高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.4 生活中的優(yōu)化問題舉例課件 新人教版選修2-2.ppt

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1.4 生活中的優(yōu)化問題舉例,第一章 導數(shù)及其應用,1.了解導數(shù)在解決實際問題中的作用. 2.掌握利用導數(shù)解決實際生活中簡單的優(yōu)化問題. 3.學會建立數(shù)學模型，并會求解數(shù)學模型.,,學習目標,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學習,知識點一 利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的步驟,1.分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關系 y＝f(x)； 2.求函數(shù)的導數(shù) f′(x)，解方程 f′(x)＝0； 3.比較函數(shù)在區(qū)間端點和在 f′(x)＝0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值.,,答案,思考 (1)什么是優(yōu)化問題？,答案 在生活中，人們常常遇到求使經(jīng)營利潤最大、用料最省、費用最少、生產(chǎn)效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題.,(2)優(yōu)化問題的常見類型有哪些？,答案 費用最省問題，利潤最大問題，面積、體積最大問題等.,知識點二 解決優(yōu)化問題的基本思路,,思考 解決生活中優(yōu)化問題應注意什么？,答案 (1)當問題涉及多個變量時，應根據(jù)題意分析它們的關系，列出變量間的關系式； (2)在建立函數(shù)模型的同時，應根據(jù)實際問題確定出函數(shù)的定義域； (3)在實際問題中，由 f′(x)＝0常常得到定義域內(nèi)的根只有一個，如果函數(shù)在這點有極大值(極小值)，那么不與端點處的函數(shù)值比較，也可以判斷該極值就是最大值(最小值)； (4)求實際問題的最大(小)值時，一定要從問題的實際意義去考查，不符合實際意義的應舍去，例如，長度、寬度應大于0，銷售價格為正數(shù)等.,返回,答案,題型探究 重點突破,題型一 利潤最大問題,,解析答案,例1 某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件.如果降低售價，銷售量就會增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x(單位：元/件，0≤x≤21)的平方成正比.已知每件商品的售價降低2元時，一星期多賣出24件. (1)將一個星期的商品銷售利潤表示成關于x的函數(shù)；,解 若每件商品單價降低x元， 則一個星期多賣的商品數(shù)為kx2件. 由已知條件得k22＝24，解得k＝6. 若記一個星期的商品銷售利潤為f(x)， 則有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21].,,解析答案,反思與感悟,(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？,解 對(1)中函數(shù)求導得f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12). 當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：,∴x＝12時，f(x)取得極大值. ∵f(0)＝9 072，f(12)＝11 664， ∴30－12＝18(元)， 故定價為每件18元能使一個星期的商品銷售利潤最大.,,反思與感悟,利潤最大問題是生活中常見的一類問題，一般根據(jù)“利潤＝收入－成本”建立函數(shù)關系式，再利用導數(shù)求最大值. 解此類問題需注意兩點： ①價格要大于或等于成本，否則就會虧本； ②銷量要大于0，否則不會獲利.,,,解析答案,解 依題意，知每月生產(chǎn)x噸產(chǎn)品時的利潤為,,題型二 面積、容積最值問題,,解析答案,例2 已知一扇窗子的形狀為一個矩形和一個半圓相接，其中半圓的直徑為2r，如果窗子的周長為10，求當半徑r取何值時窗子的面積最大.,反思與感悟,,解 設矩形的另一邊長為x，半圓弧長為πr， ∴πr＋2r＋2x＝10，,∴S′＝10－(π＋4)r，,解析答案,反思與感悟,,反思與感悟,,在解決面積、體積的最值問題時，要正確引入變量，將面積或體積表示為關于變量的函數(shù)，結(jié)合使實際問題有意義的變量的范圍，利用導數(shù)求函數(shù)的最值.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓練2 如圖，將一個矩形花壇ABCD擴建成一個 更大的矩形花壇AMPN，要求B在AM上，D在AN上， 且對角線MN過C點，|AB|＝3 m，|AD|＝2 m. (1)要使矩形AMPN的面積大于32 m2，則AN的長應在什么范圍內(nèi)？ (2)當AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最??？并求出最小面積； (3)若AN的長度不少于6 m，則當AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最??？并求出最小面積.,,解析答案,解 設AN的長為x m(x＞2)，,∵x＞2， ∴3x2－32x＋64＞0，即(3x－8)(x－8)＞0，,,解析答案,(2)設S矩形AMPN＝y(tǒng)，,即當AN的長度為4 m時，S矩形AMPN取得最小值24 m2.,即當AN的長度為6 m時，S矩形AMPN取得最小值27 m2.,題型三 成本最省問題,,解析答案,例3 甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/時)的平方成正比，比例系數(shù)為b(b＞0)；固定部分為a元. (1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米/時)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；,,,解析答案,反思與感悟,(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？,,解析答案,反思與感悟,解 由題意，s、a、b、v均為正數(shù).,,反思與感悟,此時y′＜0，即y在(0，c]上為減函數(shù). 所以當v＝c時，y最小. 綜上可知，為使全程運輸成本y最小，,,選取合適的量做自變量，并根據(jù)實際確定其取值范圍，正確列出函數(shù)關系式，然后利用導數(shù)求最值.其中把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，正確列出函數(shù)關系式是解題關鍵.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓練3 工廠A到鐵路的垂直距離為20 km，垂足為B，鐵路線上距離B處100 km的地方有一個原料供應站C，現(xiàn)在要從BC段上的D處向工廠修一條公路，使得從原料供應站C到工廠A所需的運費最省，已知每千米的鐵路運費與公路運費之比為3∶5，則D點應選在何處？,,解析答案,,∴x＝15. 由實際問題可知，運輸費用一定有最小值，而此函數(shù)有唯一極值點， 故x＝15時取最小值， 故D點在距B點15 km處最好.,,解析答案,,因沒有注意問題的實際意義而出錯,易錯點,例4 某船由甲地逆水行駛到乙地，甲、乙兩地相距s(km)，水的流速為常量a(km/h)，船在靜水中的最大速度為b(km/h)(b＞a)，已知船每小時的燃料費用(以元為單位)與船在靜水中的速度的平方成正比，比例系數(shù)為k，則船在靜水中的航行速度為多少時，其全程的燃料費用最?。?返回,防范措施,,易錯易混,,錯解 設船在靜水中的航行速度為x km/h，全程的燃料費用為y元，,解析答案,令y′＝0，得x＝2a或x＝0(舍)， 所以f(2a)＝4ask， 即當x＝2a時，ymin＝4ask. 故當船在靜水中的航行速度為2a km/h時，燃料費用最省.,錯因分析 這個實際問題的定義域為(a，b]，而x＝2a為函數(shù)的極值點，是否在(a，b]內(nèi)不確定，所以需要分類討論，否則會出現(xiàn)錯誤.,防范措施,,正解 設船在靜水中的航行速度為x km/h，全程的燃料費用為y元，,令y′＝0，得x＝2a或x＝0(舍). (1)當2a≤b時， 若x∈(a,2a)，y′＜0，f(x)為減函數(shù)， 若x∈(2a，b]時，y′＞0，f(x)為增函數(shù)， 所以當x＝2a時，ymin＝4ask.,解析答案,防范措施,,當x∈(a，b]時，y′＜0， 所以f(x)在(a，b]上是減函數(shù)，,綜上可知，若b＜2a，則當船在靜水中的速度為b km/h時,燃料費用最??； 若b≥2a，則當船在靜水中的速度為2a km/h時，燃料費用最省.,防范措施,,,在運用導數(shù)解決實際問題的過程中，正確建立數(shù)學模型，找到實際問題中函數(shù)定義域的取值范圍.,返回,防范措施,,當堂檢測,1,2,3,4,5,1.內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長最大的矩形的邊長為( ),解析答案,解析 設矩形與半圓直徑垂直的一邊的長為x，,,答案 B,1,2,3,4,5,,2.要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20 cm，要使其體積最大，則高為( ),解析答案,1,2,3,4,5,答案 D,1,2,3,4,5,,3.一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當月租金定為1 000元時，公寓會全部租出去，月租金每增加50元，就會多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花費100元維修費，則月租金定為______元時可獲得最大收入.,解析答案,1 800,解析 設x套為沒有租出去的公寓數(shù)， 則收入函數(shù)f(x)＝(1 000＋50x)(50－x)－100(50－x)， ∴f′(x)＝1 600－100x， ∴當x＝16時，f(x)取最大值， 故把月租金定為1 800元時收入最大.,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,4.某公司一年購買某種貨物900噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x＝_____噸.,30,解析 設總運費與總存儲費之和為y萬元，,,解析答案,5.制作容積為256的方底無蓋水箱，它的高為____時最省材料.,1,2,3,4,5,4,解析 設底面邊長為x，高為h， 則V(x)＝x2h＝256，,令S′(x)＝0，解得x＝8，,,課堂小結(jié),,返回,1.解應用題的思路方法：(1)審題：閱讀理解文字表達的題意，分清條件和結(jié)論，找出問題的主要關系；(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言，利用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型；(3)解模：把數(shù)學問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學方法求解；(4)對結(jié)果進行驗證評估，定性定量分析，做出正確的判斷，確定答案. 2.解決最優(yōu)化問題首先要確定變量之間的函數(shù)關系，建立函數(shù)模型.要熟記常見函數(shù)模型，如二次函數(shù)模型、三次函數(shù)模型、分式函數(shù)模型、冪指對模型、三角函數(shù)模型等. 3.除了變量之間的函數(shù)關系式外，實際問題中的定義域也很關鍵，一定要結(jié)合實際問題的意義確定定義域.,