高中數(shù)學 2.3.2平面向量基本定理課件 北師大版必修4.ppt

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3.2 平面向量基本定理,平面向量基本定理與基底 (1)平面向量基本定理： (2)基底：成為基底的條件：向量e1,e2_______.,不共線,任一,λ1e1+λ2e2,不共線,1．判一判 (正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)平面內的兩個向量e1,e2，對于任一向量a，都有a=λ1e1+ λ2e2(λ1,λ2∈R).( ) (2)基底中可以含有零向量.( ) (3)向量e1-e2，-e1+e2可以作為一組基底.( ),2．做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)在平面向量基本定理中,若a=0,則λ1=λ2=______. (2)在平面向量基本定理中,若a∥e1,則λ2=0；若a∥e2,則λ1=______. (3)當向量a與b共線時，這兩向量的夾角θ=______.,【解析】1.(1)錯誤.當e1,e2共線時不一定成立. (2)錯誤.零向量與任意向量共線，因此基底中不能含有零向量. (3)錯誤.因為e1－e2=-(－e1+e2)，兩向量共線，所以不能作為一組基底. 答案：(1) (2) (3),2.(1)當a=0，即λ1e1+λ2e2=0時,因為0e1+0e2=0,所以根據實數(shù)λ1, λ2相對于基底e1,e2唯一性知λ1=λ2=0. 答案：0 (2)當a∥e1時,a=λe1=λ1e1+λ2e2,所以根據實數(shù)λ1, λ2相對于基底e1,e2唯一性知λ1=λ,λ2=0.同理可知當a∥e2時λ1=0. 答案：0,(3)當向量a與b共線，即兩向量同向時夾角θ=0，反向時夾角θ=180. 答案：0或180,【要點探究】 知識點 平面向量基本定理 對平面向量基本定理的理解 (1)基底是同一平面內的兩個不共線向量. (2)對給定的向量a，實數(shù)λ1，λ2相對于基底e1，e2是唯一的. 但是向量a對于不同的基底可以有不同的表示，即對應不同的實數(shù)λ1,λ2.,(3)平面向量基本定理揭示了平面向量的基本結構，即同一平面內任意三個不共線向量之間的關系是其中任何一個向量都可以表示為其他兩個不共線向量的線性組合.根據需要，只要選取的兩向量不共線都可作為基底.,【知識拓展】直線方程的向量表示式 如圖，點P在l上， 所以存在t使 所以 = 反過來，設點P滿足 則 即P在l上. 所以滿足 的點P一定在l上.,【微思考】 平面向量基本定理與向量的線性運算有何關系？ 提示：平面向量基本定理體現(xiàn)了向量的線性運算，即用兩個不共線向量的線性運算表示平面內任一向量.,【即時練】 1.如圖所示，向量 可用向量e1,e2表示為_______.,2.已知e1和e2是表示平面內所有向量的一組基底，那么下面四 組向量中能作為一組基底的是______. ①e1和e1+e2； ②e1+e2和e1-e2； ③e1-2e2和4e2-2e1； ④e1和e1-e2. 3.平行四邊形ABCD中，點E是BC的中點，用向量 作為基 底表示向量 =______.,【解析】1.由圖可知， =4e1+3e2. 答案： =4e1+3e2 2.由向量加法的平行四邊形法則可知向量e1，e1－e2， e1+e2兩兩不共線，而4e2-2e1=-2(e1-2e2)，所以e1-2e2與4e2-2e1共線，故可以構成一組基底的是e1和e1+e2，e1+e2和e1-e2，e1和e1－e2. 答案：①②④ 3. 答案:,【題型示范】 類型一 向量的分解與作圖 【典例1】 (1)(2013廣東高考)設a是已知的平面向量且a≠0，關于向量a的分解，有如下四個命題： ①給定向量b，總存在向量c，使a=b+c； ②給定向量b和c，總存在實數(shù)λ和μ，使a=λb+μc；,③給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實數(shù)λ，使a=λb+μc； ④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a=λb+μc. 上述命題中的向量b，c和a在同一平面內且兩兩不共線，則真命題的個數(shù)是( ) A．1 B．2 C．3 D．4,(2)如圖所示，已知向量e1,e2,a=e1+2e2,b=2e1+e2,作出向量a-b.,【解題探究】1.題(1)中a分解的依據是什么? 2.題(2)中兩個向量的差能否直接用向量減法法則作圖？ 【探究提示】1.a向量的分解的依據是平面向量基本定理. 2.不能.需先作a，b，再利用向量運算法則作出a-b.,【自主解答】(1)選B.利用向量加法的三角形法則，易得①是真命題；利用平面向量基本定理，易得②是真命題；以a的終點為圓心,作半徑為μ的圓，這個圓必須和向量λb有交點，這個不一定能滿足，③是假命題；由向量加法的三角形法則(不共線兩邊的和大于第三邊)，即|λb|+|μc|=λ+μ|a|，而給定的λ和μ不一定滿足此條件，所以④是假命題.,(2)根據題意，可先作a，b，再作a-b. 作法： ①如圖所示，任取一點O，作 ②作平行四邊形OAEC，連接OF，OE， 則 ③連接EF，則 就是所求的向量a-b.,【方法技巧】平面向量基本定理在作圖中的應用 (1)利用向量共線定理畫出與基向量共線的向量. (2)利用向量的平行四邊形法則合成待求向量.,【變式訓練】如圖，平面內有三個向量 其中 與 的夾角為150， 與 的夾角為60，| |= | |=2，| |=2 ，若 (λ,μ∈R)， 則λ-μ的值是_______．,【解析】過C分別作OA,OB的平行線交OB,OA于E,D，則四邊形 EODC為平行四邊形， 在△COD中，OC= ，∠COD=60，∠OCD=∠EOC=90，所以 OD=2OC= ，而OA=2，所以 在△COE中，OC= ，∠OCE=60，∠EOC=90，所以OE= OCtan 60=6，而OB=2，所以 所以 所以λ= ，μ=3，所以λ-μ= -3. 答案： -3,【補償訓練】如圖所示，已知基向量a，b，求作向量3a-2b.,【解析】作法：(1)如圖所示，在平面內任取一點O，作 (2)作平行四邊形OACB，連接OC，則 就是求作的向量.,類型二 用基底表示向量 【典例2】 (1)(2014商洛高一檢測)如圖，在平行四邊形ABCD中， 則 =_______(用a,b表示).,(2)如圖，已知梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E，F(xiàn)分別是 DC，AB的中點，設 試用a,b表示,【解題探究】1.題(1)中向量 與 的關系是什么？ 2.題(2)中四邊形AFCD是什么四邊形？ 【探究提示】1. 2.四邊形AFCD是平行四邊形.,【自主解答】(1) 答案：,(2)因為DC∥AB，AB=2DC，E，F(xiàn)分別是DC，AB的中點，所以四邊形AFCD為平行四邊形， 所以 所以,【延伸探究】本例(1)中，若 其他條件不變， 則 =_______. 【解析】 答案：,【方法技巧】應用平面向量基本定理時的關注點 (1)充分利用向量的加法、減法的法則，在平行四邊形、三角 形中確定向量的關系. (2)應用數(shù)乘向量時特別注意線段的比例關系，如中點、三等 分點等. (3)一個重要結論：設a，b是同一平面內的兩個不共線的向 量，若x1a+y1b=x2a+y2b,則有,【變式訓練】如圖所示，D，E是△ABC中AB，AC邊的中點，M， N分別是DE，BC的中點，已知 =a， =b，試用a，b分別表 示 和,【解題指南】因為D,E是△ABC中AB,AC邊的中點，所以DE BC，故 可表達； 和 在△ABC中，由向量的共線 和三角形法則表達即可.,【解析】由三角形中位線定理，知DE BC． 故 即 =-a+b+ a=- a+b,,【誤區(qū)警示】在利用向量加法的三角形法則表示向量時，容易將向量的方向弄反，解題時要特別注意.,【補償訓練】在平行四邊形ABCD中， 已知 則 =( ),【解析】選C.如圖，在三角形ABE中，有 其中 所以 故選C.,【規(guī)范解答】平面向量基本定理的綜合應用 【典例】(12分)在△ABC中，AM∶AB=1∶3,AN∶AC=1∶4,BN 與CM交于點E， 用a,b表示,【審題】抓信息，找思路,【解題】明步驟，得高分,【點題】警誤區(qū)，促提升 失分點1：未能設出①處的比例關系，從而無法表示出 則會導致不得分. 失分點2：②處 的表達式不準確導致λ,t值求錯，考試時最多得5分. 失分點3：未能根據向量表示的唯一性列出③處的方程組，導致無法求出參數(shù)λ,t的值，考試時最多得7分.,【悟題】提措施，導方向 1.強化待定系數(shù)法在表示向量中的應用 當圖中某些點位置關系不明確時，應先設出系數(shù)關系，表示出 向量后再確定系數(shù).如本例中交點E的比例關系未知，需先設出 后再求. 2.向量表示的唯一性是確定參數(shù)的重要方法 當a,b不共線時，若xa+yb=ma+nb,則x=m,y=n，常用來確定相 關參數(shù)的值，如本例中利用 表示的唯一性求λ,t的值.,【類題試解】已知三角形OBC中，點A是 BC的中點，D是OB上的點，且OD=2DB， DC和OA交于點E，設 (1)用a,b表示向量 (2)若 求實數(shù)λ的值.,【解析】(1)因為A是BC的中點，所以 因為 所以 所以 所以,(2)設 因為 又因為 因為 =2a-b,故 解得,