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2019 年高考數(shù)學 五年高考真題分類匯編 第九章 計數(shù)原理、概率、隨機 變量及其分布 理 一.選擇題 1． （xx福建高考理）滿足 a， b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于 x 的方程 ax2＋2 x＋ b＝0 有實數(shù) 解的有序數(shù)對( a， b)的個數(shù)為 ( ) A．14 B．13 C．12 D．10 【解析】選 B 本題考查集合、方程的根、計數(shù)原理等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的綜合能 力．因為 a， b∈{－1,0,1,2}，可分為兩類：①當 a＝0 時， b 可能為－1 或 1 或 0 或 2，即 b 有 4 種不同的選法；②當 a≠0 時，依題意得 Δ ＝4－4 ab≥0，所以 ab≤1.當 a＝－1 時， b 有 4 種不同的選法，當 a＝1 時， b 可能為－1 或 0 或 1，即 b 有 3 種不同的選法，當 a＝2 時， b 可能為－1 或 0，即 b 有 2 種不同的選法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，( a， b)的個 數(shù)共有 4＋4＋3＋2＝13. 2． （xx遼寧高考理）使 n(n∈N ＋ )的展開式中含有常數(shù)項的最小的 n 為 ( )( 3x＋ 1xx) A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】選 B 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用和簡單的計算問題，求解過程中注意展開 式的通項公式應(yīng)用的準確性．由二項式定理得， Tr＋1 ＝C (3x)n－ r r＝C 3n－ rxn－ r，令rn ( 1xx) rn 52 n－ r＝0，當 r＝2 時， n＝5，此時 n 最?。?52 3． （xx新課標Ⅰ高考理）設(shè) m 為正整數(shù)，( x＋ y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為 a，( x＋ y)2m＋1 展開式的二項式系數(shù)的最大值為 b，若 13a＝7 b，則 m＝ ( ) A．5 B．6 C.7 D.8 【解析】選 B 本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，意在考查考生對二項式系數(shù)的性質(zhì)的運用和 計算能力．根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)知：( x＋ y)2m的二項式系數(shù)最大有一項，C ＝ a，( x＋ y)m2 2m＋1 的二項式系數(shù)最大有兩項，C ＝C ＝ b.又 13a＝7 b，所以 13C ＝7C ，m2m＋ 1 m＋ 12＋ m2 m2m＋ 1 將各選項中 m 的取值逐個代入驗證，知 m＝6 滿足等式，所以選擇 B. 4.（xx新課標 II 高考理）已知(1＋ɑ x)(1＋ x)5的展開式中 x2的系數(shù)為 5，則 ɑ＝ ( ) A．－4 B.－3 C．－2 D．－1 【解析】選 D 本題涉及二項式定理、計數(shù)原理的知識，意在考查考生的分析能力與基本 運算能力．展開式中含 x2的系數(shù)為 C ＋ aC ＝5，解得 a＝－1，故選 D. 25 15 5． （xx陜西高考理）設(shè)函數(shù) f(x)＝Error!則當 x>0 時， f(f(x))表達式的展開式中常數(shù)項 為 ( ) A．－20 B．20 C．－15 D．15 【解析】選 A 本題考查分段函數(shù)和二項式定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是對復合函數(shù)的復合過 程的理解．依據(jù)分段函數(shù)的解析式，得 f(f(x))＝ f(－ )＝ 6，∴ Tr＋1 ＝C (－1)x ( 1x－ x) r6 rxr－3 ，則常數(shù)項為 C (－1) 3＝－20.3 6． （xx陜西高考理）如圖，在矩形區(qū)域 ABCD 的 A， C 兩點處各有一個通信基站，假設(shè)其 信號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域 ADE 和扇形區(qū)域 CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源，基站 工作正常)．若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機地選一地點，則該地點無信號的概率是 ( ) A．1－ B. －1 C．2－ D. π 4 π 2 π 2 π 4 【解析】選 A 本題考查幾何概型的求解方法，涉及對立事件求解概率以及矩形和扇形面 積的計算．由題意知，兩個四分之一圓補成半圓其面積為 π1 2＝ ，矩形面積為 2， 12 π 2 則所求概率為 ＝1－ . 2－ π 2 2 π 4 7.（xx江西高考理） 5展開式中的常數(shù)項為 ( )(x2－ 2x3) A．80 B．－80 C．40 D．－40 【解析】選 C 本題考查二項式定理，意在考查考生的運算能力． Tr＋1 ＝C (x2)5－ rr5 r＝C (－2) rx10－5 r，令 10－5 r＝0，得 r＝2，故常數(shù)項為 C (－2) 2＝40.(－ 2x3) r5 25 8.（xx廣東高考理）已知離散型隨機變量 X 的分布列為 X 1 2 3 P 35 310 110 則 X 的數(shù)學期望 E(X)＝ ( ) A. B．2 C. D．3 32 52 【解析】選 A 本題考查離散型隨機變量的數(shù)學期望，考查考生的識記能力． E(X) ＝1 ＋2 ＋3 ＝ ＝ . 35 310 110 1510 32 9． （xx山東高考理）用 0,1，…，9 十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù) 為 ( ) A．243 B．252 C．261 D．279 【解析】選 B 本題考查分步乘法計數(shù)原理的基礎(chǔ)知識，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運算 求解能力，考查分析問題和解決問題的能力．能夠組成三位數(shù)的個數(shù)是 91010＝900， 能夠組成無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)是 998＝648，故能夠組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的 個數(shù)是 900－648＝252. 10． （xx大綱卷高考理）(1＋ x)8(1＋ y)4的展開式中 x2y2的系數(shù)是 ( ) A．56 B．84 C．112 D．168 【解析】選 D 本題考查二項式定理及通項公式．在(1＋ x)8展開式中含 x2的項為 C x2＝28 x2，(1＋ y)4展開式中含 y2的項為 C y2＝6 y2，所以 x2y2的系數(shù)為 286＝168，故28 24 選 D. 11． （xx湖北高考理）如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為 125 個同樣大小的 小正方體．經(jīng)過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的涂漆面數(shù)為 X，則 X 的均值 E(X) ＝ ( ) A. B. C. D. 126125 65 168125 75 【解析】選 B 本題考查正方體中的概率和期望問題，意在考查考生的空間想象能力． P(X＝0)＝ ， P(X＝1)＝ ， P(X＝2)＝ ， 27125 54125 36125 P(X＝3)＝ ， E(X)＝0 P(X＝0)＋1 P(X＝1)＋2 P(X＝2)＋3 P(X＝3)＝0 ＋1 8125 27125 ＋2 ＋3 ＝ ＝ ，故選 B. 54125 36125 8125 150125 65 12． （xx四川高考理）從 1,3,5,7,9 這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為 a， b，共可得到 lg a－lg b 的不同值的個數(shù)是 ( ) A．9 B．10 C．18 D．20 【解析】選 C 本題考查對數(shù)運算、排列組合等基本知識和基本技能，意在考查考生分析 問題和解決問題的數(shù)學應(yīng)用能力．lg a－lg b＝lg ，lg 有多少個不同值，只要看 不同 ab ab ab 值的個數(shù)，所以共有 A －2＝20－2＝18 個不同值．25 13． （xx四川高考理）節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈．這兩串彩燈的第一 次閃亮相互獨立，若都在通電后的 4 秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以 4 秒為間 隔閃亮．那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過 2 秒的概率是( ) A. B. C. D. 14 12 34 78 【解析】選 C 本題考查不等式表示的平面區(qū)域、幾何概型等知識，意在考查數(shù)形結(jié)合思 想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，同時考查考生導數(shù)與單調(diào)性的運算能力．設(shè)第一串彩燈亮的時刻為 x，第二串彩燈亮的時刻為 y，則Error!要使兩串彩燈亮的時刻相差不超過 2 秒，則Error! 如圖，不等式組Error!所表示的圖形面積為 16，不等式組Error!所表示的六邊形 OABCDE 的 面積為 16－4＝12，由幾何概型的公式可得 P＝ ＝ . 1216 34 14． （xx安徽高考文）若某公司從五位大學畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五 人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為 ( ) A. B. C. D. 23 25 35 910 【解析】選 D 本題主要考查古典概型的概率計算，意在考查考生的運算能力和對基本概 念的理解． 事件“甲或乙被錄用”的對立事件是“甲和乙都未被錄用” ，從五位學生中選三人的基本事 件個數(shù)為 10， “甲和乙都未被錄用”只有 1 種情況，根據(jù)古典概型和對立事件的概率公式 可得，甲或乙被錄用的概率 P＝1－ ＝ . 110 910 15． （xx大綱卷高考文）( x＋2) 8的展開式中 x6的系數(shù)是 ( ) A．28 B．56 C．112 D．224 【解析】選 C 本題主要考查二項式定理．由二項式展開式的通項公式 Tr＋1 ＝C an－ rbr，得rn 含 x6的項是 T2＋1 ＝C x8－2 22，所以含 x6的項的系數(shù)為 22C ＝112. 28 28 16． （xx湖南高考文）已知事件“在矩形 ABCD 的邊 CD 上隨機取一點 P，使△ APB 的最大 邊是 AB”發(fā)生的概率為 ，則 ＝ ( ) 12 ADAB A. B. C. D. 12 14 32 74 【解析】選 D 本題主要考查幾何概型與三角形的最大角的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn) 化思想，意在考查考生的轉(zhuǎn)化能力和運算能力．由已知，點 P 的分界點恰好是邊 CD 的四等 分點，由勾股定理可得 AB2＝ 2＋ AD2，解得 2＝ ，即 ＝ .( 34AB) (ADAB) 716 ADAB 74 17． （xx新課標Ⅰ高考文）從 1,2,3,4 中任取 2 個不同的數(shù)，則取出的 2 個數(shù)之差的絕對 值為 2 的概率是 ( ) A. B. C. D. 12 13 14 16 【解析】選 B 本題主要考查列舉法解古典概型問題的基本能力，難度較?。畯?1,2,3,4 中任取 2 個不同的數(shù)有以下六種情況：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，滿 足取出的 2 個數(shù)之差的絕對值為 2 的有(1,3)，(2,4)，故所求概率是 ＝ . 26 13 18． （xx江西高考文）集合 A＝{2,3}， B＝{1,2,3}，從 A， B 中各任意取一個數(shù)，則這兩 數(shù)之和等于 4 的概率是 ( ) A. B. C. D. 23 12 13 16 【解析】選 C 本題主要考查隨機事件、列舉法、古典概型的概率計算，考查分析、解決 實際問題的能力．從 A， B 中各任意取一個數(shù)記為( x， y)，則有(2,1)，(2,2)，(2,3)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，共 6 個基本事件．而這兩數(shù)之和為 4 的有(2,2)，(3,1)，共 2 個基 本事件．又從 A， B 中各任意取一個數(shù)的可能性相同，故所求的概率為 ＝ . 26 13 19． （xx重慶高考理）( ＋ )8的展開式中常數(shù)項為 ( )x 12x A. B. C. D．105 3516 358 354 【解析】選 B 二項展開式的通項 Tr＋1 ＝C ( )8－ r( )r＝C ( )rx4－ r，當 4－ r＝0 時，r8 x 12x r812 r＝4，所以展開式中的常數(shù)項為 C ( )4＝ .48 12 358 20． （xx廣東高考理）從個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個，其個位數(shù)為 0 的概率是 ( ) A. B. C. D. 49 13 29 19 【解析】選 D 由個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)，則個位數(shù)與十位數(shù)分別為一奇一偶．若個 位數(shù)為奇數(shù)時，這樣的兩位數(shù)共有 C C ＝20 個；若個位數(shù)為偶數(shù)時，這樣的兩位數(shù)共有 C1514 C ＝25 個；于是，個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)共有 20＋25＝45 個．其中，個位1515 數(shù)是 0 的有 C 1＝5 個．于是，所求概率為 ＝ .15 545 19 21． （xx山東高考理）現(xiàn)有 16 張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各 4 張．從中任取 3 張，要求這 3 張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多 1 張，不同取法 的種數(shù)為 ( ) A．232 B．252 C．472 D．484 【解析】選 C 若沒有紅色卡片，則需從黃、藍、綠三色卡片中選 3 張，若都不同色則有 C C C ＝64 種，若 2 張同色，則有 C C C C ＝144 種；若紅色卡片有 1 張，剩14 14 14 23 12 24 14 余 2 張不同色，則有 C C C C ＝192 種，剩余 2 張同色，則有 C C C ＝72 種，14 23 14 14 14 13 24 所以共有 64＋144＋192＋72＝472 種不同的取法． 22． （xx四川高考理）(1＋ x)7的展開式中 x2的系數(shù)是 ( ) A．42 B．35 C．28 D．21 【解析】選 D 依題意可知，二項式(1＋ x)7的展開式中 x2的系數(shù)等于 C 15＝21.27 23． （xx四川高考理）方程 ay＝ b2x2＋ c 中的 a， b， c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且 a， b， c 互不相同．在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有 ( ) A．60 條 B．62 條 C．71 條 D．80 條 【解析】選 B 顯然方程 ay＝ b2x2＋ c 表示拋物線時，有 ab≠0，故該方程等價于 y＝ x2＋ . b2a ca (1)當 c＝0 時，從{－3，－2,1,2,3}中任取 2 個數(shù)作為 a， b 的值，有 A ＝20 種不同的方25 法， 當 a 一定， b 的取值互為相反數(shù)時，對應(yīng)的拋物線相同，這樣的拋物線共有 43＝12 條， 所以此時不同的拋物線共有 A －6＝14 條；25 (2)當 c≠0 時，從{－3，－2,1,2,3}中任取 3 個數(shù)作為 a， b， c 的值有 A ＝60 種不同的方35 法， 當 a， c 的值一定，而 b 的值互為相反數(shù)時，對應(yīng)的拋物線相同，這樣的拋物線共有 4A ＝24 條，所以此時不同的拋物線有 A －12＝48 條．23 35 綜上所述，滿足題意的不同的拋物線有 14＋48＝62 條． 24.（xx遼寧高考理）一排 9 個座位坐了 3 個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐 法種數(shù)為 ( ) A．33! B．3(3！) 3 C．(3！) 4 D．9! 【解析】選 C 利用“捆綁法”求解．滿足題意的坐法種數(shù)為 A (A )3＝(3！) 4. 3 3 25.（xx遼寧高考理）在長為 12 cm 的線段 AB 上任取一點 C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等 于線段 AC， CB 的長，則該矩形面積小于 32 cm2的概率為 ( ) A. B. C. D. 16 13 23 45 【解析】選 C 設(shè) AC＝ x cm， CB＝(12－ x)cm,0
Dξ 2. 120 29.（xx大綱卷高考理）將字母 a， a， b， b， c， c 排成三行兩列，要求每行的字母互不 相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有 ( ) A．12 種 B．18 種 C．24 種 D．36 種 【解析】選 A 由分步乘法計數(shù)原理，先排第一列，有 A 種方法，再排第二列，有 2 種方3 法，故共有 A 2＝12 種排列方法．3 30． （xx北京高考理）設(shè)不等式組Error!表示的平面區(qū)域為 D.在區(qū)域 D 內(nèi)隨機取一個點， 則此點到坐標原點的距離大于 2 的概率是 ( ) A. B. C. D. π 4 π － 22 π 6 4－ π4 【解析】選 D 不等式組Error!表示坐標平面內(nèi)的一個正方形區(qū)域，設(shè)區(qū)域內(nèi)點的坐標為 (x， y)，則隨機事件：在區(qū)域 D 內(nèi)取點，此點到坐標原點的距離大于 2 表示的區(qū)域就是圓 x2＋ y2＝4 的外部，即圖中的陰影部分，故所求的概率為 . 4－ π4 31． （xx北京高考理）從 0,2 中選一個數(shù)字，從 1,3,5 中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的 三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為 ( ) A．24 B．18 C．12 D．6 【解析】選 B 若選 0，則 0 只能在十位，此時組成的奇數(shù)的個數(shù)是 A ；若選 2，則 2 只能23 在十位或百位，此時組成的奇數(shù)的個數(shù)是 2A ＝12，根據(jù)分類加法計數(shù)原理得總個數(shù)為23 6＋12＝18. 32． （xx湖北高考理）設(shè) a∈Z，且 0≤ a＜13，若 512 012＋ a 能被 13 整除，則 a＝ ( ) A．0 B．1 C．11 D．12 【解析】選 D 512 012＋ a＝ (134－1) 2 012＋ a，被 13 整除余 1＋ a，結(jié)合選項可得 a＝12 時，51 2 012＋ a 能被 13 整除． 33． （xx湖北高考理）如圖，在圓心角為直角的扇形 OAB 中，分別以 OA， OB 為直徑作兩 個半圓．在扇形 OAB 內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是 ( ) A．1－ B. － C. D. 2π 12 1π 2π 1π 【解析】選 A 設(shè)扇形的半徑為 2，其面積為 ＝π，其中空白區(qū)域面積為 π 224 π－4( － )＝2，因此此點取自陰影部分的概率為 ＝1－ . π 4 12 π － 2π 2π 34． （xx浙江高考理）若從 1,2,3，…，9 這 9 個整數(shù)中同時取 4 個不同的數(shù)，其和為偶 數(shù)，則不同的取法共有 ( ) A．60 種 B．63 種 C．65 種 D．66 種 【解析】選 D 對于 4 個數(shù)之和為偶數(shù)，可分三類，即 4 個數(shù)均為偶數(shù)，2 個數(shù)為偶數(shù) 2 個 數(shù)為奇數(shù)，4 個數(shù)均為奇數(shù)，因此共有 C ＋C C ＋C ＝66 種．4 2425 45 35． （xx福建高考理）如圖所示，在邊長為 1 的正方形 OABC 中任取一點 P，則點 P 恰好 取自陰影部分的概率為 ( ) A. B. C. D. 14 15 16 17 【解析】選 C 陰影部分的面積為 ( － x)dx＝( x － x2) ＝ ，故所求的概率 P＝∫ 10 x 2332 12 |10 16 ＝ . 陰 影 部 分 的 面 積正 方 形 OABC的 面 積 16 36． （xx安徽高考理）( x2＋2)( －1) 5的展開式的常數(shù)項是 ( ) 1x2 A．－3 B．－2 C．2 D．3 【解析】選 D ( －1) 5的展開式的通項為 Tr＋1 ＝C ( )5－ r(－1) r， r＝0,1,2,3,4,5. 1x2 r51x2 當因式( x2＋2)中提供 x2時，則取 r＝4；當因式( x2＋2)中提供 2 時，則取 r＝5，所以 (x2＋2)( －1) 5的展開式的常數(shù)項是 5－2＝3. 1x2 37． （xx安徽高考理）6 位同學在畢業(yè)聚會活動中進行紀念品的交換，任意兩位同學之間 最多交換一次，進行交換的兩位同學互贈一份紀念品．已知 6 位同學之間共進行了 13 次交 換，則收到 4 份紀念品的同學人數(shù)為 ( ) A．1 或 3 B．1 或 4 C．2 或 3 D．2 或 4 【解析】選 D 不妨設(shè) 6 位同學分別為 A， B， C， D， E， F，列舉交換紀念品的所有情況為 AB， AC， AD， AE， AF， BC， BD， BE， BF， CD， CE， CF， DE， DF， EF，共有 15 種．因為 6 位 同學之間共進行了 13 次交換，即缺少以上交換中的 2 種．第一類，某人少交換 2 次，如 DF， EF 沒有交換，則 A， B， C 交換 5 次， D， E 交換 4 次， F 交換 3 次；第二類，4 人少交 換 1 次，如 CD， EF 沒有交換，則 A， B 交換 5 次， C， D， E， F 交換 4 次． 38． （xx新課標高考理）將 2 名教師，4 名學生分成 2 個小組，分別安排到甲、乙兩地參 加社會實踐活動，每個小組由 1 名教師和 2 名學生組成，不同的安排方案共有 ( ) A．12 種 B．10 種 C．9 種 D．8 種 【解析】選 A 先安排 1 名教師和 2 名學生到甲地，再將剩下的 1 名教師和 2 名學生安排 到乙地，共有 C C ＝12 種安排方案．1224 39． （xx湖北高考文）如圖，在圓心角為直角的扇形 OAB 中，分別以 OA， OB 為直徑作兩 個半圓，在扇形 OAB 內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是 （ ） A. － B. C．1－ D. 12 1π 1π 2π 2π 【解析】選 C 設(shè) OA＝ OB＝ r，則兩個以 為半徑的半圓的公共部分面積為 2[ π( )2－ r2 14 r2 ( )2]＝ ，兩個半圓外部的陰影部分面積為 π r2－[ π( )22－ 12 r2 ? π － 2? r28 14 12 r2 ]＝ ，所以所求概率為 ＝1－ . ? π － 2? r28 ? π － 2? r28 2? π － 2? r28 14π r2 2π 40． （xx四川高考文）(1＋ x)7的展開式中 x2的系數(shù)是 ( ) A．21 B．28 C．35 D．42 【解析】選 A 依題意得知，二項式(1＋ x)7的展開式中 x2的系數(shù)等于 C 1＝21.27 41． （xx四川高考文）方程 ay＝ b2x2＋ c 中的 a， b， c∈{－2,0,1,2,3}，且 a， b， c 互不 相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有 ( ) A．28 條 B．32 條 C．36 條 D．48 條 【解析】選 B 依題意得，當方程 ay＝ b2x2＋ c 表示拋物線時，有 y＝ x2＋ ， ab≠0，又 b2a ca a， b， c∈{－2,0,1,2,3}且 a， b， c 互不相同，因此相應(yīng)的數(shù)組{ a， b， c}共有 A C ＝36 組，其中當 b＝－2 與 b＝2 時，相應(yīng)的( a， b， c)對應(yīng)相同的拋物線的條數(shù)有 C24 13 C ＝4，因此滿足題意的不同的拋物線共同有 36－4＝32 條．12 12 42． （xx遼寧高考文）在長為 12 cm 的線段 AB 上任取一點 C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等 于線段 AC， CB 的長，則該矩形面積大于 20 cm2的概率為 ( ) A. B. C. D. 16 13 23 45 【解析】選 C 設(shè)| AC|＝ x cm,00 得 0”發(fā)生的概率為 13 ＝ . 1－ 13 1 23 【答案】 23 73． （xx安徽高考理）若 8的展開式中 x4的系數(shù)為 7，則實數(shù) a＝________.( x＋ a3x) 【解析】本題考查二項展開式的通項．二項式 8展開式的通項為( x＋ a3x) Tr＋1 ＝C arx8－ r，令 8－ r＝4，可得 r＝3，故 C a3＝7，易得 a＝ .r8 43 43 38 12 【答案】 12 74． （xx浙江高考理）設(shè)二項式 5的展開式中常數(shù)項為 A，則 A＝________.( x－ 13x) 【解析】本題考查二項式定理及相關(guān)概念，考查利用二項式定理解決相關(guān)問題的能力以及 考生的運算求解能力． Tr＋1 ＝(－1) rC x ，令 15－5 r＝0，得 r＝3，故常數(shù)項r5 15－ 5r6 A＝(－1) 3C ＝－10.35 【答案】－10 75． （xx浙江高考理）將 A， B， C， D， E， F 六個字母排成一排，且 A， B 均在 C 的同側(cè)， 則不同的排法共有________種(用數(shù)字作答)． 【解析】本題考查對排列、組合概念的理解，排列數(shù)、組合數(shù)公式的運用，考查運算求解 能力以及利用所學知識解決問題的能力． “小集團”處理，特殊元素優(yōu)先，C C A A ＝480.361223 【答案】480 76． （xx重慶高考理）從 3 名骨科、4 名腦外科和 5 名內(nèi)科醫(yī)生中選派 5 人組成一個抗震 救災醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有 1 人的選派方法種數(shù)是________(用數(shù) 字作答)． 【解析】本題考查排列組合問題，意在考查考生的思維能力．直接法分類，3 名骨科，內(nèi) 科、腦外科各 1 名；3 名腦外科，骨科、內(nèi)科各 1 名；3 名內(nèi)科，骨科、腦外科各 1 名；內(nèi) 科、腦外科各 2 名，骨科 1 名；骨科、內(nèi)科各 2 名，腦外科 1 名；骨科、腦外科各 2 名， 內(nèi)科 1 名．所以選派種數(shù)為 C C C ＋C C C ＋C C C ＋C C C ＋C C C ＋C C C ＝590.3 14 15 34 13 15 35 13 14 24 25 13 23 25 14 23 24 15 【答案】590 77.（xx新課標 II 高考理）從 n 個正整數(shù) 1,2，…， n 中任意取出兩個不同的數(shù)，若取出 的兩數(shù)之和等于 5 的概率為 ，則 n＝________. 114 【解析】本題考查排列組合、古典概型等基本知識，意在考查考生的基本運算能力與邏輯 分析能力． 試驗基本事件總個數(shù)為 C ，而和為 5 的取法有 1,4 與 2,3 兩種取法，由古典概型概率計算2n 公式得 P＝ ＝ ，解得 n＝8. 2C2n 114 【答案】8 78． （xx北京高考理）將序號分別為 1,2,3,4,5 的 5 張參觀券全部分給 4 人，每人至少 1 張，如果分給同一人的 2 張參觀券連號，那么不同的分法種數(shù)是________． 【解析】本題考查排列組合中的分組安排問題，意在考查考生分析問題、解決問題的能 力．按照要求要把序號分別為 1,2,3,4,5 的 5 張參觀券分成 4 組，然后再分配給 4 人，連 號的情況是 1 和 2,2 和 3,3 和 4,4 和 5，故其方法數(shù)是 4A ＝96.4 【答案】96 79． （xx山東高考理）在區(qū)間[－3,3]上隨機取一個數(shù) x，使得| x＋1|－| x－2|≥1 成立的 概率為________． 【解析】本題考查絕對值不等式的解法、幾何概型等基礎(chǔ)知識，考查分類與整合思想，考 查運算求解能力．當 x≤－1 時，不等式| x＋1|－| x－2|≥1，即－( x＋1)＋( x－2) ＝－3≥1，此時無解；當－12 時，不等式| x＋1|－| x－2|≥1，即 x＋1－ x＋2＝3≥1，解得 x>2.在 區(qū)間[－3,3]上不等式| x＋1|－| x－2|≥1 的解集為 1≤ x≤3，故所求的概率為 ＝ . 3－ 13－ ? － 3? 13 【答案】 13 80． （xx大綱卷高考理）6 個人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有 ________種．(用數(shù)字作答) 【解析】本題考查排列組合知識． 法一：(間接法)A －A A ＝480.6 25 法二：(直接法)A A ＝480.425 【答案】480 81． （xx四川高考理）二項式( x＋ y)5的展開式中，含 x2y3的項的系數(shù)是________．(用 數(shù)字作答) 【解析】本題考查二項式的通項，意在考查考生的運算能力．因為 C ＝10，故含 x2的項的35 系數(shù)是 10. 【答案】10 82.（xx天津高考理） 6的二項展開式中的常數(shù)項為________．( x－ 1x) 【解析】本題考查二項式定理的應(yīng)用，意在考查考生的運算求解能力．二項式 6展( x－ 1x) 開式的第 r＋1 項為 Tr＋1 ＝C x6－ r(－ )r＝C (－1) rx6－ r，當 6－ r＝0，即 r＝4 時是常r6 1x r6 32 32 數(shù)項，所以常數(shù)項是 C (－1) 4＝15.46 【答案】15 83． （xx重慶高考文）若甲、乙、丙三人隨機地站成一排，則甲、乙兩人相鄰而站的概率 為________． 【解析】本題主要考查古典概型，考查考生的邏輯思維能力．三人站成一排有：甲乙丙、 甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共 6 種排法，其中甲、乙相鄰有 4 種排法， 所以甲、乙兩人相鄰而站的概率為 ＝ . 46 23 【答案】 23 84． （xx江蘇高考文）現(xiàn)有某類病毒記作 XmYn，其中正整數(shù) m， n(m≤7， n≤9)可以任意 選取，則 m， n 都取到奇數(shù)的概率為________． 【解析】本題考查古典概型的相關(guān)知識，意在考查用枚舉法求概率． 基本事件總數(shù)為 N＝79＝63，其中 m， n 都為奇數(shù)的事件個數(shù)為 M＝45＝20，所以所求 概率 P＝ ＝ . MN 2063 【答案】 2063 85． （xx大綱卷高考文）從進入決賽的 6 名選手中決出 1 名一等獎，2 名二等獎，3 名三 等獎，則可能的決賽結(jié)果共有________種．(用數(shù)字作答) 【解析】本題主要考查組合、分步計數(shù)乘法原理的應(yīng)用．第一步?jīng)Q出一等獎 1 名有 C 種情16 況，第二步?jīng)Q出二等獎 2 名有 C 種情況，第三步?jīng)Q出三等獎 3 名有 C 種情況，故可能的25 3 決賽結(jié)果共有 C C C ＝60 種情況．16253 【答案】60 86． （xx福建高考文）利用計算機產(chǎn)生 0～1 之間的均勻隨機數(shù) a，則事件“3 a－1<0”發(fā) 生的概率為________． 【解析】本題主要考查幾何概型與隨機模擬等基礎(chǔ)知識，意在考查或然與必然思想，考查 考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力、運算求解能力．由題意，得 0E(X2)，所以他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的數(shù)學期望較大． 130． （xx遼寧高考理）現(xiàn)有 10 道題，其中 6 道甲類題，4 道乙類題，張同學從中任取 3 道題解答． (1)求張同學至少取到 1 道乙類題的概率； (2)已知所取的 3 道題中有 2 道甲類題，1 道乙類題．設(shè)張同學答對每道甲類題的概率都是 ，答對每道乙類題的概率都是 ，且各題答對與否相互獨立．用 X 表示張同學答對題的個 35 45 數(shù)，求 X 的分布列和數(shù)學期望． 解：本題主要考查概率的綜合應(yīng)用，離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望．同時也考查考 生分析問題以及應(yīng)用知識解決實際問題的能力． (1)設(shè)事件 A＝“張同學所取的 3 道題至少有 1 道乙類題” ，則有 ＝“張同學所取的 3 道題A 都是甲類題” ． 因為 P( )＝ ＝ ，所以 P(A)＝1－ P( )＝ .A C36C310 16 A 56 (2)X 所有的可能取值為 0,1,2,3. P(X＝0)＝C 0 2 ＝ ；02 ( 35) (25) 15 4125 P(X＝1)＝C 1 1 ＋C 0 2 ＝ ；12 ( 35) (25) 15 02(35) (25) 45 28125 P(X＝2)＝C 2 0 ＋C 1 1 ＝ ；2 ( 35) (25) 15 12(35) (25) 45 57125 P(X＝3)＝C 2 0 ＝ ；2 ( 35) (25) 45 36125 所以 X 的分布列為： X 0 1 2 3 P 4125 28125 57125 36125 所以 E(X)＝0 ＋1 ＋2 ＋3 ＝2. 4125 28125 57125 36125 131． （xx安徽高考理）某高校數(shù)學系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試 活動，分別由李老師和張老師負責．已知該系共有 n 位學生，每次活動均需該系 k 位學生 參加( n 和 k 都是固定的正整數(shù))．假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、 隨機地發(fā)給該系 k 位學生，且所發(fā)信息都能收到．記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通 知信息的學生人數(shù)為 X. (1)求該系學生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率； (2)求使 P(X＝ m)取得最大值的整數(shù) m. 解：本題主要考查古典概型，計數(shù)原理，分類討論思想等基礎(chǔ)知識和基本技能，考查抽象 的思想，邏輯推理能力，運算求解能力，以及運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力． (1)因為事件 A：“學生甲收到李老師所發(fā)信息”與事件 B：“學生甲收到張老師所發(fā)信息” 是相互獨立的事件，所以 與 相互獨立．由于 P(A)＝ P(B)＝ ＝ ，故 P( )＝ P( )A B Ck－ 1n－Ckn kn A B ＝1－ ，因此學生甲收到活動通知信息的概率 P＝1－ 2＝ . kn (1－ kn) 2kn－ k2n2 (2)當 k＝ n 時， m 只能取 n，有 P(X＝ m)＝ P(X＝ n)＝1. 當 k
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2019年高考數(shù)學
五年高考真題分類匯編
第九章
計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布
2019
年高
數(shù)學
考真題
分類
匯編
第九
計數(shù)
原理
概率
隨機變量
及其
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