2019-2020年高考數(shù)學(xué) 不等式的證明 有關(guān)高考不等式證明.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 不等式的證明 有關(guān)高考不等式證明 證明不等式的主要方法是: 一、基本方法:比較法,綜合法,分析法 二、其他方法:反證法,放所法,判別式,換元法,函數(shù)法,導(dǎo)數(shù)法,參數(shù)法,構(gòu)造法,數(shù)學(xué)歸納法. 一 比較法(比差法,比商法) u 1.設(shè),求證: 證明:左-右= 2.已知,,求證: 證明:法一:時(shí) 時(shí) 時(shí) 法二: 3.,,求證: 證明: 4.已知,求證: 證明: 二 綜合法 5.設(shè),求證: 證明:法一: 法二: +〕———————————————— 法三: 6.已知,求證: 證明: 同理: +〕———————————————————— 7.設(shè),求證: 證明: +〕—————————— 8.設(shè),求證: 證明:法一: 即 同理: +〕------------------------------------------ 法二: 法三: 9.設(shè),求證: 證明:左 10.設(shè)實(shí)數(shù)滿足,,求證: 證明: ① ② ①“=”成立 ②“=”成立 此時(shí) ∴①②“=”不同時(shí)成立 ∴ 三、分析法 11.已知,求證: 證明: 12.設(shè),,求證: 證明: 成立 13.已知,且,求證: 1) 2) 證明:1) ④ ③ ② ① 成立 ∴①②③④ 即 2) ∵ ∴原不等式等價(jià)于證明 成立 只需證 ∵ ∴ 14.已知 ,求證: 證明: 四、反證法 15.已知,,,求證:,,中至少有一個(gè)小于等于. 證明:假設(shè) 則有 〔*〕 又∵ 與〔*〕矛盾 16.設(shè)都是小于1的正數(shù),求證: 這四個(gè)數(shù)不可能都大于1. 證明:同15題 17.設(shè),求證: 證明:假設(shè) 與矛盾 ∴ 18.設(shè),,求證: 證明:假設(shè) 則 而與矛盾. ∴ 五、放縮法 19.,求證: 證明: +〕—————————————— 20.設(shè),,求證: 證明: 21.求證: 證明: ① ② ③ ①②③得 22.設(shè),求證: 證明: 六 換元法 23.已知,求證: 證明:,設(shè) 24.已知,求證: 證明: 令 25.已知,,求證: 證明: 26.求證: 證明:設(shè) 27.已知,且,求證: 證明:設(shè) ∴ 28.設(shè),且,求證: 證明:設(shè) 29.已知,求證: 證明:令 +〕 原不等式 法一: 法二: 30.已知,且,求證: 證明:∵ ∴ 設(shè) 解得 ∴ 31.,求證: 證明:令 左 七、函數(shù)法 32.設(shè),,求證: 證明:令 ∴ 33.求證 證明:令 34.,求證: 證明:令 a) 當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù) b) 當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù) c) 當(dāng)時(shí), 35.設(shè),且,求證: 證明: 36.設(shè),對(duì)任意的正整數(shù),求證: 證明: 37.已知,求證: 證明: 八、參數(shù)法 38.已知,, 求證: 證明: +〕———————————————— ∴ ∴ 39.設(shè),且,求證: 證明: 即 +〕———————————————— “=” 40 設(shè),求證: 證明: 即 +〕 ﹙*﹚ 代入﹙*﹚得 41 設(shè),求證:. 證明: +〕 令 得 ∴ 42 設(shè) 且,求證: 證明: +〕 ∵ ∴ 只要令 即 43 若均為銳角,且滿足,求證: 證明:令 ,則 左 左 令 得 九 導(dǎo)數(shù)法 44 已知為正整數(shù) (1)設(shè),證明: (2)設(shè),對(duì)任意,證明:證明:(1) (2) ∴ 當(dāng)時(shí), ∴ 當(dāng)時(shí),在上為增函數(shù) ∴ 當(dāng)時(shí) ∴ 即當(dāng)時(shí), 45 設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),且, (1)證明: (2)證明: (3)若函數(shù),證明:當(dāng),且時(shí), 證明:(1) 的兩根為 即 (2) 時(shí) 為增函數(shù) 時(shí) 為減函數(shù) ∴ ∴ (3) 46 已知函數(shù) (1) 求函數(shù)的最大值. (2) 設(shè),證明. 證明:(1)函數(shù)的定義域?yàn)? 令得 當(dāng) 時(shí), 當(dāng)時(shí), ∴ (2) 由⑴知 得 ∴ ∴ 又 ∴ 47 設(shè)函數(shù) (1)證明 (2)設(shè)為的一個(gè)極值,證明: (3)設(shè)在內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排列為 證明: 證明:(1) (2) 知 ∴ 又 ∴ (3) 設(shè)是的任意正實(shí)數(shù)根.即 則存在一個(gè)非負(fù)整數(shù),使 即在第Ⅱ或第Ⅳ象限. x 的符號(hào) K為奇數(shù) – 0 + K為偶數(shù) + 0 – ∴ 滿足的正根都為的極值點(diǎn) 由題設(shè)條件為方程的全部正實(shí)根且滿足 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 在第Ⅱ象限即 綜上 48 已知函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)是增函數(shù) (1) 求實(shí)數(shù)a的取值范圍. (2) 若數(shù)列滿足 證明:. 解:(1) 在上為增函數(shù) ∴ 在上恒成立 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ (2)當(dāng)時(shí), 設(shè)時(shí), 當(dāng)時(shí), 記 當(dāng)時(shí) 在上為增函數(shù) 又∵ ∴ ∴ ∴ 綜上 即 ∴ 十 構(gòu)造法 49 已知 , 求證 證明:設(shè) 左= 其中為以1為邊長的正方形OBCA 內(nèi)任一點(diǎn) 圖像沒有畫 50 已知,求證 證明: 構(gòu)造一個(gè)三棱錐A-BCD,使 圖像沒有畫 在中,BC+CD>BD 51 求證 證明: ∴ 是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 又 ,故該方程有兩個(gè)大于c的不等實(shí)根 設(shè) 解得 52 設(shè),且, 求證. 證明:構(gòu)造輔助命題:若則 令 ∵ ∴ 左邊 53 求證: 證明: ∵ ∴在上為增函數(shù) ∴ 54 已知 為實(shí)數(shù),求證 證明: 55 已知,求證: 證明: 56 求證: 證明: 設(shè) 十一 數(shù)學(xué)歸納法 57 已知正項(xiàng)數(shù)列{}滿足 求證: 證明:①當(dāng)時(shí), ②設(shè)時(shí),不等式成立有 ;那么當(dāng)時(shí), 即 時(shí),命題正確 ∴ 由①②得 58 設(shè)且,求證: 證明:①當(dāng)時(shí),左右 當(dāng)時(shí), ∴當(dāng)時(shí) 命題成立 ②設(shè)時(shí)命題成立 有 當(dāng)時(shí),不失一般性,設(shè) 即 ∴ ∵ ∴ ∴ 即時(shí),命題成立. 59 數(shù)列{}由下列條件決定: (1) 證明:對(duì) 總有 (2) 證明:對(duì) 總有 證明:(1)先證 ①當(dāng)時(shí),有 ②設(shè)時(shí),有 當(dāng)時(shí),成立 由①②得 ∴ 對(duì) 總有 (2) ∴ 對(duì) 總有 60 數(shù)列滿足 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明 (2)已知不等式對(duì)成立.證明: 證明:(1) ① 當(dāng)時(shí),不等式成立 ② 設(shè)時(shí),不等式成立 有 不等式成立 由①②得 時(shí) (2) 即 ∴ 61 設(shè)函數(shù) (1)求的最小值 (2) 設(shè)正數(shù)滿足證明: . 證明:(1) 令 得 當(dāng)時(shí),,此時(shí)為減函數(shù) 當(dāng)時(shí),,此時(shí)為增函數(shù) ∴ (2)法一:用數(shù)學(xué)歸納法證明 ①當(dāng)n=1時(shí),由(1)知命題成立 ②設(shè)n=k時(shí)命題成立,有 當(dāng)n=k+1時(shí),時(shí),滿足 令則有 由歸納假設(shè)知 ① 同理: ② ①+②得: 即 n=k+1時(shí)命題成立 法二:先證不等式: 構(gòu)造函數(shù) (常數(shù)) 由(1)知:當(dāng) 即時(shí), ∴ 對(duì)都有 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明命題成立 ① 當(dāng)n=1時(shí),命題成立 ② 設(shè)n=k時(shí),命題成立.即若正數(shù) 滿足 有 當(dāng)n=k+1時(shí) 令 ∵ 由歸納假設(shè)得: ∴ 即 n=k+1時(shí)命題成立. 附錄 △中的不等式 1 設(shè)的三邊為,求證: 證明: 2 的三邊為,求證: 證明: 3 的三邊為,求證: 證明: 4 在銳角中,求證 證明: 5 在中,已知的面積為,外接圓半徑為,三邊長為求證 證明: 又 即 同理: ∴ “=” 若 矛盾 ∴ 等式不成立 ∴ 6 已知的三邊長為的三邊為,面積為 求證: 證明: ① +) ①成立- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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