高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法課件 理 新人教A版.ppt

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(理)第7節(jié) 立體幾何中的向量方法,Ⅰ.理解直線的方向向量與平面的法向量． Ⅱ.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系． Ⅲ.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理)． Ⅳ.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，了解向量方法在研究立體幾何中的應(yīng)用． Ⅴ.能用向量法解決空間的距離問(wèn)題．,,,整合主干知識(shí),1．用向量證明空間中的平行或垂直 (1)直線的方向向量：直線的方向向量就是指和這條直線所對(duì)應(yīng)向量____(或共線)的向量，顯然一條直線的方向向量有____個(gè)． (2)若直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量，顯然一個(gè)平面的法向量也有____個(gè)，它們是____向量．,平行,無(wú)數(shù),無(wú)數(shù),共線,質(zhì)疑探究：在求平面法向量時(shí)，所列方程組中有三個(gè)變量，但只有兩個(gè)方程，如何處理？ 提示：給其中某一變量恰當(dāng)賦值，求出該方程組的一組非零解，即可以作為平面法向量的坐標(biāo)．,(3)用向量證明空間中的平行關(guān)系 ①設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2. ②設(shè)直線l的方向向量為v，與平面α共面的兩個(gè)不共線向量v1和v2，則l∥α或l?α?存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y使v＝xv1＋yv2. ③設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l?α?v⊥u. ④設(shè)平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β?u1∥u2.,(4)用向量證明空間中的垂直關(guān)系 ①設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?v1⊥v2?v1v2＝0. ②設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α?v∥u. ③設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?u1⊥u2?u1u2＝0.,2．用向量計(jì)算空間角和距離 空間向量與空間角的關(guān)系 (1)設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2所成的角θ滿足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|. (2)設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，則直線l與平面α所成角θ滿足sin θ＝|cos〈m1，m2〉|.,②如圖②③，n1，n2分別是二面角αlβ的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足cos θ＝cos〈n1，n2〉或π－cos〈n1，n2〉．,,,1．(2015西安模擬)若直線l的方向向量為a＝(1，－1,2)，平面α的法向量為u＝(－2,2，－4)，則( ) A．l∥α B．l⊥α C．l?α D．l與α斜交 解析：因?yàn)橹本€l的方向向量a＝(1，－1,2)與平面α的法向量u＝(－2,2，－4)共線，則說(shuō)明了直線與平面垂直，故選B. 答案：B,2．設(shè)平面α的法向量為(1,2，－2)，平面β的法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k等于( ) A．2 B．－4 C．4 D．－2 答案：C,3．如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線NO、AM的位置關(guān)系是( ) A．平行 B．相交 C．異面垂直 D．異面不垂直,,答案：C,,4．長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為_(kāi)_______．,,答案：①②③,,聚集熱點(diǎn)題型,[典例賞析1] (2015湖北省八校聯(lián)考)如圖，直三棱柱ABCA′B′C′的側(cè)棱長(zhǎng)為3，AB⊥BC，且AB＝BC＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝BF. (1)求證：無(wú)論E在何處，總有B′C⊥C′E；,用向量證明垂直或求異面直線所成的角,,(2)當(dāng)三棱錐BEB′F的體積取得最大值時(shí)，求異面直線A′F與AC所成角的余弦值． [思路索引](1)借助于線面關(guān)系證明B′C⊥面ABC′，從而可證B′C⊥C′E.當(dāng)VBEB′F為最大值確定E(F)的位置，解三角形求角的余弦值． (2)以B為原點(diǎn)建系，用向量求解．,[解析] (法一)(1)證明：由題意知，四邊形BB′C′C是正方形，連接AC′，BC′，則B′C⊥BC′. 又AB⊥BC，BB′⊥AB， ∴AB⊥平面BB′C′C. ∴B′C⊥AB，∴B′C⊥平面ABC′. 又C′E?平面ABC′，∴B′C⊥C′E.,,,,[變式訓(xùn)練] 1．(2014鄭州第一次質(zhì)檢)如圖，正方形ADEF和等腰梯形ABCD垂直，已知BC＝2AD＝4，∠ABC＝60，BF⊥AC. (1)求證：AC⊥平面ABF； (2)求異面直線BE與AC所成的角的余弦值．,,,[典例賞析2],用向量證明平行或求二面角,,(1)證明：PQ∥平面BCD； (2)若二面角CBMD的大小為60，求∠BDC的大?。?[思路索引]立體幾何題目一般有兩種思路：傳統(tǒng)法和向量法．傳統(tǒng)法是借助立體幾何中的相關(guān)定義、定理，通過(guò)邏輯推理證明來(lái)完成．(1)要證明線面平行，根據(jù)判定定理可通過(guò)證明線線平行來(lái)實(shí)現(xiàn)；(2)求二面角要先找到或作出二面角的平面角，再通過(guò)解三角形求解．向量法則是通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)的坐標(biāo)，利用向量的計(jì)算完成證明或求解．直線一般求其方向向量，平面一般求其法向量．(1)只要說(shuō)明直線的方向向量與對(duì)應(yīng)平面的法向量垂直即可；(2)二面角的大小即為兩個(gè)平面的法向量的夾角或其補(bǔ)角．,,圖(1),(2)解：如圖(1)，作CG⊥BD于點(diǎn)G，作GH⊥BM于點(diǎn)H，連接CH. 因?yàn)锳D⊥平面BCD，CG?平面BCD，所以AD⊥CG. 又CG⊥BD，AD∩BD＝D，故CG⊥平面ABD. 又BM?平面ABD，所以CG⊥BM. 又GH⊥BM，CG∩GH＝G，故BM⊥平面CGH， 所以GH⊥BM，CH⊥BM. 所以∠CHG為二面角CBMD的平面角，,,圖(2),[拓展提高] 本題方法一采用了傳統(tǒng)法，在第二問(wèn)中要作出CBMD的平面角，這里采用了棱BM的垂面(面CGH)法，作、證、算于一體．二面角的做法一直是個(gè)難點(diǎn)，不如建系用向量方法求簡(jiǎn)單，如方法二．,,[變式訓(xùn)練] 2．(2014四川高考)三棱錐ABCD及其側(cè)視圖、俯視圖如圖所示．設(shè)M，N分別為線段AD，AB的中點(diǎn)，P為線段BC上的點(diǎn)，且MN⊥NP.,,(1)證明：P是線段BC的中點(diǎn)； (2)求二面角ANPM的余弦值． (1)證明：如圖所示，取BD的中點(diǎn)O，連接AO，CO. 由側(cè)視圖及俯視圖知，△ABD，△BCD為正三角形， 所以AO⊥BD，OC⊥BD. 因?yàn)锳O，OC?平面AOC，且AO∩OC＝O， 所以BD⊥平面AOC.,,又因?yàn)锳C?平面AOC，所以BD⊥AC. 取BO的中點(diǎn)H，連接NH，PH. 又M，N，H分別為線段AD，AB，BO的中點(diǎn)，所以MN∥BD，NH∥AO， 因?yàn)锳O⊥BD，所以NH⊥BD. 因?yàn)镸N⊥NP，所以NP⊥BD. 因?yàn)镹H，NP?平面NHP，且NH∩NP＝N，所以BD⊥平面NHP.,又因?yàn)镠P?平面NHP，所以BD⊥HP. 又OC⊥BD，HP?平面BCD，OC?平面BCD，所以HP∥OC. 因?yàn)镠為BO的中點(diǎn)，所以P為BC的中點(diǎn)． (2)解：方法一：如圖所示，作NQ⊥AC于Q，連接MQ.,,,[典例賞析3] (2014福建高考)在平面四邊形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖所示．,用向量求線面角,(1)求證：AB⊥CD； (2)若M為AD中點(diǎn)，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值．,[思路索引](1)轉(zhuǎn)化為證明AB⊥平面BCD；(2)利用坐標(biāo)法． [解析] (1)證明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB?平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD. 又CD?平面BCD，∴AB⊥CD.,(2)解：過(guò)點(diǎn)B在平面BCD內(nèi)作BE⊥BD. 由(1)知AB⊥平面BCD，BE?平面BCD，BD?平面BCD， ∴AB⊥BE，AB⊥BD.,[變式訓(xùn)練] 3．(2015東北三校模擬)如圖，四棱錐PABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2AD，AD⊥DC，∠BCD＝45. (1)設(shè)PD中點(diǎn)為M，求證：AM∥平面PBC； (2)求PA與平面PBC所成角的正弦值．,,,[典例賞析4],用向量求空間距離,,[思路索引]借助面SAC⊥面ABC，建立坐標(biāo)系，求面MNC的法向量，再求距離． [解析] 取AC的中點(diǎn)O，連接OS、OB ∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO. ∵平面SAC⊥平面ABC， 平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥平面ABC， 又∵BO?平面ABC，∴SO⊥BO.,,[變式訓(xùn)練] 4．(2015天津南開(kāi)調(diào)研)在直三棱柱中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中點(diǎn)． (1)求證：B1C∥平面A1BD； (2)求點(diǎn)B1到平面A1BD的距離．,,,[備課札記](méi) ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________,,提升學(xué)科素養(yǎng),(理)向量法求空間角,,如圖，已知在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝1，直線BD與平面AA1B1B所成的角為30，AE垂直BD于點(diǎn)E，F(xiàn)為A1B1的中點(diǎn)． (1)求異面直線AE與BF所成角的余弦值； (2)求平面BDF與平面AA1B所成二面角(銳角)的余弦值.,,[審題視角] (1)研究的幾何體為長(zhǎng)方體，AB＝2，AA1＝1. (2)所求的是異面直線所成的角和二面角． (3)可考慮用空間向量法求解．,,[規(guī)范解答] (1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)．,[答題模板] 利用向量求空間角的步驟： 第一步：建立空間直角坐標(biāo)系． 第二步：確定點(diǎn)的坐標(biāo)． 第三步：求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標(biāo)． 第四步：計(jì)算向量的夾角(或函數(shù)值)． 第五步：將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間角． 第六步：反思回顧．查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范．,[溫馨提醒] (1)利用向量求角是高考的熱點(diǎn)，幾乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用．,,(2)本題易錯(cuò)點(diǎn)是在建立坐標(biāo)系時(shí)不能明確指出坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸，導(dǎo)致建系不規(guī)范． (3)將向量的夾角轉(zhuǎn)化成空間角時(shí)，要注意根據(jù)角的概念和圖形特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，否則易錯(cuò)．,,,1．一種思想 用向量法解決立體幾何問(wèn)題，是空間向量的一個(gè)具體應(yīng)用，體現(xiàn)了向量的工具性，這種方法可把復(fù)雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想．,2．一點(diǎn)注意 利用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，當(dāng)求出兩半平面α、β的法向量n1，n2時(shí)，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補(bǔ)，這是利用向量求二面角的難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)．,