2019-2020年高考數學 考點21 直線、平面之間的位置關系練習.doc

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2019-2020年高考數學 考點21 直線、平面之間的位置關系練習 1.（xx湖北高考文科Ｔ4）用，，表示三條不同的直線，表示平面，給出下列命題： ①若∥，∥，則∥； ②若⊥，⊥，則⊥； ③若∥，∥，則∥； ④若⊥，⊥，則∥. 其中真命題的序號是（ ） （A）①② （B）②③ （C）①④ （D）③④ 【命題立意】本題主要考查立體幾何中的線線、線面關系，考查考生的邏輯推理和空間想象能力． 【思路點撥】空間中線線平行具有傳遞性，線線垂直不具有傳遞性，線面平行不具有傳遞性. 【規(guī)范解答】選C.由空間直線的平行公理知①正確；⊥，⊥時，與可以平行、相交也可以異面，故②錯；∥，∥時，與可以平行、相交也可以異面，故③錯；由直線與平面垂直的性質定理知④正確. 2.（xx江西高考文科Ｔ１１）如圖，是正方體的棱的中點，給出下列命題 ①過點有且只有一條直線與直線，都相交； ②過點有且只有一條直線與直線，都垂直； ③過點有且只有一個平面與直線，都相交； ④過點有且只有一個平面與直線，都平行. 其中真命題是：（ ） （A）②③④ （B）①③④ （C）①②④ （D）①②③ 【命題立意】本題主要考查空間中線與線的位置關系、線與 面的位置關系，考查空間想象力． 【思路點撥】由線與線、線與面關系定理直接判斷. 【規(guī)范解答】選C.①如圖：設分別為，的中點， 則平面平面,這個交線是唯一的， 且.正確. ②這條唯一成立的直線是,正確；③顯然平面, 平面BDD1B1等與直線，都相交，錯誤;④這樣的唯 一平面是過且與上、下底面都平行的平面，正確.故選C. 3.（xx全國高考卷Ⅰ文科Ｔ6）直三棱柱中，若，，則異面直線與所成的角等于（ ） (A) (B) (C) (D) 【命題立意】本小題主要考查直三棱柱的性質、異面直線所成的角、異面直線所成的角 的求法. 【規(guī)范解答】選C. 如圖：延長到，使得，連結,則為平行四邊形，∴就是異面直線與所成的角，又三角形為等邊三角形， ∴. 【方法技巧】求兩條異面直線所成的角的方法： （1）兩條異面直線所成的角，是借助平面幾何中的角的概念予以定義的，是研究空間兩條直線的基礎. （2）“等角定理”為兩條異面直線所成角的定義提供了可能性與唯一性，過空間任一點，引兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）都是相等的，而與所取點的位置無關. （3）建立空間直角坐標系，利用向量數量積公式：求解. 4.（xx全國高考卷Ⅰ理科Ｔ7）正方體中，與平面所成角的余弦值 為（ ） (A) (B) (C) (D) 【命題立意】本小題主要考查正方體的性質、直線與平面所成的角、點到平面的距離的求法，突出考查學生的空間想象能力和運算能力. 【思路點撥】畫出正方體圖形，利用輔助線并結合正方體的性質，找到線面垂直關系確定與平面所成角. 【規(guī)范解答】選D.設上下底面的中心分別為；如圖：則∥， 與平面所成角就是與平面所成角， . 【方法技巧】求立體幾何中的線面角的方法： （1）定義法：先作出斜線在平面內的射影，則斜線與射影的夾角就是斜線與平面所成的夾角，然后在直角三角形中，求出這個角的某種函數值， 最后求出這個角. （2）公式法：利用公式 （3）向量法： 5.（xx全國高考卷Ⅱ文科Ｔ8）已知三棱錐中，底面為邊長等于的等邊三角形， 垂直于底面，,那么直線與平面所成角的正弦值為（ ） (A) (B) (C) (D) 【命題立意】本題考查線面角的概念及其求法. 【思路點撥】先找到與面垂直的平面，再作出該平面的垂線，找 到直線在平面上的射影，然后作出所求的線面角求解. 【規(guī)范解答】 選D，如圖： 取的中點，連結 ，， 過作，連結,則即所求， ,, 所以,. 【方法技巧】正確作出線面角是解決此類問題的關鍵,作線面角的方法是先找到平面的垂線，可以利用面面垂直的性質，過一個平面內一點向另一平面作交線的垂線，這樣就找到該斜線在平面內的射影，從而找到線面角.在求角的函數值時注意計算要準確. 6.（xx江西高考理科Ｔ１０）過正方體的頂點作直線，使與棱所成的角都相等，這樣的直線可以作( ). (A)1條 (B)2條 (C)3條 (D)4條 【命題立意】本題主要考查空間中線面關系，空間角的概念，考查考生的空間想象能力． 【思路點撥】建立空間想象能力是關鍵. 【規(guī)范解答】選Ｄ．第一類：過點位于三條棱之間的直線有一條體對角線；第二類：在圖形外部和每條棱的外角和另2條棱夾角相等，有3條，合計4條. 故選D. 7.（xx重慶高考文科Ｔ9）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點（ ）. (A)只有1個 (B)恰有3個 （C）恰有4個 （D）有無窮多個 【命題立意】本小題考查異面直線、空間距離等基礎知識，考查空間想象能力，考查推理論證能力，考查數形結合的思想方法. 【思路點撥】把兩條異面直線放在一個幾何模型內，尋找符合題意的點. 【規(guī)范解答】選D.如圖：在正方體 中， 直線與直線是兩條互相垂直的異面直線， 則符合題意的點有正方體的中心，點，點 ，的中點等4個點；進一步思考，在平面中，到點的距離就是到直線的距離，所以問題可以轉化為在平面中，到定點的距離等于到定直線的距離的點的軌跡是拋物線，所以符合題意的點有無數個. 【方法技巧】構造幾何模型——正方體，可以簡捷解答. 8.（xx重慶高考理科Ｔ１0）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內的軌跡是( ). (A)直線 (B)橢圓 (C)拋物線 (D)雙曲線 【命題立意】本小題考查立體幾何中的線線、線面的垂直關系，考查空間想象能力，考查圓錐曲線的定義和標準方程，考查轉化與化歸的思想. 【思路點撥】把空間問題轉化到一個平面上，抓住互相垂直的兩條異面直線的距離是定值，利用空間幾何體模型，建立平面直角坐標系進行推導. 【規(guī)范解答】選D.異面直線，是已知互相垂直的異面直線，以正方體為模型，如圖所示，設，的距離是，，在直角坐標系中，設，那么，所以，所以，點P的軌跡為雙曲線. 【方法技巧】借助于正方體這個模型是解題的關鍵，注意到兩條異面直線之間的距離為定值，尋找等量關系和即可求出軌跡方程. 9.（xx全國高考卷Ⅱ理科Ｔ11）到正方體的三條棱AB,CC1，A1D1所在直線的距離相等的點( ). （A）有且只有1個 （B）有且只有2個 （C）有且只有3個 （D）有無數個 【命題立意】本題考查了空間直線、平面間的距離. 【思路點撥】建立空間直角坐標系，利用距離公式求解. 【規(guī)范解答】 選D，設正方體的棱長為，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，設點，由點分別作的垂線，垂足分別為，則，根據兩點間距離公式，得方程組，顯然時這個方程恒成立，即這個方程組有無窮多組解，故這樣的點有無窮多個. 【方法技巧】利用方程思想求解.方程組中的每個方程都是雙曲拋物面的方程，本題中符合要求的點的集合就是兩個雙曲拋物面的交線.在一些錯誤解答中認為其軌跡為柱面或者是平面是本質性的錯誤.這個題作為選擇題，的目的是考查考生空間想象能力和直覺猜想能力. 10.（xx全國高考卷Ⅱ理科Ｔ9）已知正四棱錐中，，那么當該棱錐的體積最大時，它的高為（ ）. （A）1 （B） （C）2 （D）3 【命題立意】本題考查了立體幾何棱錐的體積計算與導數的運用. 【思路點撥】列出關于棱錐高的函數表達式，利用導數求最大值. 【規(guī)范解答】 選C，如圖：設棱錐的高為,底面邊長為, 則,， ，，令， 得時棱錐的體積最大. 11.（xx江西高考理科Ｔ１６）如圖，在三棱錐中，三條 棱兩兩垂直，且，分別經過三條棱 作一個截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為，則的大小 關系為________________． 【命題立意】本題主要考查棱錐的基本知識，考查空間點線面的位置關系，考查面積和體積的問題，考查兩數大小的比較，考查空間想象力． 【思路點撥】先確定截面的位置，如圖： ∵,∴. 即為底面的高，則, 過棱的截面若要平分三棱錐的體積，只要平分底面即可， 故取的中點,則截面平分三棱錐的體積.過棱的截面同理. 再確定截面面積，最后比較大小. 【規(guī)范解答】依次取的中點，則截面三角形所在平面均平分三棱錐的體積，設，則=，又因為，即，所以，即.同理可得. 【答案】. 【方法技巧】為了便于計算，可取特殊值，如. 12. (xx四川高考理科Ｔ15）如圖，二面角的大小是60，線段.， 與所成的角為30.則與平面所成的角的正弦值是 . 【命題立意】本題考查了空間幾何體的二面角，線面角的求法問題. 【思路點撥】首先作出與平面所成的角，二面角的平面角，然后利用具有已知條件的直角三角形求邊. 【規(guī)范解答】如圖：過點作,垂足為，連結，則就是與平面所成的角. 再過作,垂足為，連結，則就是二面角 的平面角.即，設，在中， ∵,∴， 在，. 在中， 【答案】 【方法技巧】本題主要利用三垂線定理及其逆定理把要求的角作出來再求解. 13.（xx全國卷Ⅰ理科Ｔ19）如圖，四棱錐中，， //，，, ， 為棱上的一點，平面平面. （1）證明：； （2）求二面角的大小 . 【命題立意】“似曾相識燕歸來”. 本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，二面角等基礎知識,考查空間想象能力、推理論證能力和運算能力立體幾何中的兩種主要的處理方法：傳統(tǒng)方法與向量的方法仍處于各自半壁江山的狀況，在這里一定會照顧雙方的利益.學生在備考中也應注意這一點，兩種方法都應重視，不可偏頗. 【思路點撥】本題很常規(guī)，給人感覺很熟悉，尤其給出，底面為直角梯形，，這就為解答提供很大的方便，大部分考生會考慮到用建立空間直角坐標系，運用向量解答.再者，此題與xx年全國高考數學卷Ⅱ第19題，xx全國高考數學卷Ⅰ第18題非常類似，給人似曾相識的感覺，如果考前接觸過這道試題，解決今年的這道考題不會有太大的困難. 【規(guī)范解答】方法一：(1)連結,取的中點,連結,由此知,即 為直角三角形,故,又,故,所以, , . 作,為垂足,因平面平面,故,.與平面內的兩條相交直線，都垂直. ,,,, , ,. 所以, . (2)由,, ,,知 ,又, 故是等腰三角形. 取中點,連結,則,. 連結,則∥,. 所以,是二面角的平面角. 連結,,, .所以,二面角的大小為. 方法二:以 為坐標原點,射線為軸的正半軸,建立如圖所示的直角坐標系. 則, ,,. (1),.設平面的法向量為,由, 得,.故,.令, 則，.又設, 則. ,. 設平面的法向量, 由, 得. 故,.令,則.由平面平面，,,,.故. (2)由(I)知,取中點,則,, 故,由此得.又,故,由此得 ,向量與的夾角等于二面角的平面角. 于是,所以,二面角的大小為. 【方法技巧】求二面角的方法 求二面角的方法 說明 定義法 在棱上任取一點，過這點在兩個平面內分別引棱的垂線，這兩條垂線所成的角即為二面角的平面角 垂面法 利用二面角的棱垂直于二面角所在的平面 三垂線定理 自二面角的一個平面上一點向另一個面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點（即斜足），斜足與面上一點連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為 二面角的平面角. 14. （xx湖北高考文科Ｔ18）如圖，在四面體中，，，且. （1）設為的中點，在上且，證明：； （2）求二面角的平面角的余弦值. 【命題立意】本題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關系以及二面角等，同時考查考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力． 【思路點撥】（1）由三垂線定理，可先在上找一點，使,再證明即可. （2）可利用三垂線法作出二面角的平面角，再解直角三角形即可(也可利用空間向量求解). 【規(guī)范解答】方法一：（1）在平面內過點作交于,連接.在等腰中，120,30, 在 30,,在中120- 90=30，.又, 為的中點.在中，分別為的 中點，.由，知：，又，，由知：. （2）連接.由知：.又平面,.由知：.是在平面內的射影.在等腰直角中，為的中點， .由三垂線定理知：.因此為二面角的平面角.在等腰直角中，,.在中，.在中，. ∴. 方法二: (1)取為坐標原點，分別以所在直線為軸， 軸，建立空間直角坐標系（如圖所示） 則, ∵為的中點，∴. ,又由已知可得, 又,, .故.即. (2)記平面的法向量為，則由且,得，故可取，又平面的法向量為，，二面角的平面角是銳角，記為，則 . 【方法技巧】1.空間中的兩直線異面垂直往往可通過三垂線定理或線面垂直兩個途徑來實現(xiàn)，也可由已有的線線垂直，借用線線平行實現(xiàn)新的線線垂直. 2.求二面角的大小一般有以下五種辦法： ①三垂線法（過其中一個半平面內某點易作出另一個半平面的垂線時最適合用此法）. ②垂面法（有一個平面與二面角的棱垂直時適合用此法）. ③定義法. ④射影面積法（無棱二面角或容易找出一個半平面內的某個圖形在另一個半平面內的射影時適合用此法）. ⑤向量法. 15.（xx上海高考理科Ｔ21）如圖所示，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個全等的矩形骨架，總計耗用9.6米鐵絲，骨架把圓柱底面8等份，再用平方米塑料片制成圓柱的側面和下底面（不安裝上底面）. (1)當圓柱底面半徑取何值時，取得最大值？并求出該最大值（結果精確到0.01平方米）; （2）在燈籠內，以矩形骨架的頂點為點，安裝一些霓虹燈，當燈籠的底面半徑為0.3米時，求圖中兩根直線與所在異面直線所成角的大?。ńY果用反三角函數表示） 【命題立意】本題是個應用題，主要考查學生分析問題、解決問題的能力，涉及函數求最值，立體幾何中求角等問題． 【思路點撥】（1）建立關于的函數，根據函數的性質求最值； （2）按求異面直線所成的角的步驟進行． 【規(guī)范解答】（1）設圓柱形燈籠的高為，則， 所以 所以（1.2-2r） ． 所以，當時S有最大值． 最大值為（平方米） （2）由（1）知時，， 如圖，連接， 易得，且相互平行，所以四邊形為平行四邊形， 所以∥，且，所以為異面直線與所成的角，中可得，，所以；同理可得；在中，，，，由余弦定理, 可得， 所以．異面直線與所成的角為． 【方法技巧】求異面直線所成的角按如下步驟進行: （1）作角：通過作輔助線，作出或找到異面直線所成的角； （2）證明：由異面直線所成的角的定義證明前面所作的角是滿足條件的角； （3）指角：指明前面作（找）的角就是所求的角（這里僅一句話即可）； （4）求角：在三角形中求出這個角的大?。? 16.（xx湖北高考理科Ｔ18）如圖, 在四面體中，, ,120，且. (1) 設為的中點.證明：在上存在一點,使, 并計算的值； (2) 求二面角的平面角的余弦值. 【命題立意】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關系、二面角的求法等，同時考查考生的空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力． 【思路點撥】(1)由,利用三垂線定理在上找一點，使，過作，交上一點即為所求的點.在中即可計算的值. (2)由(Ⅰ)利用三垂線法作出二面角的平面角，再解直角三角形求出二面角的平面角的余弦值.(也可利用空間向量求解) 【規(guī)范解答】方法一:(1)在平面內過點作交于,連接.,., .取為的中點，則. 在等腰中，,, 在,,在中， ,. (2)連接.由知：.又平面,.由知：.是在平面內的射影.在等腰直角中，為的中點， .由三垂線定理知：.因此為二面角的平面角.在等腰直角中，,.在中，.在中，. ∴cos. 方法二: (1)取為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，建立空間直角坐標系（如圖所示） 則, ∵為的中點，∴. 設,且（0，1）， ,=+=,,,,即，，因此存在點,使得. (2)記平面的法向量為，則由且,得，故可取，又平面的法向量為，，二面角的平面角是銳角，記為，則cos=. 【方法技巧】1.空間中的兩直線異面垂直往往可通過三垂線定理或線面垂直兩個途徑來實現(xiàn). 2.求二面角的大小一般有以下四種辦法： ①三垂線法（過其中一個半平面內某點易做出另一個半平面的垂線時最適合用此法）. ②垂面法（有一個平面與二面角的棱垂直時適合用此法）. ③定義法. ④射影面積法（無棱二面角或容易找出一個半平面內的某個圖形在另一個半平面內的射影時適合用此法） 17.（xx全國高考卷Ⅱ理科Ｔ19）如圖，直三棱柱中，，，為的中點，為上的一點，． （1）證明：為異面直線與的公垂線； （2）設異面直線與的夾角為45，求二面角的大?。? 【命題立意】本題考查了立體幾何公垂線概念及二面角概念及其求法. 【思路點撥】（1）由公垂線的定義，需證明； （2）利用面面垂直的性質，先作出二面角的平面角，再解直角三角形. 【規(guī)范解答】（1）如圖：連結,設與的交點為, 因為為正方形，故,且, 又所以 又為的中點，故 設為的中點，連結，由知, 又由底面， 得， 連結，則∥,故 ,由三垂線定理，得. 又DE與異面直線AB1，CD都相交. 所以為異面直線與的公垂線. （2）因為，故為異面直線與的夾角，故. 設則 作 為垂足，因為底面，故. 又作,K 為垂足，連結 ，由三垂線定理，得 因此 ∠ 為二面角A1的平面角. = , 所以二面角的大小為.