高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明章末復(fù)習(xí)提升課件 新人教版選修2-2.ppt

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章末復(fù)習(xí)提升,第二章 推理與證明,,,欄目索引,,,要點(diǎn)歸納 主干梳理,題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測(cè) 自查自糾,,知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 整體構(gòu)建,,知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 整體構(gòu)建,返回,要點(diǎn)歸納 主干梳理,1.合情推理與演繹推理 (1)歸納和類比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整體的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推測(cè)未知，都能用于猜想，推理的結(jié)論不一定為真，有待進(jìn)一步證明. (2)演繹推理與合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是數(shù)學(xué)中證明的基本推理形式.也是公理化體系所采用的推理形式， 另一方面，合情推理與演繹推理又是相輔相成的，前者是后者的前提，后者論證前者的可靠性.,2.直接證明與間接證明 直接證明和間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩類基本證明方法. 直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法： 綜合法是從已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法； 分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法， 在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常把它們結(jié)合起來(lái)使用， 間接證法的一種方法是反證法， 反證法是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法.,思考 反證法通常適用于哪些問(wèn)題？,,答案,答案 反證法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的證明方法，在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到，它所反映出的“正難則反”的解決問(wèn)題的思想方法更為重要. 反證法主要證明：否定性、唯一性命題；至多、至少型問(wèn)題；幾何問(wèn)題.,3.數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.證明時(shí)，它的兩個(gè)步驟缺一不可. 它的第一步(歸納奠基)n＝n0時(shí)結(jié)論成立. 第二步(歸納遞推)假設(shè)n＝k時(shí)，結(jié)論成立，推得n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立.數(shù)學(xué)歸納法原理建立在歸納公理的基礎(chǔ)上，它可用有限的步驟(兩步)證明出無(wú)限的命題成立.,思考 何為探索性命題？其解題思路是什么？,,答案 探索性命題是試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型， 此類問(wèn)題未給出問(wèn)題結(jié)論，需要由特殊情況入手，猜想、證明一般結(jié)論的問(wèn)題稱為探求規(guī)律性問(wèn)題， 它的解題思想是：從給出的條件出發(fā)，通過(guò)觀察、試驗(yàn)、歸納、猜想，探索出結(jié)論，然后再對(duì)歸納、猜想的結(jié)論進(jìn)行證明.,返回,答案,題型探究 重點(diǎn)突破,題型一 合情推理及應(yīng)用,,解析答案,反思與感悟,例1 觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10等于( ) A.28 B.76 C.123 D.199,,反思與感悟,答案 C,解析 記an＋bn＝f(n)， 則f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7； f(5)＝f(3)＋f(4)＝11. 通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)， 則f(6)＝f(4)＋f(5)＝18； f(7)＝f(5)＋f(6)＝29； f(8)＝f(6)＋f(7)＝47； f(9)＝f(7)＋f(8)＝76； f(10)＝f(8)＋f(9)＝123. 所以a10＋b10＝123.,,反思與感悟,歸納推理和類比推理是常用的合情推理，兩種推理的結(jié)論“合情”但不一定“合理”，其正確性都有待嚴(yán)格證明.盡管如此，合情推理在探索新知識(shí)方面有著極其重要的作用. 運(yùn)用合情推理時(shí)，要認(rèn)識(shí)到觀察、歸納、類比、猜想、證明是相互聯(lián)系的.在解決問(wèn)題時(shí)，可以先從觀察入手，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的特點(diǎn)，形成解決問(wèn)題的初步思路，然后用歸納、類比的方法進(jìn)行探索、猜想，最后用邏輯推理方法進(jìn)行驗(yàn)證.,跟蹤訓(xùn)練1 自然數(shù)按下表的規(guī)律排列,,解析答案,則上起第2 014行，左起第2 015列的數(shù)為( ) A.2 0142 B.2 0152 C.2 0132 014 D.2 0142 015,解析 經(jīng)觀察可得這個(gè)自然數(shù)表的排列特點(diǎn)： ①第一列的每個(gè)數(shù)都是完全平方數(shù)，并且恰好等于它所在行數(shù)的平方， 即第n行的第1個(gè)數(shù)為n2； ②第一行第n個(gè)數(shù)為(n－1)2＋1； ③第n行從第1個(gè)數(shù)至第n個(gè)數(shù)依次遞減1； ④第n列從第1個(gè)數(shù)至第n個(gè)數(shù)依次遞增1. 故上起第2 014行，左起第2 015列的數(shù)，應(yīng)是第2 015列的第2 014個(gè)數(shù)， 即為[(2 015－1)2＋1]＋2 013＝2 0142 015.,答案 D,題型二 直接證明與間接證明,,解析答案,反思與感悟,,解析答案,∵a＞b＞0，,反思與感悟,,反思與感悟,,直接證明方法可具體分為比較法、代換法、放縮法、判別式法、構(gòu)造函數(shù)法等，應(yīng)用綜合法證明問(wèn)題時(shí)，必須首先想到從哪里開(kāi)始起步，分析法就可以幫助我們克服這種困難，在實(shí)際證明問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)把分析法和綜合法結(jié)合起來(lái)使用.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練2 已知等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＞0，公差d＞0.,解 ∵{an}是等差數(shù)列，a1＝1，d＝2， ∴a4＝7，am＝2m－1.,即2m－1＝49.∴m＝25.,,解析答案,又∵a1＞0，d＞0，∴an＋1＝a1＋nd＞d，,因此假設(shè)不成立，故命題得證.,題型三 數(shù)學(xué)歸納法及應(yīng)用,,解析答案,反思與感悟,例3 已知ai＞0(i＝1,2，…，n)，考察：,歸納出對(duì)a1，a2，…，an都成立的類似不等式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.,,解析答案,反思與感悟,證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，顯然成立. ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，不等式成立，,當(dāng)n＝k＋1時(shí)，,,反思與感悟,≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 由①②可知，不等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立.,,數(shù)學(xué)歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎(chǔ)保證，即通過(guò)驗(yàn)證落實(shí)傳遞的起點(diǎn)，這個(gè)基礎(chǔ)必須真實(shí)可靠； 它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證，兩步合在一起為完全歸納步驟，這兩步缺一不可，第二步中證明“當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論正確”的過(guò)程中，必須用“歸納假設(shè)”，否則就是錯(cuò)誤的.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練3 數(shù)列{an}滿足Sn＝2n－an(n∈N*). (1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式an；,,,解析答案,(2)證明(1)中的猜想.,,解析答案,證明 ①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，結(jié)論成立. ②假設(shè)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)，結(jié)論成立，,那么n＝k＋1時(shí)， ak＋1＝Sk＋1－Sk ＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak ＝2＋ak－ak＋1， ∴2ak＋1＝2＋ak.,所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立.,,解析答案,應(yīng)用反證法證明問(wèn)題時(shí)，因?qū)Y(jié)論否定不正確致誤,例4 已知x，y∈R，且x2＋y2＝0，求證x，y全為0.,返回,,易錯(cuò)易混,防范措施,,錯(cuò)解 假設(shè)結(jié)論不成立，則x，y全不為0，即x≠0且y≠0， ∴x2＋y2＞0，與x2＋y2＝0矛盾， 故x，y全為0. 錯(cuò)因分析 x，y全為0的否定應(yīng)為x，y不全為0，即至少有一個(gè)不是0，得x2＋y2＞0與已知矛盾. 正解 假設(shè)x，y不全為0，則有以下三種可能： ①x＝0，y≠0，得x2＋y2＞0，與x2＋y2＝0矛盾； ②x≠0，y＝0，得x2＋y2＞0, 與x2＋y2＝0矛盾； ③x≠0，y≠0，得x2＋y2＞0，與x2＋y2＝0矛盾. ∴假設(shè)是錯(cuò)誤的， ∴x，y全為0.,防范措施,,,應(yīng)用反證法證明問(wèn)題時(shí)，首先要否定結(jié)論，假設(shè)結(jié)論的反面成立，當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時(shí)，需羅列出各種可能情形，否定一定要徹底.,返回,防范措施,,當(dāng)堂檢測(cè),1,2,3,4,5,1.下列推理正確的是( ) A.把a(bǔ)(b＋c)與loga(x＋y)類比，則loga(x＋y)＝logax＋logay B.把a(bǔ)(b＋c)與sin(x＋y)類比，則sin(x＋y)＝sin x＋sin y C.把(ab)n與(x＋y)n類比，則(x＋y)n＝xn＋yn D.把(a＋b)＋c與(xy)z類比，則(xy)z＝x(yz),D,答案,1,2,3,4,5,,2.在△ABC中，若sin Asin C＞cos Acos C，則△ABC一定是( ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定,D,解析答案,解析 由sin Asin C＞cos Acos C， 得cos(A＋C)＜0， 即cos B＞0, 所以B為銳角，但并不能確定角A和C的情況，故選D.,1,2,3,4,5,,可得分子均為1，分母為連續(xù)相鄰的兩個(gè)偶數(shù)的乘積.,解析答案,1,2,3,4,5,,解析答案,4.如圖是由花盆擺成的圖案，根據(jù)圖中花盆擺放的規(guī)律，第n個(gè)圖形中的花盆數(shù)an＝__________.,1,2,3,4,5,解析 觀察知每一個(gè)圖案中間一行的花盆數(shù)為1,3,5，…， 其中第n個(gè)圖案中間一行的花盆數(shù)為2n－1， 往上一側(cè)花盆數(shù)依次是2n－2,2n－3，…，,答案 3n2－3n＋1,1,2,3,4,5,,解析答案,(1)求f2(x)，f3(x)；,1,2,3,4,5,,解析答案,(2)猜想fn(x)的表達(dá)式，并證明.,1,2,3,4,5,,解析答案,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，命題顯然成立；,1,2,3,4,5,這就是說(shuō)當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立.,,課堂小結(jié),,返回,轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學(xué)最基本的思想方法，數(shù)學(xué)中一切問(wèn)題的解決都離不開(kāi)轉(zhuǎn)化與化歸，轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學(xué)思想方法的靈魂. 在本章中，合情推理與演繹推理體現(xiàn)的是一般與特殊的轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)的是一般與特殊、有限與無(wú)限的轉(zhuǎn)化，反證法體現(xiàn)的是對(duì)立與統(tǒng)一的轉(zhuǎn)化. 從特殊到一般的思想方法即由特殊情況入手，通過(guò)觀察、試驗(yàn)、歸納、猜想，探索出結(jié)論，然后再對(duì)歸納、猜想的結(jié)論進(jìn)行證明. 與正整數(shù)n有關(guān)的命題，經(jīng)常要用到歸納猜想，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明，這體現(xiàn)了從特殊到一般的探求規(guī)律的思想.,