2019-2020年高三上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)理科試題.doc

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2019-2020年高三上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)理科試題 高三數(shù)學(xué)（理科） xx.1 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項． 1．已知集合，，則（ ） （A）（B）（C）（D） 【答案】D 【解析】，所以，即，選D. 2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的對應(yīng)點位于（ ） （A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 【答案】B 【解析】,，對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，所以在第二象限，選B. 3．在極坐標(biāo)系中，已知點，則過點且平行于極軸的直線的方程是（ ） （A）（B）（C）（D） 【答案】A 【解析】先將極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)表示， 轉(zhuǎn)化為點，即，過點且平行于軸的直線為，在化為極坐標(biāo) 為，選A. 4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖．若輸出， 則框圖中 ① 處可以填入（ ） （A）（B）（C）（D） 【答案】C 【解析】第一次循環(huán)，滿足條件，;第二次循環(huán)，滿足條件，;第三次循環(huán)，滿足條件，;第四次循環(huán)，不滿足條件，輸出，此時，所以條件應(yīng)為，選C. 5．已知函數(shù)，其中為常數(shù)．那么“”是“為奇函數(shù)”的（ ） （A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】若，則為奇函數(shù)。若為奇函數(shù)，則有，即，所以是為奇函數(shù)的充分必要條件，選C. 6．已知是正數(shù)，且滿足．那么的取值范圍是（ ） （A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】原不等式組等價為，做出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖陰影部分，，表示區(qū)域內(nèi)的動點到原點距離的平方，由圖象可知當(dāng)在D點時，最大，此時，原點到直線的距離最小，即，所以，即的取值范圍是，選B. 7．某四面體的三視圖如圖所示．該四面體的六條棱的長度中，最大的是（ ） （A）（B）（C）（D） 【答案】C 【解析】由三視圖可知該四面體為,其中,,,.所以六條棱中，最大的為或者.,所以，此時。,所以，所以棱長最大的為，選C. 8．將正整數(shù)隨機(jī)分成兩組，使得每組至少有一個數(shù)，則兩組中各數(shù)之和相等的概率是（ ） （A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】將正整數(shù)隨機(jī)分成兩組，使得每組至少有一個數(shù)則有種，因為，所以要使兩組中各數(shù)之和相，則有各組數(shù)字之和為14.則有；；；；；；；共8種，所以兩組中各數(shù)之和相等的概率是，選B. 第Ⅱ卷（非選擇題 共110分） 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分． 9. 已知向量，，.若向量與向量共線，則實數(shù) _____． 【答案】 【解析】，因為向量與向量共線，所以，解得。 10．如圖，△中，，，．以為直徑的圓交于點，則 ；______． 【答案】， 【解析】因為，所以，又為直徑，所以。所以，即。，所以。 11．設(shè)等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為．若，，，則______． 【答案】6 【解析】設(shè)公比為，因為，所以，則，所以，又，即，所以。 12．已知橢圓 的兩個焦點是，，點在該橢圓上．若，則△的面積是______． 【答案】 【解析】由橢圓的方程可知，且，所以解得，又，所以有，即三角形為直角三角形，所以△的面積。 13．已知函數(shù)，其中．當(dāng)時，的值域是______；若的值域是，則的取值范圍是______． 【答案】， 【解析】若，則，，此時，即的值域是。 若，則，。因為當(dāng)或時，，所以要使的值域是，則有，即，所以，即的取值范圍是。 14．已知函數(shù)的定義域為．若常數(shù)，對，有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．給定下列三個函數(shù)： ①； ②； ③． 其中，具有性質(zhì)的函數(shù)的序號是______． 【答案】①③． 【解析】由題意可知當(dāng)時，恒成立，若對，有。①若，則由得，即，所以，恒成立。所以①具有性質(zhì)P. ②若，由得，整理，所以不存在常數(shù)，對，有成立，所以②不具有性質(zhì)P。③若，則由得由，整理得，所以當(dāng)只要，則成立，所以③具有性質(zhì)P，所以具有性質(zhì)的函數(shù)的序號是①③。 三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟． 15．（本小題滿分13分） 在△中，已知． （Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若，，求△的面積． 16．（本小題滿分14分） 如圖，四棱錐中，底面為正方形，，平面， 為棱的中點． （Ⅰ）求證：// 平面； （Ⅱ）求證：平面平面； （Ⅲ）求二面角的余弦值． 17．（本小題滿分13分） 生產(chǎn)A，B兩種元件，其質(zhì)量按測試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于為正品，小于為次品．現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種元件各件進(jìn)行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計如下： 測試指標(biāo) 元件A 元件B （Ⅰ）試分別估計元件A，元件B為正品的概率； （Ⅱ）生產(chǎn)一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品則虧損5元；生產(chǎn)一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品則虧損10元 .在（Ⅰ）的前提下， （ⅰ）記為生產(chǎn)1件元件A和1件元件B所得的總利潤，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望； （ⅱ）求生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤不少于140元的概率． 18．（本小題滿分13分） 已知函數(shù)，其中． （Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）設(shè)．若，使，求的取值范圍． 19．（本小題滿分14分） 如圖，已知拋物線的焦點為．過點的直線交拋物線于， 兩點，直線，分別與拋物線交于點，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）記直線的斜率為，直線的斜率為.證明：為定值． 20．（本小題滿分13分） 如圖，設(shè)是由個實數(shù)組成的行列的數(shù)表，其中表示位于第行第列的實數(shù)，且.記為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合． 對于，記為的第行各數(shù)之積，為的第列各數(shù)之積．令． （Ⅰ）請寫出一個，使得； （Ⅱ）是否存在，使得？說明理由； （Ⅲ）給定正整數(shù)，對于所有的，求的取值集合． 北京市西城區(qū)xx — xx第一學(xué)期期末 高三數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) xx.1 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 1．D； 2．B； 3．A； 4．C； 5．C； 6．B； 7．C； 8．B． 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9．； 10．，； 11．； 12．； 13．，； 14．①③． 注：10、13題第一問2分，第二問3分;14題結(jié)論完全正確才給分. 三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評分標(biāo)準(zhǔn)給分. 15．（本小題滿分13分） （Ⅰ）解法一：因為， 所以 ． ………………3分 因為 ， 所以 ， 從而 ， ………………5分 所以 ． ………………6分 解法二： 依題意得 ， 所以 ， 即 ． ………………3分 因為 ， 所以 ， 所以 ． ………………5分 所以 ． ………………6分 （Ⅱ）解法一：因為 ，， 根據(jù)正弦定理得 ， ………………7分 所以 ． ………………8分 因為 ， ………………9分 所以 ， ………………11分 所以 △的面積． ………………13分 解法二：因為 ，， 根據(jù)正弦定理得 ， ………………7分 所以 ． ………………8分 根據(jù)余弦定理得 ， ………………9分 化簡為 ，解得 ． ………………11分 所以 △的面積． ………………13分 16．（本小題滿分14分） （Ⅰ）證明：連接與相交于點，連結(jié)． 因為四邊形為正方形，所以為中點． 因為 為棱中點． 所以 ． ………………3分 因為 平面，平面， 所以直線//平面． ………………4分 （Ⅱ）證明：因為平面，所以． ………………5分 因為四邊形為正方形，所以， 所以平面． ………………7分 所以平面平面． ………………8分 （Ⅲ）解法一：在平面內(nèi)過作直線． 因為平面平面，所以平面． 由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． …………9分 設(shè)，則． 所以 ，． 設(shè)平面的法向量為，則有 所以 取，得． ………………11分 易知平面的法向量為． ………………12分 所以 ． ………………13分 由圖可知二面角的平面角是鈍角， 所以二面角的余弦值為． ………………14分 解法二：取中點，中點，連結(jié)，． 因為為正方形，所以． 由（Ⅱ）可得平面． 因為，所以． 由兩兩垂直，建立如圖所示 的空間直角坐標(biāo)系． ………………9分 設(shè)，則． 所以 ，． 設(shè)平面的法向量為，則有 所以 取，得． ………………11分 易知平面的法向量為． ………………12分 所以． ………………13分 由圖可知二面角的平面角是鈍角， 所以二面角的余弦值為． ………………14分 17．（本小題滿分13分） （Ⅰ）解：元件A為正品的概率約為． ………………1分 元件B為正品的概率約為． ………………2分 （Ⅱ）解：（?。╇S機(jī)變量的所有取值為． ………………3分 　　??； ； ； ． ………………7分 所以，隨機(jī)變量的分布列為: ………………8分 ． ………………9分 （ⅱ）設(shè)生產(chǎn)的5件元件B中正品有件，則次品有件. 依題意，得 ， 解得 ． 所以 ，或． ………………11分 設(shè)“生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤不少于140元”為事件， 則 ． ………………13分 18.（本小題滿分13分） （Ⅰ）解：① 當(dāng)時，． 故的單調(diào)減區(qū)間為，；無單調(diào)增區(qū)間． ………………1分 ② 當(dāng)時，． ………………3分 令，得，． 和的情況如下： ↘ ↗ ↘ 故的單調(diào)減區(qū)間為，；單調(diào)增區(qū)間為． ………………5分 ③ 當(dāng)時，的定義域為． 因為在上恒成立， 故的單調(diào)減區(qū)間為，，；無單調(diào)增區(qū)間． ………………7分 （Ⅱ）解：因為，， 所以 等價于 ，其中． ………………9分 設(shè)，在區(qū)間上的最大值為．………………11分 則“，使得 ”等價于． 所以，的取值范圍是． ………………13分 19．（本小題滿分14分） （Ⅰ）解：依題意，設(shè)直線的方程為． ………………1分 將其代入，消去，整理得 ． ………………4分 從而． ………………5分 （Ⅱ）證明：設(shè)，． 則 ． ………………7分 設(shè)直線的方程為，將其代入，消去， 整理得 ． ………………9分 所以 ． ………………10分 同理可得 ． ………………11分 故． ………………13分 由（Ⅰ）得 ，為定值． ………………14分 20．（本小題滿分13分） （Ⅰ）解：答案不唯一，如圖所示數(shù)表符合要求． ………………3分 （Ⅱ）解：不存在，使得． ………………4分 證明如下： 假設(shè)存在，使得． 因為， ， 所以，，，，，，，這個數(shù)中有個，個． 令． 一方面，由于這個數(shù)中有個， 個，從而． ① 另一方面，表示數(shù)表中所有元素之積（記這個實數(shù)之積為）；也表示， 從而． ② ①、②相矛盾，從而不存在，使得． ………………8分 （Ⅲ）解：記這個實數(shù)之積為． 一方面，從“行”的角度看，有； 另一方面，從“列”的角度看，有． 從而有． ③ ………………10分 注意到， ． 下面考慮，，，，，，，中的個數(shù)： 由③知，上述個實數(shù)中，的個數(shù)一定為偶數(shù)，該偶數(shù)記為；則的個數(shù)為， 所以． ………………12分 對數(shù)表：，顯然． 將數(shù)表中的由變?yōu)?，得到?shù)表，顯然． 將數(shù)表中的由變?yōu)?，得到?shù)表，顯然． 依此類推，將數(shù)表中的由變?yōu)?，得到?shù)表． 即數(shù)表滿足：，其余． 所以 ，． 所以． 由的任意性知，的取值集合為．……………13分