名（同面）投影用直線連接，就得到直線的投影。,,,,直線的投影仍為直線，特殊情況下為一點(diǎn)。,直線對投影面的傾角： 對水平投影面的傾角——? 對正立投影面的傾角——? 對側(cè)立投影面的傾角——?,直線在三投影面體系中分為：,,各種位置直線的投影特性,投影面平行線,一般位置直線,投影面垂直線,2019/11/21,土建2004-1~2,7,水平線,側(cè)平線,投影面平行線,投影面平行線的投影特性： 1、在其所平行的投影面上的投影，反映直線段的實(shí)長。該投影與投影軸的夾角，反映該直線與其它兩投影面的傾角； 2、在其它兩投影面上的投影，平行于相應(yīng)的投影軸，且小于實(shí)長。,2019/11/21,土建2004-1~2,8,,正垂線,側(cè)垂線,投影面垂直線,垂直線的投影特性： 1、在其所垂直的投影面上的投影，積聚為一點(diǎn)； 2、在其它兩個(gè)投影面上的投影，反映實(shí)長，且垂直于相應(yīng)的投影軸。,投影特性： 三個(gè)投影都是縮短了的傾斜線段, 都不反映空間線段的實(shí)長及與三個(gè)投影面的傾角。,一般位置直線（投影面傾斜線）,各種位置直線的投影特性,2019/11/21,土建2004-1~2,10,,,例3: 過點(diǎn)A向右上方作一正平線AB,使其實(shí)長為2，與H面的傾角?=30。,,,,30,,解題思路：熟悉正平線的投影特性，并從反映實(shí)長和?的投影入手。,作圖要點(diǎn):１．做正平線的正面投影； ２．過點(diǎn)a做正平線的水平投影和側(cè)面投影。,2019/11/21,土建2004-1~2,11,,,?,|zA-zB|,,直角三角形法求線段實(shí)長及線段與投影面的傾角,,求直線AB的實(shí)長及其對 水平投影面的傾角? 角。,即：直角三角形的組成:斜邊－實(shí)長 直角邊1－投影,直角邊2－坐標(biāo)差, 投影與實(shí)長的夾角－傾角。,直角三角形法求線段實(shí)長 及線段與投影面的傾角,2019/11/21,土建2004-1~2,13,例5： 已知直線的一個(gè)投影a’b’及實(shí)長，求直線的投影ab。,X,O,a’,b’,a,,,解題思路及步驟—— 1.根據(jù)直角三角形的組成，利用a’b’及實(shí)長作直角三角形； 2 .求出Y坐標(biāo)差； 3. 利用Y坐標(biāo)差求ab投影。,,,,,,,,,,,,AB,思考：若將已知條件實(shí)長換成?=30，則如何解題？,直線上的點(diǎn),從屬性：若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的投影必在直線的同面投影上，且符合點(diǎn)的投影規(guī)律。反之，亦然。,定比性：若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的投影分割線段的同面投影之比與空間點(diǎn)分割線段之比相等。反之，亦然。 即AC/CB=ac/cb= a?c? / c?b? = a?c? : c? b?，利用這一特性，在不作側(cè)面投影的情況下，可以在側(cè)平線上找點(diǎn)或判斷已知點(diǎn)是否在側(cè)平線上。,直線上點(diǎn)的投影特性——,2019/11/21,土建2004-1~2,15,例6：判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。,點(diǎn)C不在直線AB上,點(diǎn)C在直線AB上,O,X,O,X,2019/11/21,土建2004-1~2,16,例7：判斷點(diǎn)K是否在線段AB上。,,,,,,,,,,a?,b?,因k?不在a? b?上， 故點(diǎn)K不在AB上。,方法二：應(yīng)用定比定理,,,,,,a,b,k,a?,b?,k?,,,方法一：作出第三投影,因 ak/kb不等于a’k’/k’b’，故點(diǎn)K不在AB上。,O,X,YH,YW,Z,2019/11/21,土建2004-1~2,17,,,,,例8 已知線段AB的投影圖，試將AB分成2﹕1兩段， 求分點(diǎn)C的投影c、c? 。,O,空間兩直線的相對位置關(guān)系分為四種： 平行、相交、交叉、垂直。,⒈ 兩直線平行,投影特性（判別方法）：,兩直線的相對位置,1．若空間兩直線相互平行，則其各同面投影必相互平行；反之，若兩直線的各同面投影相互平行，則此兩直線在空間也一定相互平行。 2．平行兩線段之比等于其投影之比。,2019/11/21,土建2004-1~2,19,例9：判斷圖中兩條直線是否平行。,對于一般位置直線，只要有兩個(gè)同面投影互相平行，空間兩直線就平行。,AB//CD,O,X,⒉ 兩直線相交,若空間兩直線相交，則其各同面投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律；反之，亦然。,兩直線的相對位置,交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn),投影特性（判別方法）：,3.兩直線交叉：凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。,兩直線的相對位置,1?(2? ),3(4 ),投影特性（判別方法） ：,★ 同面投影可能相交，但 “交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。也可能有兩對同面投影平行，但第三對決不會(huì)平行。,★ “交點(diǎn)”是兩直線上的一 對重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。,Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影點(diǎn)，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點(diǎn)。,,為什么？,兩直線相交嗎？,●,●,O,X,例10：過直線CD外一點(diǎn)A，作正平線AB與CD相交。,,,,,,,,,,c1,b1,X,O,例12 判斷圖中兩條直線的空間位置。,對于特殊位置直線，只有兩個(gè)特殊投影互相平行，空間直線不一定平行，必須在直線所平行的投影面內(nèi)進(jìn)行判斷。,求出側(cè)面投影后可知：,AB與CD不平行。,,,,,,,,,b?,,,,,,,,d?,c?,a?,c,,,,,,,,b,a,d,d?,b?,a?,c?,,X,Z,O,YH,YW,2019/11/21,土建2004-1~2,24,例14： 求作水平線L，使其距H面的距離為15，且與直線AB、CD都相交。,,a,b,a,b,c,d ,d,c,,,,,,,,,,,15,,,,,,,l’,l,X,O,2019/11/21,土建2004-1~2,25,例8 已知線段AB的投影，試定出屬于線段AB的點(diǎn)C的投影，使BC的實(shí)長等于已知長度L。,,,,,AB,zB-zA,ab,2019/11/21,土建2004-1~2,26,,一、用幾何元素表示平面 用幾何元素表示平面有五種形式：不在一直線上的三個(gè)點(diǎn)；一直線和直線外一點(diǎn)；相交二直線；平行二直線；任意平面圖形。 二、平面的跡線表示法 平面的跡線為平面與投影面的交線。特殊位置平面可以用在它們所垂直的投影面上的跡線來表示。,1.4.1 平面的表示法,2019/11/21,土建2004-1~2,27,,,不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn),,,直線及線外一點(diǎn),,,,兩平行直線,,兩相交直線,,平面圖形,一、用幾何元素表示平面,2019/11/21,土建2004-1~2,28,實(shí)形性,類似性,積聚性,一、 平面對一個(gè)投影面的投影特性,2.4.2 平面對投影面的相對位置,2019/11/21,土建2004-1~2,29,,二、 各種位置平面的投影特性,（一）、投影面的垂直面 1．鉛垂面 2．正垂面 3．側(cè)垂面 （二）、投影面的平行面 1．水平面 2．正平面 3．側(cè)平面 （三）、一般位置平面,2019/11/21,土建2004-1~2,30,,1．鉛垂面,投影特性 (1) abc積聚為一條線 (2) ? a?b?c?、 ? a?b?c?為?ABC的類似形 (3) abc與OX、 OY的夾角反映?、?角的真實(shí)大小,2019/11/21,土建2004-1~2,31,,,,,,,,a,b,c,a?,c?,b?,c?,b?,a?,,,,,,,,,類似性,類似性,積聚性,鉛垂面,投影面垂直面的投影特性：,在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。,另外兩個(gè)投影面上的投影有類似性。,為什么？,小結(jié)：,,,2019/11/21,土建2004-1~2,32,1．水平面,投影特性： (1) a?b?c?、 a?b?c?積聚為一條線，具有積聚性 (2) 水平投影? abc反映? BC實(shí)形,,,,,Pv,,,Pw,2019/11/21,土建2004-1~2,33,三、一般位置平面,投影特性 (1) ? abc 、 ? a?b?c? 、 ? a?b?c? 均為? ABC的類似形 (2) 不反映?、?、? 的真實(shí)角度,2019/11/21,土建2004-1~2,34,,1.4.3 平面上的直線和點(diǎn),一、 平面上取任意直線 二、 平面上取點(diǎn) 三、屬于特殊位置平面的點(diǎn)和直線,在平面上取點(diǎn)、直線的作圖，實(shí)質(zhì)上就是在平面內(nèi)作輔助線的問題。利用在平面上取點(diǎn)、直線的作圖，可以解決三類問題： 1、判別已知點(diǎn)、線是否屬于已知平面； 2、完成已知平面上的點(diǎn)和直線的投影； 3、完成多邊形的投影。,2019/11/21,土建2004-1~2,35,1．取屬于平面的直線,取屬于定平面的直線，要經(jīng)過屬于該平面的已知兩點(diǎn)；或經(jīng)過屬于該平面的一已知點(diǎn)，且平行于屬于該平面的一已知直線。,,,,2019/11/21,土建2004-1~2,36,2．取屬于平面的點(diǎn),取屬于平面的點(diǎn)，要取自屬于該平面的已知直線,2019/11/21,土建2004-1~2,37,[例題1] 已知? ABC給定一平面，試判斷點(diǎn)D是否屬于該平面。,,,,e,e,不屬于平面,2019/11/21,土建2004-1~2,38,,,,,,k?,,,,b,,,,[例題3] ：已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形ABCD的水平投影。,解法一,解法二,2019/11/21,土建2004-1~2,39,,,,,,,,,,,,,做平面四邊形ABCD的投影。其中AD//BC,b’,C’,d’,a‘,a,b,2019/11/21,土建2004-1~2,40,,三、屬于特殊位置平面的點(diǎn)和直線,1．取屬于投影面垂直面的點(diǎn)和直線 2．過一般位置直線總可作投影面的垂直面 跡線表示法 3.屬于平面的投影面平行線,2019/11/21,土建2004-1~2,41,2．過一般位置直線總可作投影面的垂直面,過一般位置直線AB作鉛垂面PH,過一般位置直線AB作正垂面SV,2019/11/21,土建2004-1~2,42,過一般位置直線作投影面的垂直面 (跡線表示法),b“,a“,SV,QW,PH,2019/11/21,土建2004-1~2,43,3.屬于平面的投影面平行線,屬于平面的水平線和正平線 例題4,2019/11/21,土建2004-1~2,44,[例題4] 已知? ABC給定一平面，試過點(diǎn)C作屬于該平面的正平線，過點(diǎn)A作屬于該平面 的水平線。,,,,m?,,,,n,n,m,2019/11/21,土建2004-1~2,45,【基本作圖五】一般線與一般面相交,m,n,,QV,解題步驟： 1、 過EF作正垂面Q。 2、求Q平面與ΔABC的交線MN。 3、求交線MN與EF的交點(diǎn)K。 4、可見性判別,,,,,2019/11/21,土建2004-1~2,46,可見性判別方法,判別可見性的原理是利用重影點(diǎn)。,2019/11/21,土建2004-1~2,47,利用重影點(diǎn)判別可見性,,,f ,e,e,f,,,b,a,a,c,b,c,,,,,,k,,k,,,( ),( ),,2019/11/21,土建2004-1~2,48,貫穿點(diǎn)——直線與立體相交，表面的交點(diǎn)。,作圖要點(diǎn)： 利用棱柱棱面及底面的積聚性，求特殊位置平面與直線的交點(diǎn)。,注意： 穿入立體內(nèi)的直線不畫出。,例1：求直線與棱柱的貫穿點(diǎn)。,解題思路：將求貫穿點(diǎn)轉(zhuǎn)化成求直線與平面的交點(diǎn)。,,,,,,,,2019/11/21,土建2004-1~2,49,作圖要點(diǎn)： 1、求過直線的截平面與棱 錐的截交線； 2、求截交線與直線的交點(diǎn)。 3、判別直線的可見性。,用過直線的平面截棱錐，求截交線及其與直線的交點(diǎn)。,1,b,,,,,,,,,,例5：求直線與棱錐的貫穿點(diǎn),2019/11/21,土建2004-1~2,50,⒈ 更換一次投影面,A點(diǎn)的兩個(gè)投影：a， a?,A點(diǎn)的兩個(gè)投影：a，a1,⑴ 新投影體系的建立,三、點(diǎn)的投影變換規(guī)律,2019/11/21,土建2004-1~2,51,ax1,,,,,?,?,?,V,H,X,P1,H,X1,a?,a,a1,,,,,,,V,H,A,,a,?,?,?,ax,X,,,a1,ax1,,?,⑵ 新舊投影之間的關(guān)系,? aa1 ? X1,? a1ax1 = a?ax,? 點(diǎn)的新投影到新投影軸的距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。,ax,a?,?,?,?,?,?,一般規(guī)律：,? 點(diǎn)的新投影和與它有關(guān)的原投影的連線，必垂直于新投影軸。,,.,2019/11/21,土建2004-1~2,52,,更換H面,⑶ 求新投影的作圖方法,,,,?,?,V,H,X,a,a?,ax,ax1,ax1,更換V面,作圖規(guī)律:由點(diǎn)的不變投影向新投影軸作垂線，并在垂線上量取一段距離，使這段距離等于被代替的投影到原投影軸的距離(舊投影到舊投影軸的距離等于新投影到新投影軸的距離)。,(舊投影),(舊投影),(新投影),(新投影),(舊投影軸),(舊投影軸),(新投影軸),(新投影軸),2019/11/21,土建2004-1~2,53,四、換面法的六個(gè)基本問題,1. 把一般位置直線變換成投影面平行線,,,用P1面代替V面，在P1/H投影體系中，AB//P1。,,空間分析：,不行！,作圖：,新投影軸的位置？,與ab平行。,2019/11/21,土建2004-1~2,54,2 將投影面的平行線變換為投影面的垂直線,功用:一次換面后可用于求點(diǎn)與直線,兩直線間的距離等。,問題的關(guān)鍵：新軸要垂直于反映實(shí)長的那個(gè)投影。,X1,,一般位置直線變換為垂直線,2019/11/21,土建2004-1~2,55,,3. 把一般位置直線變換成投影面垂直線,空間分析：,,,,,,,a?,b?,a,b,X,V,H,作圖：,二次換面把投影面平行線變成投影面垂直線。,X2軸的位置？,與a1b1垂直,一次換面把直線變成投影面平行線；,2019/11/21,土建2004-1~2,56,α,,,,,,,a?,b?,c?,a,c,b,X,V,H,例：把三角形ABC變換成投影面垂直面。,,,,,作 圖 過 程：,★ 在平面內(nèi)取一條水平 線AD。,★ 將AD變換成新投影 面的垂直線。,反映平面對哪個(gè)投影面的夾角？,57,(2) 棱柱表面上取點(diǎn),,,,,,,,,,,,,,a?,,,,b,,,,b?,,,,2019/11/21,土建2004-1~2,58,(1) 棱錐的投影,s?,B,a,s,c,s?,b,C,A,S,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2019/11/21,土建2004-1~2,59,,,,,s,(c?),s?,a?,a,c?,b?,b?,c,s?,b,a?,,r?,(2) 棱錐表面上取點(diǎn),,,,,2019/11/21,土建2004-1~2,60,平面與立體相交在立體表面產(chǎn)生交線稱為截交線，該平面稱為截平面。截交線是截平面和立體表面的共有線，截交線上的點(diǎn)是截平面與立體表面上的共有點(diǎn)，它既在截平面上又在立體表面上。由于任何立體都有一定的空間范圍，所以截交線一定是封閉的線條，通常是一條平面曲線或者是由曲線和直線組成的平面圖形或多邊形。,截平面,截交線,,,,截交線的概念,6.4.1平面立體的截交線,,2019/11/21,土建2004-1~2,61,平面截切體的畫圖,⒈ 求截交線的兩種方法：,★ 求各棱線與截平面的交點(diǎn)→棱線法。,★ 求各棱面與截平面的交線→棱面法。,關(guān)鍵是正確地畫出截交線的投影。,⒉ 求截交線的步驟：, 截平面與體的相對位置, 截平面與投影面的相對位置,確定截交線 的投影特性,確定截交 線的形狀,★ 空間及投影分析,★ 畫出截交線的投影,分別求出截平面與棱面的交線，并連接成多邊形。,2019/11/21,土建2004-1~2,62,,,,,,,,,,,,,,,,1’,2’,3’(4’),1”,3”,4”,1,2,4,3,例2 求做立體被截切后的投影,,,2019/11/21,土建2004-1~2,63,例3：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3?,2?,1?,(4?),★ 空間分析,交線的形狀？,★ 投影分析,★ 求截交線,★ 分析棱線的投影,,,,,,,,★ 檢查 尤其注意檢查截 交線投影的類似性,2019/11/21,土建2004-1~2,64,,同坡屋面的特性,當(dāng)同坡屋頂各坡面的屋檐的高度相等時(shí)，同坡屋頂就具有以下特性： （1）兩坡面的屋檐線相交時(shí)，其交線為斜脊線，它的水平投影必為這兩屋檐線的夾角的分角線； （2）兩坡面的屋檐線平行時(shí)，其交線為平脊線，它的水平投影必為與兩屋檐等距離的平行線； （3）若屋面上的兩條 脊線已相交于一點(diǎn)，則 過該點(diǎn)必然并且至少還 有第三條脊線。,2019/11/21,土建2004-1~2,65,,,例 已知同坡屋面的傾角α和平面形狀，求屋面的三面投影。,,,,,,,,,,(1)劃分矩形；,(3)畫平脊線；,(5)整理輪廓。,(4)判別可見性；,(2)作凸角、凹角的分角線；,第一種解法：,解題步驟,1.畫水平投影,2.畫正面投影,3.畫側(cè)面投影,2019/11/21,土建2004-1~2,66,,,,,,,,,第二種解法：,分析：第一種解法屋面出現(xiàn)水平天溝，不利于排水，第二種解法則沒有，因此第二種解法更佳。,2019/11/21,土建2004-1~2,67,7.2.1 軸間角和軸向伸縮系數(shù),按實(shí)際軸向伸縮系數(shù)繪制,按簡化軸向伸縮系數(shù)繪制,邊長為L的正 方形的軸測圖,軸間角,特 性,投影線與軸測投影面垂直,簡化軸向伸縮系數(shù),投影線方向,軸向伸縮系數(shù),p1=q1=r1=0.82,p=q=r=1,,,,,,,,2019/11/21,土建2004-1~2,68,7.2.2 正等測軸測圖的基本作圖方法,(1) 在視圖上建立坐標(biāo)系,(2) 畫出正等測軸測軸,(3) 按坐標(biāo)關(guān)系畫出物體的軸測圖,2019/11/21,土建2004-1~2,69,7.2.3 平面立體正等測軸測圖的畫法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2019/11/21,土建2004-1~2,70,,,,,,,,,,,,,,,,,