2019-2020年高中數(shù)學 2.2 直線的方程 2.2.3.1 兩條直線相交、平行與重合的條件教案 新人教B版必修2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學 2.2 直線的方程 2.2.3.1 兩條直線相交、平行與重合的條件教案 新人教B版必修2 教學分析　　　　　 教材利用方程組解的個數(shù)來討論兩條直線相交、平行與重合的條件．值得注意的是在教學中，調(diào)動學生的積極性，讓學生自己歸納出兩條直線相交、平行和重合的條件． 三維目標　　　　　 1．掌握兩條直線相交、平行與重合的條件，提高學生歸納、類比的能力． 2．能夠判斷兩直線的位置關(guān)系，提高學生分析問題、解決問題的能力． 重點難點　　　　　 教學重點：兩條直線的位置關(guān)系、平行條件的應(yīng)用． 教學難點：歸納兩直線平行、相交與重合的條件． 課時安排　　　　　 1課時 導入新課　　　　　 設(shè)計1.在平面直角坐標系中，兩條直線的位置關(guān)系是平行、相交、重合．當兩條直線無交點時，它們平行；當兩條直線有唯一交點時，它們相交；當兩條直線有無數(shù)個交點時，它們重合．本節(jié)利用直線方程來討論兩條直線的位置關(guān)系，教師引出課題． 設(shè)計2.在立體幾何中，兩條直線的位置關(guān)系是平行、相交、異面，在本章所討論的兩條直線的位置關(guān)系是平行、相交、重合．那么如何利用方程來討論兩直線的位置關(guān)系呢？教師引出課題． 推進新課　　　　　 (1)點P(x0，y0)是直線l：Ax＋By＋C＝0上的一點，則x0與y0滿足什么條件？ (2)已知兩條直線的方程為l1：A2x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.試判斷直線l1與l2的交點個數(shù)，并確定它們位置關(guān)系. (3)歸納兩條直線相交、平行與重合的條件. 討論結(jié)果： (1)Ax0＋By0＋C＝0. (2)解方程組， ①B2－②B1，得(A1B2－A2B1)x＋B2C1－B1C2＝0. 當A1B2－A2B1≠0時，得x＝； 因此，當A1B2－A2B1≠0時，方程組有唯一一組解．此時直線l1與l2相交，且有唯一交點，交點坐標是方程組的解． 當A1B2－A2B1＝0，而B1C2－C1B2≠0或A2C1－A1C2≠0時，方程組無解．兩直線無交點，此時l1∥l2. 當A1B2－A2B1＝0，而B1C2－C1B2＝0或A2C1－A1C2＝0時，方程組有無數(shù)組，即此時，兩直線l1與l2有無數(shù)個交點，即l1與l2重合． (3)l1與l2相交A1B2－A2B1≠0或≠(A2B2≠0)． l1與l2平行 l1與l2重合 (1)兩直線平行，它們的傾斜角和在y軸上的截距相等嗎？ 討論結(jié)果： (1)畫圖分析，得它們的傾斜角相等，在y軸上的截距不相等．如下圖所示； (2)平行； (3)l1∥l2 k1＝k2且b1≠b2； (4)l1與l2重合k1＝k2，且b1＝b2. 思路1 例1已知直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，求證：當C1≠C2時，l1與l2平行． 證明：因為AB－BA＝0，所以l1與l2平行或重合．又因為BC2－BC1＝B(C2－C1)：當B≠0時，已知C1≠C2，所以BC2－BC1≠0，因此兩直線平行；當B＝0時，由直線方程的定義，知A≠0，于是兩條直線的方程變?yōu)閤＝－，x＝－，這是兩條與x軸垂直的直線，所以它們平行或重合．又由于C1≠C2，所以它們是平行的直線． 點評：與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋D＝0(C≠D)． 變式訓練 1．過點A(1,2)，且平行于直線2x－3y＋5＝0的直線方程是______． 解析：設(shè)所求直線方程為2x－3y＋m＝0(m≠5)，則21－32＋m＝0，解得m＝4，即所求直線方程為2x－3y＋4＝0. 答案：2x－3y＋4＝0 2．求與直線2x＋3y＋5＝0平行，且在兩坐標軸上截距之和是的直線l的方程． 解：設(shè)直線l的方程為2x＋3y＋m＝0(m≠5)． 當x＝0時，y＝－；當y＝0時，x＝－. 則－－＝，解得m＝－1. 即直線l的方程為2x＋3y－1＝0. 3．求通過下列各點且與已知直線平行的直線方程： (1)(－1,2)，y＝x＋1； (2)(1，－4)，2x＋3y＋5＝0. 解：(1)因為所求直線與已知直線平行，所以可設(shè)所求直線為y＝x＋b. 由于所求直線過點(－1,2)，代入方程，得b＝.因此所求方程為y＝x＋，即x－2y＋5＝0. (2)設(shè)所求的直線方程為2x＋3y＋D＝0.由于所求直線過點(1，－4)，代入方程， 得D＝10.因此，所求直線方程為2x＋3y＋10＝0. 思路2 例2判斷下列各對直線是否平行，并說明理由． (1)l1：y＝3x＋2，l2：y＝3x＋5； (2)l1：y＝2x＋1，l2：y＝3x； (3)l1：x＝5，l2：x＝8. 解：(1)設(shè)兩直線的斜率分別是k1，k2，在y軸上截距分別是b1，b2，則k1＝3，b1＝2，k2＝3，b2＝5. 因為k1＝k2，b1≠b2，所以l1∥l2. (2)設(shè)兩直線的斜率分別是k1，k2，在y軸上截距分別是b1，b2，則k1＝2，k2＝3，b1＝1，b2＝0. 因為k1≠k2，所以l1與l2不平行． (3)由方程可知l1⊥x軸，l2⊥x軸，且兩直線在x軸上截距不相等，所以l1∥l2. 點評：判斷兩直線是否平行時，要對直線的斜率討論，特別是當斜率都不存在時，即直線x＝a與直線x＝b(a≠b)平行． 變式訓練 1．直線l1過A(m,1)，B(－1，m)，直線l2過點P(1,2)，Q(－5,0)，且l1∥l2，則m＝______. 解析：k1＝，k2＝＝，由于l1∥l2，則＝，解得m＝. 答案： 2．已知直線l1：x＋y－1＝0，直線l2：kx－2y＋3＝0，且l1∥l2，則k＝______. 答案：－2 例3已知兩直線l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，當m為何值時，直線l1與l2(1)平行；(2)重合；(3)相交？ 解：對于平行及重合的判斷，可以通過斜率與截距來分析．而對于l1與l2相交的情況，只能通過解方程組來尋求規(guī)律，當m＝0時，l1：x＋6＝0，l2：2x－3y＝0，此時l1與l2相交． 當m≠0時，l1：y＝－x－，l2：y＝－x－m. (1)若l1∥l2，則，解得m＝－1. (2)若l1與l2重合，則＝＝，解得m＝3. 故m＝－1時l1∥l2；m＝3時l1與l2重合． (3)由l1的方程得x＝－my－6，代入l2的方程得(m－2)(－my－6)＋3y＋2m＝0，即(m2－2m－3)y＝12－4m，顯然，m2－2m－3＝0時無解，只有當m2－2m－3≠0，即m≠－1且m≠3時，方程才有解，且是唯一解，故只有當m≠－1且m≠3時兩直線相交． 點評：本題主要考查兩直線相交、平行與重合的條件，要正確解決本題需要有足夠的耐心和具有分類討論的能力． 變式訓練 設(shè)三條直線l1：x＋y－1＝0，l2：kx－2y＋3＝0，l3：x－(k＋1)y－5＝0.若這三條直線交于一點，求k的值． 解：解由l1、l2的方程組成的方程組得 所以l1與l2的交點是P(，)． 又因為l1、l2、l3交于一點，即P點坐標滿足直線l3的方程，－(k＋1)－5＝0. 解得k＝－7或－2(舍去)． 所以k＝－7.  1．已知直線l1：ax＋3y＋1＝0，l2：x＋(a－2)y＋a＝0，它們的傾斜角及斜率依次分別為α1，α2，k1，k2則 (1)a＝__________時，α1＝150；(2)a＝__________時，l2⊥x軸；(3)a＝__________時，l1∥l2；(4)a＝__________時，l1、l2重合． 答案：(1)　(2)2　(3)3　(4)－1 2．求下列兩條直線的交點： l1：x＋2y＋1＝0，l2：－x＋2y＋2＝0. 解：解方程組得所以這兩條直線的交點是M(，－)． 3．已知平行四邊形ABCD的四個頂點分別為A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明． 分析：先作圖猜想，然后給出證明．由斜率相等得兩組直線分別平行，四邊形ABCD是平行四邊形． 證明：AB邊所在直線的斜率kAB＝－， CD邊所在直線的斜率kCD＝－， BC邊所在直線的斜率kBC＝， DA邊所在直線的斜率kDA＝. 因為kAB＝kCD，kBC＝kDA，所以AB∥CD，BC∥DA. 因此，四邊形ABCD是平行四邊形． 4．判定下列各對直線的位置關(guān)系，若相交，則求出交點． (1)l1：7x＋2y－1＝0，l2：14x＋4y－2＝0. (2)l1：(－)x＋y＝7，l2：x＋(＋)y－6＝0. (3)l1：3x＋5y－1＝0，l2：4x＋3y＝5. 答案：(1)重合；(2)平行；(3)相交，交點坐標為(2，－1)． 5．求過點A(0，－4)且與直線2x＋3y＋5＝0平行的直線方程． 解法一：∵直線2x＋3y＋5＝0的斜率為－，∴所求直線斜率為－. 又直線過點A(0，－4)， 由直線方程的點斜式易得所求直線方程為2x＋3y＋12＝0. 解法二：設(shè)與直線2x＋3y＋5＝0平行的直線l的方程為2x＋3y＋m＝0， ∵l經(jīng)過點A(0，－4)，∴20＋3(－4)＋m＝0，解之，得m＝12. ∴所求直線方程為2x＋3y＋12＝0. 請你探究一下三條直線l1：x＋ay＋1＝0，l2：x＋y＋a＝0，l3：ax＋y＋1＝0構(gòu)成三角形的條件是什么？ 方法一：任兩條直線都相交，則≠，≠，故a≠1.又三條直線不交于同一點，故其中兩條直線的交點(－1－a,1)不在直線ax＋y＋1＝0上，即a(－1－a)＋1＋1≠0，a2＋a－2≠0，(a＋2)(a－1)≠0，∴a≠－2，a≠1. 綜合上述結(jié)果，以上三條直線構(gòu)成三角形的條件是a≠1，a≠－2. 方法二：因為三條直線能構(gòu)成三角形，所以三條直線兩兩相交且不共點，即任意兩條直線都不平行，且三線不共點．可以把不能構(gòu)成三角形的情況排除掉． 若三條直線交于同一點，則其中兩條直線的交點(－1－a,1)在直線ax＋y＋1＝0上，∴a(－a－1)＋1＋1＝0，∴a＝1或a＝－2. 若l1∥l2，則有－＝－1，a＝1；若l2∥l3，則有－1＝－a，a＝1；若l1∥l3，則有－＝－a，a＝1.所以若三條直線構(gòu)成三角形，則需a≠1，a≠－2. 本節(jié)課學習了： 1．兩條直線平行、相交與重合的條件； 2．求兩直線交點坐標，解決有關(guān)平行問題． 本節(jié)練習B　1,2題． 本節(jié)課從知識內(nèi)容來說并不是很難，但從解析幾何的特點看，就需要培養(yǎng)學生如何利用直線方程來討論其特點，得到直線交點，以及交點個數(shù)對應(yīng)于直線在平面內(nèi)的相對位置關(guān)系．在教學過程中應(yīng)該圍繞兩直線一般方程的系數(shù)的變化來揭示兩直線方程聯(lián)立解的情況，從而判定兩直線位置特點，其實質(zhì)是直線方程Ax＋By＋C＝0中A、B、C就表示了直線的本質(zhì)屬性．還要注重研究方法的探討，為將學習圓錐曲線時，對于曲線交點的研究打下基礎(chǔ)． 著名數(shù)學家陳省身 (公元1911年～2004年12月3日) 在數(shù)學領(lǐng)域，沃爾夫獎與菲爾茲獎是公認的能與諾貝爾獎相媲美的數(shù)學大獎．菲爾茲獎主要獎勵在現(xiàn)代數(shù)學中做出突出貢獻的年輕數(shù)學家，而沃爾夫獎主要獎勵在數(shù)學上做出開創(chuàng)性工作、具有世界聲譽的數(shù)學家．到1990年為止，世界上僅有24位數(shù)學家獲得過沃爾夫獎，而陳省身教授就是其中之一．他由于在整體微分幾何上的杰出工作獲得1984年度沃爾夫獎，成為唯一獲此殊榮的華人數(shù)學家． 陳省身先生1911年生，浙江嘉興人.1930年畢業(yè)于南開大學數(shù)學系，受教于姜立夫教授.1934年獲清華大學碩士學位．同年入德國漢堡大學隨布拉施克教授研究幾何，僅用了1年零3個月便在1936年獲博士學位后，以“法國巴黎索邦中國基金會博士后研究員”身份到巴黎大學從事研究工作，師從國際數(shù)學大師E嘉當.1937～1943年，任清華大學和西南聯(lián)合大學教授.1943～1946年在美國普林斯頓高級研究所任研究員．在微分幾何中高斯－波內(nèi)公式的研究和拓撲學方面取得重要進展.1946～1948年籌建中央數(shù)學研究所并任代理所長.1949～1960年，任美國芝加哥大學教授，1960～1979年任加州大學伯克利分校教授，1981～1984年任美國國家數(shù)學研究所首任所長，后任名譽所長．他是美國科學院院士，法國、意大利、俄羅斯等國家科學院外籍院士．他對整體微分幾何的深遠貢獻，影響了整個數(shù)學界，被公認為“20世紀偉大的幾何學家”，先后獲美國國家科學獎?wù)?、以色列沃爾夫獎、中國國際科技合作獎及首屆邵逸夫數(shù)學科學獎等多項榮譽． 陳省身對祖國心懷赤誠，1972年后多次回到祖國訪問講學，慨言“為祖國工作，是我崇高的榮譽”.xx年定居南開大學，被天津市人民政府授予永久居留權(quán)．他盛贊新中國欣欣向榮，矚望祖國早日統(tǒng)一，誠摯地向黨和國家領(lǐng)導人就發(fā)展科學事業(yè)、培養(yǎng)和引進人才等建言獻策，受到高度重視.1984年應(yīng)聘出任南開數(shù)學研究所所長，創(chuàng)辦立足國內(nèi)、面向世界培養(yǎng)中國高級數(shù)學人才基地．努力推進中國科學家與美國及其他各國的學術(shù)交流，促成國際數(shù)學家大會在北京召開，并被推選為大會名譽主席．他殫精竭慮地為把中國建成數(shù)學大國、科技強國貢獻力量，多次受到鄧小平、江澤民等黨和國家領(lǐng)導人接見，高度稱贊他對中國數(shù)學科學發(fā)展所作的杰出貢獻． 除了在數(shù)學上做出的巨大成就，陳省身教授還培養(yǎng)了一大批世界級的科學家，其中包括諾貝爾物理學獎獲得者楊振寧，菲爾茲獎獲得者丘成桐，中國國家自然科學獎一等獎獲得者吳文俊等．