2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第19講 用樣本估計(jì)總體及線性相關(guān)關(guān)系教案 新人教版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第19講 用樣本估計(jì)總體及線性相關(guān)關(guān)系教案 新人教版 一．課標(biāo)要求： 1．用樣本估計(jì)總體 ①通過(guò)實(shí)例體會(huì)分布的意義和作用，在表示樣本數(shù)據(jù)的過(guò)程中，學(xué)會(huì)列頻率分布表、畫(huà)頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會(huì)他們各自的特點(diǎn)； ②通過(guò)實(shí)例理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差； ③能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需求合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并作出合理的解釋； ④在解決統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想，會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征；初步體會(huì)樣本頻率分布和數(shù)字特征的隨機(jī)性； ⑤會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想，解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；能通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的分析為合理的決策提供一些依據(jù)，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)的作用，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異； ⑥形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過(guò)程進(jìn)行初步評(píng)價(jià)的意識(shí)。 2．變量的相關(guān)性 ①通過(guò)收集現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系； ②經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個(gè)變量線性相關(guān)的過(guò)程。知道最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。 二．命題走向 “統(tǒng)計(jì)”是在初中“統(tǒng)計(jì)初步”基礎(chǔ)上的深化和擴(kuò)展，本講主要會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布，并會(huì)用樣本的特征來(lái)估計(jì)總體的分布。 預(yù)測(cè)xx年高考對(duì)本講的考察是： 1．以基本題目（中、低檔題）為主，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，以實(shí)際問(wèn)題為背景，綜合考察學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)、應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)、解決實(shí)際問(wèn)題的能力； 2．熱點(diǎn)問(wèn)題是頻率分布直方圖和用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征。 三．要點(diǎn)精講 1．用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 （1）眾數(shù)、中位數(shù) 在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)； 將一組數(shù)據(jù)按照從大到?。ɑ驈男〉酱螅┡帕?，處在中間位置上的一個(gè)數(shù)據(jù)（或中間兩位數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)； （2）平均數(shù)與方差 如果這n個(gè)數(shù)據(jù)是，那么叫做這n個(gè)數(shù)據(jù)平均數(shù)； 如果這n個(gè)數(shù)據(jù)是，那么叫做這n個(gè)數(shù)據(jù)方差；同時(shí) 叫做這n個(gè)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。 2．頻率分布直方圖、折線圖與莖葉圖 樣本中所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率。所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率的分布變化規(guī)律叫做頻率分布，可以用頻率分布直方圖、折線圖、莖葉圖來(lái)表示。 頻率分布直方圖： 具體做法如下： （1）求極差（即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）； （2）決定組距與組數(shù)； （3）將數(shù)據(jù)分組； （4）列頻率分布表； （5）畫(huà)頻率分布直方圖。 注：頻率分布直方圖中小正方形的面積=組距=頻率。 折線圖：連接頻率分布直方圖中小長(zhǎng)方形上端中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖。 總體密度曲線：當(dāng)樣本容量足夠大，分組越多，折線越接近于一條光滑的曲線，此光滑曲線為總體密度曲線。 3．線性回歸 回歸分析：對(duì)于兩個(gè)變量，當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系或回歸關(guān)系。 回歸直線方程：設(shè)x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，且相應(yīng)于n個(gè)觀測(cè)值的n個(gè)點(diǎn)大致分布在某一條直線的附近，就可以認(rèn)為y對(duì)x的回歸函數(shù)的類型為直線型：。其中，。我們稱這個(gè)方程為y對(duì)x的回歸直線方程。 四．典例解析 題型1：數(shù)字特征 例1．為了檢查一批手榴彈的殺傷半徑，抽取了其中20顆做試驗(yàn)，得到這20顆手榴彈的殺傷半徑，并列表如下： (1)在這個(gè)問(wèn)題中，總體、個(gè)體、樣本和樣本容量各是什么？ (2)求出這20顆手榴彈的殺傷半徑的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，并估計(jì)這批手榴彈的平均殺傷半徑． 解析： (1)總體是要檢查的這批手榴彈的殺傷半徑的全體；個(gè)體是每一顆手榴彈的殺傷半徑；樣本是所抽取的20顆手榴彈的殺傷半徑；樣本容量是20。 (2)在20個(gè)數(shù)據(jù)中，10出現(xiàn)了6次，次數(shù)最多，所以眾數(shù)是10（米）。 20個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，第10個(gè)和第11個(gè)數(shù)據(jù)是最中間的兩個(gè)數(shù)，分別為9（米）和10（米），所以中位數(shù)是（9+10）=9.5（米）。 樣本平均數(shù)（米） 所以，估計(jì)這批手榴彈的平均殺傷半徑約為9.4米。 點(diǎn)評(píng)：(1)根據(jù)總體、個(gè)體、樣本、樣本容量的概念答題．要注意：總體、個(gè)體和樣本所說(shuō)的考察對(duì)象是一種數(shù)量指標(biāo)，不能說(shuō)成考察的對(duì)象是手榴彈，而應(yīng)說(shuō)是手榴彈的殺傷半徑。 (2)讀懂表格的意義，利用概念求眾數(shù)、中位數(shù)，用樣本平均數(shù)估計(jì)這批手榴彈的平均殺傷半徑．另外在這里要會(huì)簡(jiǎn)便計(jì)算有多個(gè)重復(fù)數(shù)據(jù)的樣本的平均數(shù)。 例2．為估計(jì)一次性木質(zhì)筷子的用量，xx年從某縣共600家高、中、低檔飯店抽取10家作樣本，這些飯店每天消耗的一次性筷子盒數(shù)分別為： 0.6 3.7 2.2 1.5 2.8 1.7 1.2 2.1 3.2 1.0 (1)通過(guò)對(duì)樣本的計(jì)算，估計(jì)該縣xx年消耗了多少盒一次性筷子（每年按350個(gè)營(yíng)業(yè)日計(jì)算）； (2)xx年又對(duì)該縣一次性木質(zhì)筷子的用量以同樣的方式作了抽樣調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果是10個(gè)樣本飯店，每個(gè)飯店平均每天使用一次性筷子2.42盒．求該縣xx年、xx年這兩年一次性木質(zhì)筷子用量平均每年增長(zhǎng)的百分率（xx年該縣飯店數(shù)、全年?duì)I業(yè)天數(shù)均與xx年相同）； (3)在(2)的條件下，若生產(chǎn)一套學(xué)生桌椅需木材0.07m3，求該縣xx年使用一次性筷子的木材可以生產(chǎn)多少套學(xué)生桌椅。計(jì)算中需用的有關(guān)數(shù)據(jù)為：每盒筷子100雙，每雙筷子的質(zhì)量為5g，所用木材的密度為0.5103kg/m3； (4)假如讓你統(tǒng)計(jì)你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)去做，簡(jiǎn)要地用文字表述出來(lái)。 解析：(1) 所以,該縣xx年消耗一次性筷子為2600350=4xx0（盒）。 (2)設(shè)平均每年增長(zhǎng)的百分率為X，則2（1+X）2=2.42, 解得X1=0.1=10%，X2=－2.1（不合題意，舍去）。 所以,平均每年增長(zhǎng)的百分率為10%； (3)可以生產(chǎn)學(xué)生桌椅套數(shù)為（套）。 (4)先抽取若干個(gè)縣（或市、州）作樣本，再分別從這些縣（或市、州）中抽取若干家飯店作樣本，統(tǒng)計(jì)一次性筷子的用量． 點(diǎn)評(píng)：本題是一道統(tǒng)計(jì)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)很多，需要靈活運(yùn)用各種知識(shí)分析解決問(wèn)題．對(duì)于第(1)小題，可先求得樣本平均數(shù)，再利用樣本估計(jì)總體的思想來(lái)求得問(wèn)題的解．對(duì)于第(2)小題，實(shí)際是一個(gè)增長(zhǎng)率問(wèn)題的應(yīng)用題，可通過(guò)設(shè)未知數(shù)列方程的方法來(lái)解．對(duì)于第(3)小題，用到了物理公式m＝ρv，　體現(xiàn)了各學(xué)科知識(shí)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生觸類旁通，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)能綜合運(yùn)用多種知識(shí)靈活地解決問(wèn)題．第(4)小題只要能夠運(yùn)用隨機(jī)抽樣方法，能體會(huì)到用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想就可解決，在文字表述上要注意簡(jiǎn)潔、明了、正確。 題型2：數(shù)字特征的應(yīng)用 例3．（xx年全國(guó)高考天津文科卷(15)）甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t / hm2） 品種 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是 甲 。 解析：甲 = ( 9.8 + 9.9 + 10.1 + 10 + 10.2) = 10.0，乙 = ( 9.4 + 10.3 + 10.8 + 9.7 + 9.8) = 10.0； s = ( 9.82 + … + 10.22) – 102 = 0.02，s = ( 9.42 + … + 9.82) – 102 = 0.244 > 0.02 。 點(diǎn)評(píng)：方差與平均數(shù)在反映樣本的特征上一定要區(qū)分開(kāi)。 例4．（xx江蘇7）在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下： 9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7 去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為 （A）9.4, 0.484 （B）9.4, 0.016 （C）9.5, 0.04 （D）9.5, 0.016 答案：D； 解析：7個(gè)數(shù)據(jù)中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，余下的5個(gè)數(shù)為：9.4, 9.4, 9.6, 9.4, 9.5。 則平均數(shù)為：，即。 方差為： 即 ，故選D。 點(diǎn)評(píng)：一定要根據(jù)實(shí)際的題意解決問(wèn)題，并還原實(shí)際情景。 題型3：頻率分布直方圖與條形圖 例5．為檢測(cè),某種產(chǎn)品的質(zhì)量,抽取了一個(gè)容量為30的樣本,檢測(cè)結(jié)果為一級(jí)品5件,而極品8件,三級(jí)品13件,次品14件. （1）列出樣本頻率分布表; （2）畫(huà)出表示樣本頻率分布的條形圖; （3）根據(jù)上述結(jié)果,估計(jì)辭呈商品為二極品或三極品的概率約是多少 解析：(1)樣本的頻率分布表為 產(chǎn)品 頻數(shù) 頻率 一級(jí)晶 5 0．17 二級(jí)晶 8 0．27 三級(jí)晶 13 0．43 次品 4 0．13 (2)樣本頻率分布的條形圖為： (3)此種產(chǎn)品為二極品或三極品的概率約為0.27+0.43=0.7。 點(diǎn)評(píng)：條形圖中縱坐標(biāo)一般是頻數(shù)或頻率。 例6．（xx重慶理，6）為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17.5歲－１８歲的男生體重(kg) ,得到頻率分布直方圖如下： 根據(jù)上圖可得這100名學(xué)生中體重在〔56.5,64.5〕的學(xué)生人數(shù)是 (A)20 (B)30 (C)40 （D）50 答案：C； 解析：根據(jù)運(yùn)算的算式：體重在〔56.5,64.5〕學(xué)生的累積頻率為20.03＋20.05＋20.05＋20.07=0.4，則體重在〔56.5,64.5〕學(xué)生的人數(shù)為0.4100=40。 點(diǎn)評(píng)：熟悉頻率、頻數(shù)、組距間的關(guān)系式。 例7．某中學(xué)對(duì)高三年級(jí)進(jìn)行身高統(tǒng)計(jì)，測(cè)量隨機(jī)抽取的40名學(xué)生的身高，其結(jié)果如下（單位：cm） 分組 ［140，145） ［145，150） ［150，155） ［155，160） ［160，165） ［165，170） ［170，175） ［175，180） 合計(jì) 人數(shù) 1 2 5 9 13 6 3 1 40 （1）列出頻率分布表； （2）畫(huà)出頻率分布直方圖； （3）估計(jì)數(shù)據(jù)落在［150，170］范圍內(nèi)的概率。 解析：（1）根據(jù)題意可列出頻率分布表： 分　值 頻　數(shù) 頻　率 ［140，145］ 1 0.025 ［145，150］ 2 0.050 ［150，155］ 5 0.125 ［155，160］ 9 0.225 ［160，165］ 13 0.325 ［165，170］ 6 0.15 ［170，175］ 3 0.075 ［175，180］ 1 0.025 合　計(jì) 40 1.00 （2）頻率分布直方圖如下： （3）數(shù)據(jù)落在［150，170］范圍內(nèi)的概率約為0.825。 題型4：莖葉圖 例8．觀看下面兩名選手全壘打數(shù)據(jù)的莖葉圖，對(duì)他們的表現(xiàn)進(jìn)行比較。 1961年揚(yáng)基隊(duì)外壘手馬利斯打破了魯斯的一個(gè)賽季打出60個(gè)全壘打的記錄。下面是揚(yáng)基隊(duì)的歷年比賽中的魯斯和馬利斯每年擊出的全壘打的比較圖： 魯斯 馬利斯 0 8 1 3 4 6 5 2 2 3 6 8 5 4 3 3 9 9 7 6 6 1 1 4 9 4 4 5 0 6 1 解析：魯斯的成績(jī)相對(duì)集中，穩(wěn)定在46左右；馬利斯成績(jī)相對(duì)發(fā)散，成績(jī)穩(wěn)定在26左右。 題型5：線性回歸方程 例9．由施肥量x與水稻產(chǎn)量y試驗(yàn)數(shù)據(jù)的關(guān)系，畫(huà)出散點(diǎn)圖，并指明相關(guān)性。 解析：散點(diǎn)圖為： 通過(guò)圖象可知是正相關(guān)。 例10．在某種產(chǎn)品表面進(jìn)行腐蝕線實(shí)驗(yàn)，得到腐蝕深度y與腐蝕時(shí)間t之間對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)： 時(shí)間t(s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 深度y(m) 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 (1)畫(huà)出散點(diǎn)圖； (2)試求腐蝕深度y對(duì)時(shí)間t的回歸直線方程。 略解：（1）散點(diǎn)圖略，呈直線形。 （2）經(jīng)計(jì)算可得 =46.36，=19.45，=36750，=5442，=13910。 B==0.3. A=－b=19.45－035.542。 故所求的回歸直線方程為=0.3t+5.542。 題型6：創(chuàng)新題 例11．把容量為100的某個(gè)樣本數(shù)據(jù)分為10組，并填寫(xiě)頻率分布表，若前七組的累積頻率為0.79，而剩下三組的頻數(shù)成公比大于2的整數(shù)等比數(shù)列，則剩下三組中頻數(shù)最高的一組的頻數(shù)為_(kāi)__________. 答案：16 點(diǎn)評(píng)：已知前七組的累積頻率為0.79，而要研究后三組的問(wèn)題，因此應(yīng)先求出后三組的頻率之和為1－0.79=0.21，進(jìn)而求出后三組的共有頻數(shù)，或者先求前七組共有頻數(shù)后，再計(jì)算后三組的共有頻數(shù)。由已知知前七組的累積頻數(shù)為0.79100=79，故后三組共有的頻數(shù)為21，依題意=21，a1（1+q+q2）=21.∴a1=1，q=4?！嗪笕M頻數(shù)最高的一組的頻數(shù)為16。此題剖析只按第二種思路給出了解答，你能按第一種思路來(lái)解嗎？ 例12．某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中成績(jī)分布如下表： 分?jǐn)?shù)段 ［0，80） ［80，90） ［90，100） 人數(shù) 2 ） 5 6 分?jǐn)?shù)段 ［100，110） ［110，120 ［120，130） 人數(shù) 8 12 6 分?jǐn)?shù)段 ［130，140） ［140，150） 人數(shù) 4 2 那么分?jǐn)?shù)在［100，110）中的頻率和分?jǐn)?shù)不滿110分的累積頻率分別是______________、_______（精確到0.01）. 解析：由頻率計(jì)算方法知：總?cè)藬?shù)=45. 分?jǐn)?shù)在［100，110）中的頻率為 =0.178≈0.18. 分?jǐn)?shù)不滿110分的累積頻率為=≈0.47. 答案：0.18 0.47 五．思維總結(jié) 1．統(tǒng)計(jì)是為了從數(shù)據(jù)中提取信息，學(xué)習(xí)時(shí)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需求選擇不同的方法合理地選取樣本，并從樣本數(shù)據(jù)中提取需要的數(shù)字特征。不應(yīng)把統(tǒng)計(jì)處理成數(shù)字運(yùn)算和畫(huà)圖表。對(duì)統(tǒng)計(jì)中的概念（如"總體"、"樣本"等）應(yīng)結(jié)合具體問(wèn)題進(jìn)行描述性說(shuō)明，不應(yīng)追求嚴(yán)格的形式化定義。 2．當(dāng)總體中個(gè)體取不同值很少時(shí)，我們黨用樣本的頻率分布標(biāo)記頻率分布梯形圖取估計(jì)總體體分布,總體分布排除了抽樣造成的錯(cuò)誤，精確反映了總體取值的概率分布規(guī)律。對(duì)于所取不同數(shù)值較多或可以在實(shí)數(shù)區(qū)間范圍內(nèi)取值的總體，需用頻率分布直方圖來(lái)表示相應(yīng)的頻率分布。當(dāng)樣本容量無(wú)限增大，分組的組距無(wú)限縮小時(shí)，頻率分布直方圖無(wú)限接近一條光滑曲線——總體密度曲線．由于總體分布通常不易知道，往往是用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布。樣本容量越大，估計(jì)就越精確。 3．相關(guān)關(guān)系 　　研究?jī)蓚€(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系是學(xué)習(xí)本節(jié)的目的。對(duì)于相關(guān)關(guān)系我們可以從下三個(gè)方面加以認(rèn)識(shí)： 　?。?）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同。函數(shù)關(guān)系中的兩個(gè)變量間是一種確定性關(guān)系。例如正方形面積S與邊長(zhǎng)x之間的關(guān)系就是函數(shù)關(guān)系。即對(duì)于邊長(zhǎng)x的每一個(gè)確定的值，都有面積S的惟一確定的值與之對(duì)應(yīng)。相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系。例如人的身高與年齡；商品的銷(xiāo)售額與廣告費(fèi)等等都是相關(guān)關(guān)系。 　?。?）函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系。例如有人發(fā)現(xiàn)，對(duì)于在校兒童，身高與閱讀技能有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系。然而學(xué)會(huì)新詞并不能使兒童馬上長(zhǎng)高，而是涉及到第三個(gè)因素——年齡，當(dāng)兒童長(zhǎng)大一些，他們的閱讀能力會(huì)提高而且由于長(zhǎng)大身高也會(huì)高些。 　?。?）函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系之間有著密切聯(lián)系，在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化。例如正方形面積S與其邊長(zhǎng)x間雖然是一種確定性關(guān)系，但在每次測(cè)量邊長(zhǎng)時(shí)，由于測(cè)量誤差等原因，其數(shù)值大小又表現(xiàn)出一種隨機(jī)性。而對(duì)于具有線性關(guān)系的兩個(gè)變量來(lái)說(shuō)，當(dāng)求得其回歸直線后，我們又可以用一種確定性的關(guān)系對(duì)這兩個(gè)變量間的關(guān)系進(jìn)行估計(jì)。 相關(guān)關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中大量存在，從某種意義上講，函數(shù)關(guān)系是一種理想的關(guān)系模型，而相關(guān)關(guān)系是一種更為一般的情況。因此研究相關(guān)關(guān)系，不僅可使我們處理更為廣泛的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題，還可使我們對(duì)函數(shù)關(guān)系的認(rèn)識(shí)上升到一個(gè)新的高度。 4．好破勢(shì)訓(xùn)練，為提高能力，運(yùn)用變式題目，常規(guī)題向典型問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，進(jìn)行多種解法訓(xùn)練，從不同角度，不同側(cè)面對(duì)題目進(jìn)行全面分析，結(jié)合典型的錯(cuò)解分析，查找思維的缺陷，提高分析解決問(wèn)題的能力。