2019年高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何3.1.3空間向量基本定理3.1.4空間向量的坐標表示學(xué)案蘇教版選修2-1.doc

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2019年高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何3.1.3空間向量基本定理3.1.4空間向量的坐標表示學(xué)案蘇教版選修2-1 [學(xué)習目標]　1.了解空間向量基本定理及其意義.2.掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.3.掌握空間向量線性運算的坐標運算． 知識點一　空間向量基本定理 (1)定理 如果三個向量e1，e2，e3不共面，那么對空間任一向量p，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3. (2)基底與基向量 如果三個向量e1，e2，e3不共面，那么空間的每一個向量都可由向量e1，e2，e3線性表示．我們把{e1，e2，e3}稱為空間的一個基底，e1，e2，e3叫做基向量．空間任何三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底． (3)正交基底與單位正交基底 如果空間一個基底的三個基向量是兩兩互相垂直，那么這個基底叫做正交基底，當一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱這個基底為單位正交基底，通常用{i，j，k}表示． (4)推論 設(shè)O，A，B，C是不共面的四點，則對空間任意一點P，都存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得＝x＋y＋z. 知識點二　空間向量的坐標表示 空間直角坐標系Oxyz中，i，j，k分別為x，y，z軸方向上的單位向量，對于空間任意一個向量a，若有a＝xi＋yj＋zk，則有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫向量a在空間直角坐標系中的坐標． 特別地，若A(x，y，z)，則向量的坐標為(x，y，z)． 知識點三　坐標運算 設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 則a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)； a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)； λa＝(λa1，λa2，λa3) (λ∈R)． a∥b(a≠0)?b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3 (λ∈R)． 思考　(1)空間向量的坐標運算與平面向量的坐標運算表達形式上有什么不同？ (2)已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，且b1b2b3≠0，類比平面向量平行的坐標表示，可得到什么結(jié)論？ 答案　(1)空間向量的坐標運算多3個豎坐標． (2)a∥b?＝＝. 題型一　空間向量的基底 例1　已知{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，試判斷{，，}能否作為空間的一個基底． 解　假設(shè)，，共面． 則存在實λ，μ使得＝λ＋μ， ∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3) ＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3， ∵e1，e2，e3不共面， ∴此方程組無解， ∴，，不共面， ∴{，，}可以作為空間的一個基底． 反思與感悟　空間向量有無數(shù)個基底．判斷給出的某一向量組中的三個向量能否作為基底，關(guān)鍵是要判斷它們是否共面，如果從正面難以入手，常用反證法或是一些常見的幾何圖形幫助我們進行判斷． 跟蹤訓(xùn)練1　已知點O，A，B，C為空間不共面的四點，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，則與a，b不能構(gòu)成空間基底的向量是________．(填序號) ① ② ③ ④或 答案?、? 解析　∵＝a－b且a，b不共線， ∴a，b，共面，∴與a，b不能構(gòu)成一組空間基底． 題型二　用基底表示向量 例2　如圖，四棱錐POABC的底面為一矩形，PO⊥平面OABC，設(shè)＝a，＝b，＝c，E，F(xiàn)分別是PC和PB的中點，試用a，b，c表示，，，. 解　連結(jié)BO，則＝ ＝(＋)＝(c－b－a) ＝－a－b＋c. ＝＋＝－a＋＝－a＋(＋) ＝－a－b＋c. ＝＋＝＋＋(＋) ＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c. ＝＝＝a. 反思與感悟　(1)空間中的任一向量均可用一組不共面的向量來表示，只要基底選定，這一向量用基底表達的形式是惟一的； (2)用基底來表示空間中的向量是向量解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵，解題時注意三角形法則或平行四邊形法則的應(yīng)用． 跟蹤訓(xùn)練2　如圖所示，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1，設(shè)＝a，＝b，＝c，P是CA1的中點，M是CD1的中點．用基底{a，b，c}表示以下向量： (1)；(2). 解　如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中連結(jié)AC，AD1， (1)＝(＋) ＝(＋＋) ＝(a＋b＋c)． (2)＝(＋) ＝(＋2＋) ＝a＋b＋c. 題型三　空間向量的坐標表示 例3　已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點，并且PA＝AD＝1，建立適當坐標系，求向量的坐標． 解　以AD，AB，AP所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系如圖所示， 則M(0，，0)，N(，，)．∴＝(，0，)． 反思與感悟　建系時要充分利用圖形的線面垂直關(guān)系，選擇合適的基底，在寫向量的坐標時，考慮圖形的性質(zhì)，充分利用向量的線性運算，將向量用基底表示． 跟蹤訓(xùn)練3　已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點，并且PA＝AD＝1，建立適當坐標系，求向量、的坐標． 解　如圖所示，因為PA＝AD＝AB＝1， 且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB， 所以可設(shè)＝e1，＝e2，＝e3. 以{e1，e2，e3}為基底建立空間直角坐標系A(chǔ)－xyz. 因為＝＋＋＝＋＋ ＝＋＋(＋＋) ＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2) ＝－e1＋e3， 所以＝，＝(0,1,0)． 1．已知A(2,3－μ，－1＋v)關(guān)于x軸的對稱點是A′(λ，7，－6)，則λ，μ，v的值分別為________． 答案　2,10,7 解析　∵A與A′關(guān)于x軸對稱， ∴? 2．與向量m＝(0,1，－2)共線的向量是________．(填序號) ①(2,0，－4) ②(3,6，－12) ③(1,1，－2) ④(0，，－1) 答案?、? 解析　∵(0，，－1)＝m， ∴與m共線的向量是(0，，－1)． 3．已知向量a，b，c是空間的一個基底，下列向量中可以與p＝2a－b，q＝a＋b構(gòu)成空間的另一個基底的是________．(填序號) ①2a； ②－b； ③c； ④a＋c. 答案?、邰? 解析　∵p＝2a－b，q＝a＋b， ∴p與q共面，a、b共面． 而c與a、b不共面， ∴c與p、q可以構(gòu)成另一個基底， 同理a＋c與p、q也可構(gòu)成一組基底． 4.如圖在邊長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，取D點為原點建立空間直角坐標系，O，M分別是AC，DD1的中點，寫出下列向量的坐標.＝________，＝________. 答案　(－2,0,1)　(1,1,2) 解析　∵A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，B1(2,2,2)， ∴＝(0,0,1)－(2,0,0)＝(－2,0,1)，＝(1,1,2)． 5.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，點O為空間任一點，設(shè)＝a，＝b，＝c，則向量用a，b，c表示為________． 答案　a－b＋c 解析　∵＝－2， ∴－＝－2(－)， ∴b－a＝－2(－c)， ∴＝a－b＋c. 1.空間任意三個不共面的向量都可以作為空間向量的一個基底；基底選定后，任一向量可由基底惟一表示． 2．向量的坐標是在單位正交基底下向量的表示．在表示向量時，要結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，充分利用向量的線性運算．